湖南省初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)

湖南省初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)
湖南省2021初三年级数学上册期中试卷(含答案解析) 一、填空题〔共12小题，每题2分，总分值24分〕
1．方程4〔x﹣2〕2﹣25=0的解为．
2．正比例函数的图象经过点〔m，2〕和〔﹣2，3〕，那么m 的值为．
3．假定 = ，那么 =；假定= = ≠0，那么 =．
4．线段a：b=c：d，假定a=5cm，b=6cm，d=12cm，那么c=．5．在正比例函数y= 图象的每个象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是．
6．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根区分为x1=1，x2=2，那么b=；c=．
7．在△ABC和△DEF，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°．当∠F=时，△ABC∽△DEF．
8．假定函数y=〔m﹣1〕是正比例函数，那么m的值等于．9．关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是．
10．国度实施惠农政策后，某镇农民人均支出经过两年由1万元，提高到1.44万元，这两年该镇农民人均支出的平均增长率是．
11．假定△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，那么S△ABC：S△DEF=．
12．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是．
二、选择题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
13．以下各点中，在正比例函数图象上的是〔〕
A．〔﹣1，8〕 B．〔﹣2，4〕 C．〔1，7〕 D．〔2，4〕
14．假设关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根区分为
x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是〔〕
A． x2+3x+4=0 B． x2﹣4x+3=0 C． x2+4x﹣3=0 D． x2+3x ﹣4=0
15．以下命题正确的选项是〔〕
A．位似图形一定不是全等形
B．相似比等于1的两个位似图形全等
C．两个位似图形的周长比等于相似比的平方
D．两个位似图形面积的比等相似比
16．正比例函数y=﹣，以下结论不正确的选项是〔〕A．图象必经过点〔﹣1，2〕 B． y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内 D．假定x＞1，那么y＞﹣2 17．假定关于x的一元二次方程〔2m﹣1〕x2+〔m+1〕x+1=0的两根相等，那么m等于〔〕
A．﹣1或5 B．﹣1或﹣5 C． 1或﹣5 D． 1或5 18．如图，在△ABC中，点D，E区分在边AB，AC上，DE∥BC，
AE=6，，那么EC的长是〔〕
A． 4.5 B． 8 C． 10.5 D． 14
19．如图，D是△ABC一边BC上一点，衔接AD，使△ABC∽△DBA 的条件是〔〕
A． AC：BC=AD：BD B． AC：BC=AB：AD C． AB2 =CD?BC D． AB2=BD?BC
20．矩形的长为x，宽为y，面积为9，那么y与x之间的函数关系式用图象表示大致为〔〕
A． B． C． D．
三、解答题〔21、22题每题6分，23-28题每题6分〕21．束缚程〔2x+1〕2﹣〔x﹣3〕〔2x﹣1〕=3x．
22．如图，D，E区分是△ABC的边AB、AC的延伸线上的点，且DE∥BC，AB=5，BD=3，BC=6，求DE的长．
23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件价钱50元．为了尽快增加库存，商场决议采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日销售额可到达2100元？
24．关于x的一元二次方程mx2﹣〔3m﹣1〕x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．
25．如下图，一次函数y=kx+b〔k≠0〕的图象与x轴、y轴区分交于A、B两点，且与正比例函数y= 〔m≠0〕的图象在
第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．假定
OA=OB=OD=1．
〔1〕求点A、B、D的坐标；
〔2〕求一次函数和正比例函数的解析式．
26．如下图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A末尾沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B末尾沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，假设点P、Q同时动身，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．27．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延伸线于点E．求证：OC2=OA?OE．28．关于x的方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+3=0．
〔1〕当m为何值时方程有实数根？
〔2〕设方程的两实根区分为x1、x2，且x12+x22=22，求m 的值．
湖南省2021初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析
