许昌县一高2011年高考模拟考试(四)文科数学试卷

文
许昌县一高2011年高考模拟考试（四）文科数学试
卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合2{|lg 0},{|20}A x x B x x x =≤=-<，则A B =
A ．（0，1
2
）
B ．[
1
2，1] C ．(]0,1 D ．[)1,2 2.已知a 为实数，若复数Z=i a i
++21为实数，则a=
A. 1 B 21 C. 3
1
D. -2
3. 最小二乘法的原理是
A.使得∑=+-n i i bx a y 1
)]([最小 B. 使得∑=+-n
i i bx a y 12])([最小
C. 使得
∑+-n
i
i
bx a y
])([2
2最小 D. 使得∑=+-n
i i bx a y 1
2)]([最小
4. 有四个关于三角函数的命题：
1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =1
2
2p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny
3p : ∀x ∈[]0,π 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2
π
其中的假命题是：A. 1p ，4p B 2p ，4p C 1p ，3p D 2p ，3p
5. 设P 是双曲线x 222－y 2
b 2＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于
A ．1或5
B ．6
C ．7
D ．9
6. 设x ，y 满足⎩⎨⎧
2x ＋y ≥4，
x －y ≥－1，
x －2y ≤2，
则z ＝x ＋y
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．既无最小值，也无最大值
7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝15，S 9＝18，在等比数列{b n }中，b 3＝a 3，b 5＝a 5，则
b 7的值为：
A ．3
B ．2 C.23 D.4
3 8．设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，有下列四个命题：
①若,,;m m βαβα⊂⊥⊥则 ②若//,,//;m m αβαβ⊂则 ③若,,,;n n m m αβαβ⊥⊥⊥⊥则
④若,,,.m m αγβγαβ⊥⊥⊥⊥则
其中正确命题的序号是
A ．①③
B ．①②
C ．③④
D ．②③
9．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC
→＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
10. 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个
数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11. 已知函数 y = f (x) 是定义在R 上的增函数，函数 y = f (x －1) 的图象关于点 (1, 0) 对称.
若对任意的 x, y ∈R ，不等式 f (x 2－6x + 21) + f (y 2－8y) < 0 恒成立，则当x > 3 时，x 2 + y 2 的取值范围是
A (3, 7)
B (9, 25)
C (13, 49)
D (9, 49)
12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A 2
B 3
C 4
D 5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应的位置上． 13.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若O A F ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 。

14. 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π
4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
15. 已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是
________．
16．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n +2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________. 三、解答题：本大题共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题12分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且222.b c a bc +-= （1）求角A 的大小；
（2）设函数2()sin cos cos ,()222x x x f x f B =+=当a =b 的值。

18．（本小题满分12分）
某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅
球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7. (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2) 若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
(3) 若参加此次测试的学生中，有6人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知、的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率.
19.（本小题满分12分）
右图为一组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD = AD = 2EC = 2.
（1）求四棱锥B —CEPD 的体积；
（2）求证：BE ∥平面PDA.
20. （本小题满分12分）
已知两点、分别在直线和上运动，且，动点满足 (为坐标原点)，点的轨迹记为曲线. (1) 求曲线的方程；
(2) 过曲线上任意一点作它的切线，与椭圆交于M 、N 两点， 求证：为定值.
21. （本小题满分12分）
已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax .
(1)当x ＝0时，函数f (x )取得极大值，求实数a 的值；
(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f ′(x )≥2x 成立，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求实数a 的
取值范围；
(3)求函数f (x )的单调区间． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 是⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD//AP ，AD 、BC 相交于E
点，F 为CE 上一点，且2.DE EF EC =⋅ （1）求证：A 、P 、D 、F 四点共圆；
（2）若AE ·ED=24，DE=EB=4，求PA 的长。

