高中数学必修四课时作业2：2.5.1 平面几何中的向量方法

2.5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法
一、基础达标
1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是
( )
A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7
2 5 [答案] B
[解析] BC 中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－52，5，
∴|AD
→|＝52
5.
2．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则
点O 是△ABC 的
( )
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点 [答案] D
[解析] ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA
→＝0. ∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为三条高的交点．
3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →
＝x 2，则点P 的轨迹是
( )
A ．x 2＋y 2＝1
B ．x 2－y 2＝1
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝－2x
[答案] D
[解析] P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(－x ，－y ) 则P A →·PB →＝(－2－x )(－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝－2x .
4．已知平面向量a ，b ，c ，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成角相等，则|a ＋b ＋c |＝
( )
A. 3 B ．6或 2 C ．6 D ．6或3 [答案] D
5．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为
( )
A ．2x ＋y －7＝0
B ．2x ＋y ＋7＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．x －2y －4＝0 [答案] A
[解析] 设P (x ，y )为直线上一点，则AP →⊥a ，即(x －2)×2＋(y －3)×1＝0，即2x ＋y －7＝0.
6．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________． [答案] x ＋3y －7＝0
[解析] 设P (x ，y )是所求直线上任一点，
直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(1,3)，由(x －1，y －2)·(1,3)＝0得x ＋3y －7＝0.
7．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形．
证明 设AB →＝a ，AD →
＝b ， 由于四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC
→＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD
→＝AD →－AB →＝b －a . ∵AC ＝BD ，∴|a ＋b |＝|b －a |. ∴|a ＋b |2＝|b －a |2.
∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2. ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b ，即AB →⊥AD →.∴AB ⊥A D. ∴四边形ABCD 是矩形． 二、能力提升
8．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|
＝12，则△ABC 的形状是
( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰(非等边)三角形
D ．等边三角形
[答案] D
[解析] 由⎝ ⎛⎭⎪
⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|
＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →
〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°. 故△ABC 为正三角形，选D.
9．(2013·福建理)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4，2)，则四边形的面
积为
( )
A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 [答案] C
[解析] 因为在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →＝0，所
以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又|AC
→|＝12＋22＝5，|BD
→|＝
(－4)2＋22＝25，该四边形的面积：12|AC →|·|BD →|＝1
2×5×25＝5. 10．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为1
2，则α与β的夹角θ的取值范围是________． [答案] [π6，5
6π]
[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为： S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝1
2，
所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥1
2且θ∈[0，π]，所以θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，56π. 11．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明) 证明 连接OP ，设向量OA
→＝a ，OP →＝b ， 则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ， PB
→＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →， 即∠APB ＝90°.
12．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连接DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .
证明 如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)， 于是AD →＝(－2,1)， AC
→＝(－2,2)， 设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，
得BF →·AD →＝0， 即(x ，y )·(－2,1)＝0， ∴－2x ＋y ＝0.①
又F 点在AC 上，则FC →∥AC →， 而FC
→＝(－x,2－y )， 因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0， 即x ＋y ＝2.②
由①、②式解得x ＝23，y ＝4
3， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，DC →＝(0,1)， DF →·DC
→＝13
， 又DF →·DC
→＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ， ∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝5
5， 又cos ∠ADB ＝|BD →||AD
→|＝15＝5
5，
∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC . 三、探究与创新
13.如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .
证明 设PD →＝λCD →，并设△ABC 的边长为a ，则有 P A →＝PD
→＋DA →
＝λCD
→＋13BA →＝λ(23BA →－BC →)＋13BA → ＝13(2λ＋1) BA →－λBC →，又EA →＝BA →－13B C →.
∵P A →∥EA
→，∴13(2λ＋1) BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →.
于是有： ⎩⎪⎨⎪⎧
1
3(2λ＋1)＝k ，λ＝13k .解得，λ＝1
7.
∴P D →＝17C D →.
∴BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67(BD →－BC →)＝17 BC →＋47BA →.C D →＝
23BA →－BC →. 从而BP →·CD →＝(17BC →＋47B A →)·(
23BA →－BC →) ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0.∴BP →⊥CD →.
∴BP ⊥DC .。