一、填空题〔共12小题，每题2分，总分值24分〕
1．方程4〔x﹣2〕2﹣25=0的解为或﹣．
考点：解一元二次方程-直接开平方法．
剖析：把原式变形为〔x+a〕2=b的方式，用直接开平方法求出x﹣2，然后进一步求x．
解答：解：∵4〔x﹣2〕2﹣25=0，
∴〔x﹣2〕2= ，
∴x﹣2=± ，
∴x1= ，x2=﹣．
故答案为或﹣．
点评：此题考察了解一元二次方程﹣直接开平方法，遵照的法那么：要把方程化为〝左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解〞．
2．正比例函数的图象经过点〔m，2〕和〔﹣2，3〕，那么m 的值为﹣3 ．
考点：正比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
剖析：此题可依据正比例函数图象上点的横纵坐标是一个定值即可求解．
解答：解：∵正比例函数的图象经过点〔m，2〕和〔﹣2，3〕，
∴k=xy=﹣2×3=﹣6，
∴2m=﹣6，
∴m=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评：此题考察了正比例函数图象上点的坐标特征，较为复杂，容易掌握．
3．假定 = ，那么 = ；假定= = ≠0，那么 = ．
考点：比例的性质．
剖析：依据合比性质，可得答案；
依据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，依据分式的性质，可得答案．
解答：解： = 由合比性质，得
由= = ≠0，得
y= ，z=2x．
故答案为：，．
点评：此题考察了比例的性质，应用了合比性质，比例的性质用x表示y，用x表示z是解题关键．
4．线段a：b=c：d，假定a=5cm，b=6cm，d=12cm，那么c= 10cm ．
考点：比例线段．
剖析：由a：b=c：d，可得bc=ad，再将a=5cm，b=6cm，d=12cm 代入，即可求出c．
解答：解：∵a：b=c：d，
∴bc=ad，
∵a=5cm，b=6cm，d=12cm，
∴6c=5×12，
解得c=10．
故答案为10cm．
点评：此题考察了比例的性质的运用，主要考察先生的计
算才干．
5．在正比例函数y= 图象的每个象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是m＜1 ．
考点：正比例函数的性质．
剖析：依据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m 的取值范围即可．
解答：解：∵在正比例函数y= 图象的每个象限内，y随x 的增大而减小，
∴1﹣m＞0，
解得m＜1．
故答案为：m＜1．
点评：此题考察的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．
6．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根区分为x1=1，x2=2，那么b= ﹣3 ；c= 2 ．
考点：根与系数的关系．
剖析：依据根与系数的关系，直接代入计算即可．
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根区分为x1=1，x2=2，
∴1+2=﹣b，1×2=c，
∴b=﹣3，c=2，
故答案为：﹣3，2．
点评：此题考察了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
7．在△ABC和△DEF，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°．当∠F=60°时，△ABC∽△DEF．
考点：相似三角形的判定．
剖析：先依据三角形的内角和定理计算出∠C=60°，由于∠B=80°=∠E=80°，依据有两组角对应相等的两个三角形相似，那么当∠F=∠C=60°时可判别△ABC∽△DEF．
解答：解：∵∠A=40°，∠B=80°，
∴∠C=180°﹣40°﹣80°=60°，
而∠B=80°=∠E=80°，
∴当∠F=∠C=60°时，△ABC∽△DEF．
故答案为60°．
点评：此题考察了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
8．假定函数y=〔m﹣1〕是正比例函数，那么m的值等于﹣1 ．
考点：正比例函数的定义．
剖析：依据正比例函数的定义先求出m的值，再依据系数不为0停止取舍．
解答：解：∵y=〔m﹣1〕是正比例函数，
∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0，
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
点评：此题考察了正比例函数的定义，重点是将普通式〔k≠0〕转化为y=kx﹣1〔k≠0〕的方式．
9．关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是a＜2，且a≠1．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
专题：计算题．
剖析：此题是根的判别式的运用，由于关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，所以△=b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于a的不等式，求解即可，还要思索二次项的系数不能为0．
解答：解：∵关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4×〔a﹣2〕×1＞0，
解这个不等式得，a＜2，
又∵二次项系数是〔a﹣1〕，
∴a≠1．
故M得取值范围是a＜2且a≠1．
点评： 1、一元二次方程根的状况与判别式△的关系：〔1〕△＞0?方程有两个不相等的实数根；
〔2〕△=0?方程有两个相等的实数根；
〔3〕△＜0?方程没有实数根．
