北京市昌平区新学道临川学校2021-2022高二数学上学期第三次月考试题 理(含解析).doc

北京市昌平区新学道临川学校2021-2022高二数学上学期第三次月
考试题 理（含解析）
一､选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则 A. p 或q 为假 B. q 真
C. q 假
D. 不能判
断q 的真假 【答案】C 【解析】 试题分析：命题“
”为假，说明p 与q 中至少有一个是假命题，“
”为假说明p
为真命题，所以q 为假命题.
考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假. 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.
2.如果椭圆22
110036
x y +=上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离
A. 6
B. 10
C. 12
D. 14
【答案】D 【解析】
由椭圆22
110036x y +=知椭圆长轴长为220.a =设椭圆另一个焦点为2F ，根据椭圆定义得：
1220PF PF +=212020614.PF PF =-=-=故选D
3.根据一组数据(24,25),(26,25),(26,26),(26,27),(28,27),用最小二乘法建立的回归直
线方程为ˆy
=kx +13,则k =( ) A. 2 B. 4 C.
1
2
D.
14
【答案】C 【解析】 【分析】
求得样本中心点，代入回归直线方程，由此求得k 的值.
【详解】依题意24262626282525262727
26,2655
x y ++++++++====，所以样
本中心点为()26,26，代入回归直线方程得1
261326,2
k k +==.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题. 4. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D 【解析】 D
试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：
，
∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 5.定积分
1
(2)x
x e dx +⎰的值为( )
A. 2e +
B. 1e +
C. e
D. 1e -
【答案】C 【解析】
试题分析：1
2122
0100
(2)()|()|()|x x x x x x e x dx e x e x e x ==+=+=+-+⎰
=(1)1e e +-=.故选C.
考点：1.微积分基本定理；2.定积分的计算.
6.执行如图所示的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】
分析：依次运行框图中的程序后可得结果．详解：依次运行程序框图中的程序可得：①110,222S n=+==，满足0.8S<条件，继续运行；②2113,3224S n=+==，满足0.8S<条件，继续运行；③231117,42228S n=++==，不满足0.8S>，停止运行．输出4．
故选B．
点睛：对于判断程序框图的输出结果的问题，首先要弄清程序框图的功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．
7.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）
A. 2 个
B. 1 个
C. 3 个
D. 4 个
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数与导函数的关系以及极小值的定义，若0()f x 为函数f （x ）的极小值，则0'()0f x =，且'()y f x =在0x x =左负右正，结合图像可得解. 【详解】根据函数与导函数的关系以及极小值的定义，
若0()f x 为函数f （x ）的极小值，则0'()0f x =，且'()y f x =在0x x =左负右正. 结合图像可知满足条件的有1个. 故选：B
【点睛】本题考查了利用导函数图像判断函数极小值的个数，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于中档题.
8.若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],2-∞-
B. (],1-∞-
C. [)2,+∞
D.
[)1,+∞
【答案】D 【解析】
【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，
∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而
在区间()1,+∞上单调递减，
∴
．∴的取值范围是[
)1,+∞．故选D ．
考点：利用导数研究函数的单调性.
9.若复数z=（x 2-4）+（x+3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
分析：先通过复数的基本概念，求出“z 为纯虚数”的最简形式，判断前者成立能否推出后
者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义，即可得到结论.
详解：“z 为纯虚数”的充要条件为240
30
x x ⎧-=⎨+=⎩，即2x =±，
因为2x =±成立推不出2x =城，反之若2x =成立，则2x =±成立， 所以“z 为纯虚数”是“2x =”的必要不充分条件，故选B.
点睛：本题主要考查了充要条件的判定，以及复数的基本概念，其中熟记复数的基本概念即应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
10. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（ ） A.
13
B.
12
C.
23
D.
56
【答案】C 【解析】
试题分析：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，共有246C =种方法；其中恰有
一个红球的方法为11
224C C =种，因此恰有一个红球的概率为42
63
P =
=，故选C. 考点：古典概型及其概率的计算.
