娄烦县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

娄烦县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）
A．64πB．16πC．12πD．4π
2．方程1
x-=表示的曲线是（）
A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆
3．已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）
A．5 B．3 C．2D．
4．（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（）
A．120 B．210 C．252 D．45
5．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
6．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0
7．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）
A．20种B．22种C．24种D．36种
8．下列计算正确的是（）
A、
21
33
x x x
÷=B、
45
54
()
x x
=C、
4
5
5
4
x x x
=D、
44
550
x x
-
=
9．有下列四个命题：
①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
10．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ） A ．20种 B ．24种 C ．26种 D ．30种
11．不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0 C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
12．定义行列式运算：
．若将函数
的图象向左平移m
（m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是 ．
14．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，B=45°，面积S=2，则b 等于 ．
16．已知函数5()sin (0)2
f x x a x π
=-≤≤
的三个零点成等比数列，则2log a = . 17．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.
18．已知x ，y 为实数，代数式222
2)3(9)2(1y x x y ++
-++-+的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.
三、解答题
19．过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，求抛物线的方程．
20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BD
CE ；
（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长
21．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=（）x ． （1）求当x ＞0时f （x ）的解析式； （2）画出函数f （x ）在R 上的图象； （3）写出它的单调区间．
22．已知函数f（x）=2x2﹣4x+a，g（x）=log a x（a＞0且a≠1）．
（1）若函数f（x）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m的取值范围；
（2）若f（1）=g（1）
①求实数a的值；
②设t1=f（x），t2=g（x），t3=2x，当x∈（0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小．
23．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
24．已知等差数列{a n}中，a1=1，且a2+2，a3，a4﹣2成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
娄烦县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC=，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1，
∵SA⊥平面ABC，SA=2
∴球O的半径R=4，
∴球O的表面积S=4πR2=64π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．
2．【答案】A
【解析】
试题分析：由方程1
x-=，即22
x-=22
1
x y
-++=，所
(1)(1)1
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.
考点：曲线的方程.
3．【答案】D
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．
4．【答案】
B
【解析】
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．
【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=，
令5﹣=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．5．【答案】A
【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量==（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
6．【答案】B
【解析】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
7．【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，
共有=12种推荐方法；
②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，
共有=12种推荐方法；
故共有12+12=24种推荐方法；
故选：C．
8．【答案】B
【解析】
试题分析：根据()a aβααβ⋅=可知，B正确。

考点：指数运算。

9．【答案】B
【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；
甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；
甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．
故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，
故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
11．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
12．【答案】C
【解析】解：由定义的行列式运算，得
=
==
=．
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，
所得图象对应的函数解析式为．
由该函数为奇函数，得，
所以，则m=．
当k=0时，m有最小值．
故选C．
【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=log a（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），故2m+n=1．
∴4m
+2n≥2=2=2．
当且仅当4m=2n，即2m=n，
即n=，m=时取等号．
∴4m
+2n的最小值为2．
故答案为：2
14．【答案】[，3]．
【解析】解：直线AP的斜率K==3，
直线BP的斜率K′==
由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
15．【答案】5．
【解析】解：∵，B=45°，面积S=2，
∴S=acsinB==2a=2．
∴a=1
由余弦定理得b2
=a2+c2﹣2accosB=12+（4）2﹣2×1××=25
∴b=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．
16．【答案】
1 2
考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．
【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题． 17．【答案】2a ≥ 【解析】
试题分析：因为()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，所以(1,2)x ∈时，()'10a
f x x
=
-≥恒成立，即a x ≥恒成立，可得2a ≥，故答案为2a ≥.1
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.
18． 【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x﹣，联立，
得，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+p=4p=8，
解得p=2．
∴抛物线的方程为y2=4x．
【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
∴
DE DC BC BA =BC AB
=，则2
4BC AB DE =⋅=，∴2BC =． ∴在Rt ABC ∆中，1
2
BC AB =，∴30BAC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，
∴在Rt ABD ∆中，30ABD ∠=︒，所以1
22
AD AB ==．
21．【答案】
【解析】解：（1）若 x ＞0，则﹣x ＜0…（1分） ∵当x ＜0时，f （x ）=（）x
．
∴f （﹣x ）=（）﹣x
．
∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， f （﹣x ）=﹣f （x ），
∴f （x ）=﹣（）﹣x =﹣2x
．…（4分）
（2）∵（x ）是定义在R 上的奇函数， ∴当x=0时，f （x ）=0，
∴f （x ）=．…（7分）
函数图象如下图所示：
（3）由（2）中图象可得：f（x）的减区间为（﹣∞，+∞）…（11分）（用R表示扣1分）
无增区间…（12分）
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．
22．【答案】
【解析】解：（1）因为抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上，对称轴为x=1，
所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
因为函数f（x）在[﹣1，3m]上不单调，
所以3m＞1，…（2分）
得，…（3分）
（2）①因为f（1）=g（1），所以﹣2+a=0，…（4分）
所以实数a的值为2．…
②因为t1=f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
t2=g（x）=log2x，
t3=2x，
所以当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），…（7分）
t2∈（﹣∞，0），…（9分）
t3∈（1，2），…（11分）
所以t2＜t1＜t3．…（12分）
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，
由题设f（x）=k
x，g（x）=k2，（k1，k2≠0；x≥0）
由图知f（1）=，∴k1=
又g（4）=，∴k2=
从而f（x）=，g（x）=（x≥0）
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元
y=f（x）+g（10﹣x）=，（0≤x≤10），
令，∴（0≤t≤）
当t=，y max≈4，此时x=3.75
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．
24．【答案】
【解析】解：（1）由a2+2，a3，a4﹣2成等比数列，
∴=（a2+2）（a4﹣2），
（1+2d）2=（3+d）（﹣1+3d），
d2﹣4d+4=0，解得：d=2，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；
（2）b n===（﹣），
S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，
=（1﹣），
=，
数列{b n}的前n项和S n，S n=．。