2、二次项的系数不为0是先生经常遗忘思索的，是易错点．10．国度实施惠农政策后，某镇农民人均支出经过两年由1万元，提高到1.44万元，这两年该镇农民人均支出的平均增长率是20% ．
考点：一元二次方程的运用．
专题：增长率效果．
剖析：增长率效果，普通用增长后的量=增长前的量×〔1+增长率〕，假设设这两年该镇农民人均支出的平均增长率是x，那么由题意可得出1×〔1+x〕2=1.44，解方程即可求解．解答：解：设这两年该镇农民人均支出的平均增长率是x，依据题意得：1×〔1+x〕2=1.44
解得x=﹣2.2〔不合题意舍去〕，x=0.2
所以这两年该镇农民人均支出的平均增长率是20%．
故答案是：20%．
点评：此题考察了一元二次方程的运用．判别所求的解能否契合题意，舍去不合题意的解．找到关键描画语，找到等量关系准确的列出方程是处置效果的关键．
11．假定△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，那么S△ABC：S△DEF=4：9 ．
考点：相似三角形的性质．
专题：探求型．
剖析：依据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴S△ABC：S△DEF=〔〕2= ．
故答案为：4：9．
点评：此题考察的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比．
12．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是m≤1．
考点：根的判别式．
剖析：依据方程有实数根，得出△≥0，树立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解答：解：由题意知，△=4﹣4m≥0，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
点评：此题考察了根的判别式，掌握一元二次方程根的状况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根是此题的关键．
二、选择题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
13．以下各点中，在正比例函数图象上的是〔〕
A．〔﹣1，8〕 B．〔﹣2，4〕 C．〔1，7〕 D．〔2，
4〕
考点：正比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
剖析：由于正比例函数y= 中，k=xy，行将各选项横、纵坐标区分相乘，其积为8者即为正确答案．
解答：解：A、∵﹣1×8=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵﹣2×4=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．
应选D．
点评：此题考察了正比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标区分相乘其积为k者，即为正比例函数图象上的点．14．假设关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根区分为
x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是〔〕
A． x2+3x+4=0 B． x2﹣4x+3=0 C． x2+4x﹣3=0 D． x2+3x ﹣4=0
考点：根与系数的关系．
剖析：依据根与系数的关系，直接代入计算即可．
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根区分为x1=3，x2=1，
∴3+1=﹣p，3×1=q，
∴p=﹣4，q=3，
应选：B．
点评：此题考察了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
15．以下命题正确的选项是〔〕
A．位似图形一定不是全等形
B．相似比等于1的两个位似图形全等
C．两个位似图形的周长比等于相似比的平方
D．两个位似图形面积的比等相似比
考点：位似变换；命题与定理．
剖析：应用位似图形的定义以及相似图形的性质剖析求出即可．
解答：解：A、位似图形有能够是全等形，故此选项错误；
B、相似比等于1的两个位似图形全等，正确；
C、两个位似图形的周长比等于相似比，故此选项错误；
D、两个位似图形面积的比等相似比的平方，故此选项错误；应选：B．
点评：此题主要考察了位似变换以及相似图形的性质，正确应用位似图形的性质求出是解题关键．
16．正比例函数y=﹣，以下结论不正确的选项是〔〕A．图象必经过点〔﹣1，2〕 B． y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．假定x＞1，那么y＞﹣2 考点：正比例函数的性质．
剖析：依据正比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支区分位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大停止剖析即可．
解答：解：A、图象必经过点〔﹣1，2〕，说法正确，不合题意；
B、k=﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，契合题意；
C、k=﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；
D、假定x＞1，那么﹣2＜y＜0，说法正确，不合题意；
应选：B．
点评：此题主要考察了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：
〔1〕正比例函数y= 〔k≠0〕的图象是双曲线；
〔2〕当k＞0，双曲线的两支区分位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