11.设()()()F x f x g x =是R 上的奇函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且
(2)0=g ，则不等式()0F x <的解集是（ ）
A. (2,0)(2,)-⋃+∞
B. (2,0)(0,2)-⋃
C. (,2)(2,)-∞-⋃+∞
D. (,2)(0,2)-∞-⋃
【答案】D 【解析】 试题分析：因为
所以
当
时，，即
在
上单调递增，且
又因为所以如图所示，所以
的解集为
故选D.
考点：1、应用导数求单调性．
【思路点晴】本题主要考查的是应用导数求函数的单调性，属于难题.由是奇函数可
知，图像关于原点对称，只需做出时的图像，则整个图像就可以做出
来.时，
在
上单调递
增.
图像上有一点
这样
的大致图像就如图所示，
的解集就是分布在三四象限的图像对于的x 的集合.
12.已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点,P 是C 左支上一点.(0,66A ,当AP PF
+最小时,在x 轴上找一点Q ,使PQ AQ +最小,最小值为( ) A. 297 B. 10
C. 86
D. 743【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据AP PF +最小，判断出P 点的位置，求得P 点坐标，再求得P 关于x 轴对称点的坐标'P ，'
AP 即PQ AQ +的最小值.
【详解】设双曲线左焦点的坐标为()13,0F -，根据双曲线的定义可知
12AP PF AP PF a +=++，所以1AP PF +最小时，AP PF +最小，此时1
,,A P F 三点共线.直线1AF 的方程为)66
3y x =+，与双曲线方程联立()2
218663
3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
，消去
y 并化简得()()2914270x x x x ++=++=，解得2x =-，或7x =-（舍去），所以
()66
2326y =
-+=，故()2,26P -.()
2,26P -关于x 轴的对称点为()
'2,26P --，连接'AP ，交x 轴于Q ，此时PQ AQ +取得最小值，且最小值为'AP ()
2
2286
297=+=.
故选：A
【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查双曲线中的最值问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.把命题“2
000,210x R x x ∃∈-+<”的否定写在横线上______________.
【答案】2
,210x R x x ∀∈-+≥ 【解析】 【分析】
根据特称命题是全称命题的知识填写出结果.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，原命题的否定为：
2,210x R x x ∀∈-+≥.
故答案为：2
,210x R x x ∀∈-+≥
【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题. 14.复数
2
64(1)
i
i -=+___________. 【答案】23i -- 【解析】 【分析】
利用复数的乘方和除法运算，化简表达式. 【详解】依题意，原式()()()64264812232224
i i i i
i i i i -⋅----====--⋅-. 故答案为：23i --
【点睛】本小题主要考查复数乘方和除法运算，属于基础题. 15.过抛物线2
4y x
=的
焦点作直线l 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，
则AB 等于___________． 【答案】8 【解析】
试题分析：抛物线2
4y x =的焦点为()1,0，设所作直线为()1y k x =-，联立方程整理得
(
)
22
2
2
2
122
2424062k k x k x k x x k
+-++=∴+==2
25k ∴=，方程为21210x x -+=
128AB x ∴=-=
考点：直线与抛物线相交问题
点评：过抛物线()2
20y px p =>焦点的弦与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则焦点弦长为12AB x x p =++ 16.已知函数f (x )=x +
4x ,g (x )=2x +a ,若∀1x ∈1,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，2x ∈[2,3]都有()()12f x f x ≥,则实数a 的取值范围是__________
【答案】(],2-∞- 【解析】 【分析】
分别求得()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值、()g x 在区间[]2,3上的最大值，由此列不等式，
解不等式求得a 的取值范围.
【详解】由于
132x ≤≤时，()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等
号成立，也即()f x 在区间1
,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为4.由于23x ≤≤时，()g x 单调递增，所以最大值为()36g a =+
由于对[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∈⎢⎥⎣⎦
，都有()()12f x f x ≥，所以46a ≥+，解得2a ≤-.所以
实数a 的取值范围是(],2-∞-. 故答案为：(],2-∞-.
