母子相似形的妙用 专题辅导 不分版本

母子相似形的妙用
“一母生两子，两子皆似母。

”直角三角形斜边上的高将原直角三角形分为两个小直角三角形，这两个小直角三角形都和原直角三角形相似，这种基本图形我们不妨形象地叫做母子相似形。

在母子相似形中有三个重要的结论（如图1）：
CD AD BD
AC AB AD
BC BA BD 222===···
其应用十分广泛，有些几何命题，虽然条件中没有给出这种基本图形，但可以根据题目特征，构造出母子相似形，巧妙地运用三个结论，从而达到灵活解题的目的。

下举例说明： 例1 如图2，在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 90
分析：依题意知AD BC BE AC ⊥⊥，，因而有诸多的直角三角形，故应充分考虑母子相似形的应用。

欲证∠=︒GBM 90
因BD GM ⊥
只要证
BD GD DM 2=· 而BD=DE ，GD=EF
故只要证
DE EF DM 2=· 若将EF 平移至DK ，并连ME ，这时只要证∆∆DEM DKE 和是母子相似形，即只要证∠=︒DEM 90，也就是要证∠=∠12，而在直角三角形BEC 和HEA 中，D 、M 分别为斜边BC 、HA 的中点，所以容易得∠=∠∠=∠1324，，又易证∠=∠34，至此，思路理顺，命题可证。

例2 如图3，已知⊙O 1外切⊙O 2于P ，一条外公切线分别切两圆于点M 、N ，A 为⊙O 1上任意一点，AP 交⊙O 2于B ，AM 交BN 于C ，AD 切⊙O 2于D 。

求证：AD=AC 。

分析：AD 是⊙O 2的切线，由切割线定理，知AD AB AP 21=<>· 如图3，连结CP ，则问题转化为证∆∆A ABC CP 与构成母子相似形 即需证∠=︒⊥C CP AB 90，且
而根据题意易知，∠=∠∠=∠1324，
又因为切点三角形PMN 是直角三角形
∠=︒MPN 90
所以从而有∠+∠=︒
∠+∠=︒
34901290
故证得∠=︒C 90，且有P 、M 、C 、N 四点共圆
因而∠=∠=∠56B
于是有∆∆ABC ACP 与为母子相似形
即得CP AB ⊥
所以AC AB AP 22=<>·
于是由<1>、<2>知，命题得证。