〔3〕当k＜0，双曲线的两支区分位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
留意：正比例函数的图象与坐标轴没有交点．
17．假定关于x的一元二次方程〔2m﹣1〕x2+〔m+1〕x+1=0
的两根相等，那么m等于〔〕
A．﹣1或5 B．﹣1或﹣5 C． 1或﹣5 D． 1或5
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
剖析：由关于x的一元二次方程〔2m﹣1〕x2+〔m+1〕x+1=0有两个相等的实数根，即可得判别式△=0，即可得方程4﹣4m=0，解此方程即可求得答案．
解答：解：∵关于x的一元二次方程〔2m﹣1〕x2+〔m+1〕x+1=0的两根相等，
∴△=〔m+1〕2﹣4〔2m﹣1〕=m2﹣6m+5=0，
解得：m=1，m=5，
当m=1或m=5时，2m﹣1≠0，
∴关于x的一元二次方程〔2m﹣1〕x2+〔m+1〕x+1=0的两根相等，那么m等于1或5．
应选：D．
点评：此题考察了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，留意假定一元二次方程有两个相等的实数根，那么可得△=0．
18．如图，在△ABC中，点D，E区分在边AB，AC上，DE∥BC，AE=6，，那么EC的长是〔〕
A． 4.5 B． 8 C． 10.5 D． 14
考点：平行线分线段成比例．
剖析：依据平行线分线段成比例定理列式停止计算即可得
解．
解答：解：∵DE∥BC，
即 = ，
解得EC=8．
应选B．
点评：此题考察了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
19．如图，D是△ABC一边BC上一点，衔接AD，使△ABC∽△DBA 的条件是〔〕
A． AC：BC=AD：BD B． AC：BC=AB：AD C． AB2=CD?BC D． AB2=BD?BC
考点：相似三角形的判定．
剖析：依据相似三角形的对应边比例且夹角相等停止判别，要留意相似三角形的对应边和对应角．
解答：解：∵∠B=∠B，
∴当时，
△ABC∽△DBA，
当AB2=BD?BC时，△ABC∽△DBA，
应选D．
点评：此题主要考察的是相似三角形的性质，正确地判别出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
20．矩形的长为x，宽为y，面积为9，那么y与x之间的函
数关系式用图象表示大致为〔〕
A． B． C． D．
考点：正比例函数的图象；正比例函数的运用．
剖析：依据矩形的面积失掉y与x之间的函数关系式，依据x的范围以及函数类型即可作出判别．
解答：解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，那么y与x 之间的函数关系式是：y= 〔x＞0〕．
是正比例函数，且图象只在第一象限．
应选C．
点评：此题考察了正比例函数的图象，留意x的取值范围x ＞0，容易出现的错误是无视取值范围，选择B．
三、解答题〔21、22题每题6分，23-28题每题6分〕21．束缚程〔2x+1〕2﹣〔x﹣3〕〔2x﹣1〕=3x．
考点：解一元二次方程-配方法．
剖析：先把原方程转化为普通式方程，然后应用配方法解方程：把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
解答：解：由〔2x+1〕2﹣〔x﹣3〕〔2x﹣1〕=3x，得
2x2+8x﹣2=0，
x2+4x=1，
x2+4x+4=1+4，即〔x+2〕2=5，
解得x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．
点评：此题考察了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法解一元二次方程的步骤：
〔1〕形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到左边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
〔2〕形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
22．如图，D，E区分是△ABC的边AB、AC的延伸线上的点，且DE∥BC，AB=5，BD=3，BC=6，求DE的长．
考点：相似三角形的判定与性质．
剖析：首先依据DE∥BC，可判定△ABC∽△ADE，然后依据对应边成比例，代入求出DE的长度．
解答：解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
即 = ，
解得：DE= ．
点评：此题考察了相似三角形的判定与性质，依据DE∥BC，得出△ABC∽△ADE是解题的关键，是一道基础题．
23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件价钱50元．为了尽快增加库存，商场决议采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日销售额可到达2100
元？
考点：一元二次方程的运用．
专题：销售效果．
剖析：依据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算失掉适宜的解即可．
解答：解：设每件商品降价x元，由题意得：
〔50﹣x〕〔30+2x〕=2100，
化简得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快增加库存，那么x=15不合题意，舍去．∴x=20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
点评：此题主要考察了一元二次方程的运用；失掉可卖出商品数量是处置此题的易错点；失掉总盈利2100的等量关系是处置此题的关键．