【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，考查函数最值的求法，属于中档题. 三､解答题:,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知函数()3
ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1
1f ，处的切线垂直于直线1
2
y x =．
（1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间与极值． 【答案】(1)5
4
(2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数． 极小值f (5)＝－ln 5.无极大值． 【解析】
试题分析：（1）由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线1
2
y x =
可得12f '=-（）
，可求出a 的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，
进而可得函数f （x ）的单调区间与极值．
试题解析：（1）对()f x 求导得211
()4a f x x x
=
--，由()f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线12y x =知3
(1)24f a =--=-，解得54
a =．
（2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--，则22
45
()4x x f x x
--=， 令()0f x =，解得1x =-或5x =．因为1x =-不在()f x 的定义域(0,)+∞内，故舍去． 当(0,5)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,5)上为减函数； 当(5,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(5,)+∞上为增函数． 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值，(5)ln 5f =-．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
18.某初级中学共有学生2000名,各年级男生､女生人数如表: 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x 的值. (2)现用分层抽样法
全校抽取48名学生,问应在初三年级学生中抽取多少名? (3)已知y ≥245,z ≥245,求初三年级女生比男生多的概率. 【答案】（1）380；（2）12名；（3）5
11
【解析】 【分析】
（1）利用 “全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率”列方程，解方程求得x 的值.
（2）利用分层抽样的抽样比，计算出在初三年级学生中抽取的人数.
（3）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出初三年级女生比男生多的概率. 【详解】（1）依题意
0.192000
x
=，所以380x =. （2）由初一、初二学生人数为3733773803707507501500+++=+=，所以初三学生人数为20001500500-=人，故用分层抽样法在全校抽取48名学生,问应在初三年级学生中抽取500
48122000
⨯
=名. （3）由（2）可知500y z +=，而245,245y z ≥≥，所以初三女生和男生人数的可能取值有：
()()()()()245,255,246,254,247,253,248,252,249,251,()()250,250,251,249,()()()()252,248,253,247,254,246,255,245共11种，其中女生比男生多的为
()251,249,()()()()252,248,253,247,254,246,255,245共5种，故初三年级女生比男生多的概率为
5
11
. 【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查古典概型的计算，属于基础题. 19.已知函数3
2
()3()f x x ax x a R =-+∈.
（1）若3x =是()f x 的极值点,求()f x 及()f x 在[1,5]x ∈上的最大值; （2）若函数()f x 是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围.
【答案】（1）32
()=53f x x x x -+，()f x 在[1,5]x ∈上的最大值为15;
（2）实数a 的取值范围为：-33a ≤≤. 【解析】
试题分析：（1）先对函数求导，再把3x =代入导函数使之为0，即解得a 的值，进一步可求()f x ；令导函数为0，列表可求()f x 在[1,5]x ∈上的最大值；(2)函数()f x 是R 上的单调递增函数可转化为()0f x '≥在R 上恒成立,即可求出实数a 的取值范围.
试题解析：（1）()2
323f x x ax =-+'，令()30f '=，即27630a -+=∴5a =.
∴()3
2
53f x x x x =-+4分
令()2
31030f x x x =-+='，解得3x =或1
3
x =
(舍去).
当x 变化时,()f x '，()f x ,的变化情况如下表:
因此,当5x =时,()f x 在区间[1,5]上有最大值是()515f =. 8分 (2)()f x 是R 上的单调递增函数转化为()0f x '≥在R 上恒成立, 10分
从而有()2
323f x x ax =-+'，由()2
24330a =--⨯⨯≤，解得-33a ≤≤12分
考点：导函数的应用、恒成立问题、函数与方程思想.
20.已知离心率为 2
的椭圆22221x y C a b +=：(a >b >0)过点M ,1).
(1)求椭圆的方程.
(2)已知与圆x 2+y 2=8
3
相切的直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ,B ,O 为坐标原点,求OA OB
⋅的值.
【答案】（1）22
184
x y +=；
（2）0 【解析】 【分析】
（1）根据椭圆离心率、点M 的坐标以及222a b c =+列方程组，解方程求得2
2
,a b ，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合直线l 与圆
228
3
x y +=
相切，计算出OA OB ⋅的值.
【详解】（1）因为椭圆C 过点M
，所以222
22261
1c a a b c a b
⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩煤核儿
的
2
2
2
8,4,4a b c ===，所以椭圆方程为22
184
x y +=.