文科答案：
一、
选择题：CBDACBDDBCCB
二．13.28y x = 14. 3
2
15. 3x ＋y ＋1＝0 16. 2600
三．17． （Ⅰ）解:在ABC ∆中,由余弦定理知2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 注意到在ABC ∆中，0A π<<，所以3
A π
=为所求． ┄┄┄┄┄┄4分
（Ⅱ）解: 21111
()sin cos cos sin cos )22222242
x x x f x x x x π=+=++=
++,
由1())42
f B B π=
++=sin()14
B π
+=,┄┄┄┄┄8分 注意到2110,34412B B ππππ<<<+<,所以4B π
=,
由正弦定理,sin sin a B
b A
==,
所以b = ┄┄┄┄┄┄12分
18．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为 (人).
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． (4分)
(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等.前三组的频率和为0.28，前四组的频率
和为0.56，∴中位数位于第4组内. (8分)
(3)设成绩优秀的6人分别为a, b, c, d, e, f , 则选出的2人所有可能的情况为：ab, ac, ad, ae, ,af, bc, bd, be,,bf, cd, ce, cf, de, df, ef 共15种，其中、到少有1人入选的情况有9种，
设、两人至 少有1人入选为事件A ，则 5
3
159)(==A p
(12分)
.
20. 解：⑴(方法一)设
∵，∴是线段的中点，∴ (2分) ∵，∴，∴.
∴化简得点的轨迹的方程为.
(5分)
(方法二)∵，∴为线段的中点. (2分) ∵、分别在直线和上，∴.
又，∴，∴点在以原点为圆心，为半径的圆上. ∴点的轨迹的方程为. (5分)
⑵证明：当直线l 的斜率存在时，设l y ＝kx ＋m ，
∵l 与C 相切，∴|m |1＋k 2
＝25
5，∴.
联立，∴.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝4m 2－4
1＋4k 2
，. (8分)
∴·＝x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4k 2－4
1＋4k 2
.
又，∴·＝0. (10分)
当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±25
5
，带入椭圆方程得
M (255，255)，N (255，－255) 或 M (－255，255)，N (－255，－255
)，
此时，·＝45－4
5
＝0.
综上所述，·为定值0. (12分)
21.解：(1)f ′(x )＝1
x ＋1
＋a
由f ′(0)＝0，得a ＝－1，此时f ′(x )＝1
x ＋1
－1. 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(－1,0)上单调递增；
当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减； ∴函数f (x )在x ＝0处取得极大值，故a ＝－1.
(2)∵f ′(x )≥2x ，∴1x ＋1＋a ≥2x ，∴a ≥2x －1
x ＋1.
令g (x )＝2x －1
x ＋1
(1≤x ≤2)，
∴g ′(x )＝2＋1
(x ＋1)2>0，∴g (x )在[1,2]上是增函数，
∴a ≥g (1)＝3
2.
(3)f ′(x )＝1
x ＋1＋a .
∵1x ＋1
>0， ∴当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．
当a <0时，令f ′(x )＝0，x ＝－1
a －1；
若x ∈(－1，－1
a －1)时，f ′(x )>0，
若x ∈(－1
a －1，＋∞)时，f ′(x )<0；
综上，当a ≥0时，函数f (x )递增区间是(－1，＋∞)；
当a <0时，函数f (x )递增区间是(－1，－1a －1)，递减区间是(－1
a －1，＋∞)．
22. （Ⅰ）证明：
2,DE EF
DE EF EC CE ED
=⋅∴
=
， 又DEF CED ∠=∠，
DEF
CED ∴∆∆，EDF ECD ∠=∠，
又
//,CD PA ECD P ∴∠=∠
故P EDF ∠=∠，所以,,,A P D F 四点共圆．┄┄┄┄5分 (Ⅱ)解：由（Ⅰ）及相交弦定理得24PE EF AE ED ⋅=⋅=， 又24BE EC AE ED ⋅=⋅=，
28
6,,9,5,153
DE EC EF PE PB PC PB BE EC EC ∴======++=，
由切割线定理得2
51575PA PB PC =⋅=⨯=，
所以PA = ┄┄┄┄10分。