24．关于x的一元二次方程mx2﹣〔3m﹣1〕x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义；解一元二次方程-因式分解法．
专题：压轴题．
剖析：由一元二次方程的△=b2﹣4ac=1，树立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．
解答：解：由题意知，m≠0，△=b2﹣4ac=[﹣〔3m﹣1〕]2﹣4m〔2m+1〕=1
∴m1=0〔舍去〕，m2=10，∴原方程化为：10x2﹣29x+19=0，解得，x1=1，x2= ．
点评：此题考察了一元二次方程根的判别式的运用．切记不要疏忽一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．25．如下图，一次函数y=kx+b〔k≠0〕的图象与x轴、y轴区分交于A、B两点，且与正比例函数y= 〔m≠0〕的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．假定
OA=OB=OD=1．
〔1〕求点A、B、D的坐标；
〔2〕求一次函数和正比例函数的解析式．
考点：正比例函数综合题．
专题：计算题；数形结合．
剖析：〔1〕依据OA=OB=OD=1和各坐标轴上的点的特点易失掉所求点的坐标；
〔2〕将A、B两点坐标区分代入y=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C点在一次函数的图象上可确定C 点坐标，将C点坐标代入y= 可确定正比例函数的解析式．解答：解：〔1〕∵OA=OB=OD=1，
∴点A、B、D的坐标区分为A〔﹣1，0〕，B〔0，1〕，D〔1，0〕；
〔2〕∵点A、B在一次函数y=kx+b〔k≠0〕的图象上，
解得，
∴一次函数的解析式为y=x+1．
∵点C在一次函数y=x+1的图象上，且CD⊥x轴，
∴点C的坐标为〔1，2〕，
又∵点C在正比例函数y= 〔m≠0〕的图象上，
∴m=2；
∴正比例函数的解析式为y= ．
点评：此题主要考察用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适宜这个函数解析式．
26．如下图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A末尾沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B末尾沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，假设点P、Q同时动身，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
考点：相似三角形的判定．
专题：动点型．
剖析：首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=〔8﹣x〕cm，又由∠B是公共角，区分从 = 或 = 剖析，即可求得答案．
解答：解：设经x秒钟△PBQ与△AB C相似，
那么AP=xcm，BQ=2xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB﹣AP=〔8﹣x〕cm，
∵∠B是公共角，
∵①当 = ，即 = 时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=4；
②当 = ，即 = 时，△QBP∽△ABC，
解得：x=1.6，
∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．
点评：此题考察了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型标题，留意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的运用．
27．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延伸线于点E．求证：OC2=OA?OE．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．
专题：证明题．
剖析：由平行线的性质及相似三角形的判定定理可得
△OCD∽△OEB，△AOD∽△COB，再由相似三角形的性质可证．解答：证明：∵CD∥BE，
∴∠DCO=∠E，
又∠DOC=∠BOE，
∴△OCD∽△OEB，
又∵AD∥BC．
同理．
即OC2=OA?OE．
点评：此题主要考察了平行线的性质及相似三角形的判定定理及性质．
28．关于x的方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+3=0．
〔1〕当m为何值时方程有实数根？
〔2〕设方程的两实根区分为x1、x2，且x12+x22=22，求m 的值．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
剖析：〔1〕依据根的判别式得出假定方程有实数根，那么△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+3〕＞0，再求解即可，
〔2〕应用根与系数的关系和得出，4〔m+1〕2﹣4〔m2+3〕=22，再解方程即可．
解答：解：〔1〕假定方程有实数根，那么△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+3〕＞0，
解得：m＞1．
答：当m＞1时，方程有实数根；
〔2〕设方程的两实根区分为x1、x2，且x12+x22=22，
那么〔x1+x2〕2﹣2x1x2=22，
4〔m+1〕2﹣4〔m2+3〕=22，
解得：m= ．
点评：此题综合考察了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的状况与判别式△的关系：〔1〕△＞0?方程有两个不相等的实数根，〔2〕△=0?方程有两个相等的实数根，〔3〕△＜0?方程没有实数根．。