【原创】校本练习：高中数学必修5 3.4.1《利用基本不等式求最值》课堂强化、 课下检测

班级 座号 姓名 一、课堂强化：1．下列各式中正确的是( )A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋b a ≥2 a b ·ba ＝2 B ．当a>1，b>1时，lg a ＋lgb ≥2lg alg bC ．当a>4时，a ＋9a ≥2a·9a ＝6 D ．当ab<0时，－ab －1ab ≤－22．在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝lg x ＋1lg xC ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝x 2－2x ＋33．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是( )A ．339 B ．1＋2 2 C ．6 D ．74．若x>0，当x ＝__________时，x ＋1x 有最小值，最小值为________．5．已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________．6．已知x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值．二、课下检测：1．已知x>0，y>0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．42．设x>0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－13．已知a>0，b>0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．54．已知a>0，b>0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．55．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，a ≠1)的图象恒定过定点A ，若点A在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn>0，则1m ＋2n 的最小值为________．6．已知x ，y>0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为________．7．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)·(1x 2＋4y 2)的最小值为______． 8．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋ xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x>－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值．10．(1)已知x<－2，求函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值；(2)求y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值．(3)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围．一、课堂强化：1、解析：A 项中，可能b a <0，所以A 不正确；C 项中，a ＋9a ≥2a·9a＝6中的等号不成立，所以C 项不正确；D 项中，当ab<0时，－ab>0，－1ab >0，则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时等号成立，所以D 项不正确；很明显，B 项中，当a>1，b>1时，lg a>0，lg b>0，则lg a ＋lg b ≥2lg alg b 成立，所以B 项正确．答案：B2、解析：对于A ，y ＝x ＋4x ≥2x·4x ＝4(当x ＝2时等号成立)；对于B ，∵x>0，∴lg x ∈R.∴y ＝lg x ＋1lg x ≥2或y ≤－2(当x ＝10或x ＝110时取等号)；对于C ，∵y ＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，(当x 2＋1＝1，即x ＝0时取等号)，而x>0，∴y>2；对于D ，y ＝(x －1)2＋2≥2(当x ＝1时取等号)．答案：D 3、解析：∵3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ＋3y ＋1＝2×3＋1＝7，当且仅当为x ＝1,3y ＝1时等号成立．∴所求最小值为7.答案：D4、解析：∵x>0，∴x ＋1x ≥2x·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．此时，x ＋1x 有最小值2.答案：1 25、解析：由已知m ≤1x ＋4y 及x ＋y ＝4，得4m ≤(x ＋y)(1x ＋4y )，即m ≤14(1＋4＋y x ＋4xy )恒成立． ∵14(1＋4＋y x ＋4x y )≥14(5＋2y x ·4x y )＝94，当且仅当x ＝43，y ＝83时，等号成立．∴m ≤94.答案：(－∞，94]6、解：∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y)＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy ＝18. 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝2y 时等号成立，∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.二、课下检测：1、解析：(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ≥4xyxy ＝4当且仅当x ＝y 时符号成立．答案：D2、解析：y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．答案：C3、解析：∵a>0，b>0，∴1a ＋1b ≥2ab，当且仅当a ＝b 时取等号，∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab·2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1且2ab ＝2ab 时，取等号．故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.答案：C4、解析：∵a ＋b ＝2，∴y ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝a ＋b 2a ＋4a ＋4b 2b ＝12＋b 2a ＋2ab ＋2 ≥52＋2b 2a ·2a b ＝52＋2＝92当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立．答案：C 5、解析：由题意得A(－2，－1)，∵A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0.即2m ＋n ＝1.又mn>0，∴m>0，n>0.1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．答案：86、解析：x ＋1x ＋y ＋1y ＝x ＋x ＋y x ＋y ＋x ＋y y ＝3＋(y x ＋xy )≥3＋2＝5，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立．答案：57、解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy|＝22时等号成立．答案：98、解析：x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y)2－xy ＝1，∴(x ＋y)2＝xy ＋1≤(x ＋y2)2＋1.∴34(x ＋y)2≤1.∴x ＋y ≤23 3.当且仅当x ＝y ＝33时等号成立．答案：23 39、解：(1)2x ＋y ＝3(2x ＋y )3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83.当且仅当y x ＝4x y 时等号成立，即y 2＝4x 2.∴y ＝2x.又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43.∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)∵x>－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝t>0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2 t·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9.10、解：(1)∵x<－2，∴x ＋2<0，－(x ＋2)>0.∴y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4＝－[－2(x ＋2)＋－1x ＋2]－4≤－2－2(x ＋2)·－1x ＋2－4＝－22－4.当且仅当－2(x ＋2)＝－1x ＋2(x<－2)，即x ＝－2－22时，y 取最大值－22－4.(2)令t ＝x 2＋4，则y ＝f(t)＝t ＋1t ，由f(t)＝t ＋1t (t ≥2)的单调性，知y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上是增函数，∴t ＝2时，f(t)min ＝2＋12＝52，即当x 2＋4＝2，也就是x ＝0时，y min ＝52.(3)∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b2)2，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立∴(a ＋b)2－4(a ＋b)－12≥0.∴(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.又a>0，b>0，∴a ＋b ≥6.即a ＋b 的取值范围为[6，＋∞]。