（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，直线l 与椭圆C 交于不同的两点
()()1122,,,A x y B x y ，由直线l 与圆相切得r =22
28
13m r k ==+，所以22388m k =+①.联立直线的方程和椭圆方程得22
18
4y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()2
2
2124280k x
kmx m +++-=，则
()()()22222216412288840k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>.由根与系数关系得2121222
428
,1212km m x x x x k k -+=⋅=
++.从而()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++()22222222
22
2848121212k m k m m k m k k k --=
-+=+++.所以OA OB ⋅1212x x y y =+
222222881212m m k k k --=+++22
2
38
812m k k
--=+，将①代入上式得0OA OB ⋅=.
当直线l 斜率不存在时，由于直线l 与圆2
2
83
x y +=
相切，
所以直线l 的方程为3
x =±，此时直线l 与椭圆22
184x y +=的两个交点为⎝⎭，或⎛ ⎝⎭
，满足0OA OB ⋅=.
综上所述，0OA OB ⋅=.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x x x =+ ，
(1)求()f x 的图象在1x = 处的切线方程并求函数()f x 的单调区间； (2)求证：()x
e f x >' .
【答案】（1）切线方程为：21y x =- ，单调增区间为2
(,)e -+∞，单调减区间是2(0,)e -（2）见解析 【解析】 试题分析：
(1)由函数的导函数可得切线的斜率为2，据此可得切线方程为：21y x =- ，单调增区间为(
)
2
,e -+∞，单调减区间是(
)2
0,e
-；
(2)构造新函数()()'ln 2x
x
g x e f x e x =-=--，结合函数的性质即可证得题中的结论. 试题解析：
(1) ()ln 2f x x ='+，∴，
所以切线方程为：
单调增区间为(
)
2
,e -+∞，单调减区间是(
)2
0,e -
(2)设，
.
∵
在
上单调递增，且
，
.
∴存在唯一的零点，使得，
即
∴在
上单调递减，在
单调递增，
∴
=，
又
，∴上式等号不成立，∴
，即
22.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的短轴长为2,
(1)求椭圆C 的方程
(2)若过点M (2,0)的引斜率为k 的直线与椭圆C 相交于两点G ､H ,设P 为椭圆C 上一点,且满足OG OH tOP +=(O 为坐标原点),当25
3
PG PH -<
时,求实数t 的取值范围? 【答案】（1）2
212x y +
=；（2
）2,,233⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）根据椭圆离心率、短轴长以及222a b c =+列方程组，解方程求得,a b ，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线GH 的方程，联立直线GH 的方程和椭圆方程，写出判别式和韦达定理.计算出弦长GH ，由25
PG PH GH -=<
k 的一个取值范围.利用OG OH tOP +=求得t 关于k 的表达式，根据k 的取值范围，求得
t 的取值范围.
【详解】（1）由于椭圆的短轴长为2
，离心率为2，所以2
22222b c a a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得
1a b c =
==，所以椭圆的方程为2
212
x y +=.
（2）设()()1122,,,G x y H x y ，设直线GH 的方程为()2y k x =-，由()22
212
y k x x y ⎧=-⎪
⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128820k x k x k +-+-=，()()()2
2228412820k k k ∆=--+->，化
简得2
12k <.且22121222
882
,1212k k x x x x k k
-+=⋅=++. 25
3
HG PG PH GH -==<
，由弦长公式得
1GH
=+
=((
=
3
=<，两边平方并化简得()()2
24114130k
k -+>，解得21
4
k >. 所以
21142
k <<. 设(),P x y ，则由OG OH tOP +=得()()1212,,x x y y t x y ++=，所以
()()121211,x x x y y y t t
=+=+，根据2
122812k x x k +=+，得
()212122284441212k k y y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=⋅-= ⎪++⎝⎭.所以()()222
84,1212k k P t k t k ⎛⎫
- ⎪ ⎪++⎝⎭
，代入椭圆2
212x y +=方程并化简得22
22
1616
1122k t k k ==++.由于21142k <<，所以2
124k <<，21426k
<+<，所以22
1616168,,416432t k ⎛⎫⎛⎫
=∈=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭+，所以2,233t ⎛⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】本小题主要考查椭圆的方程，考查向量的坐标运算，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查运算求解能力，属于难题.。