广东高三高中数学专题试卷带答案解析

广东高三高中数学专题试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.如果，并且，那么下列不等式中不一定能成立的是（）
A．B．C．D．
2.等比数列中，，则=（）
A．10B．25C．50D．75
3.在中,若b2 + c2 = a2 + bc , 则( )
A．B．C．D．
4.已知数列中，，，若，则=（）
A．667B．668C．669D．670
，若则（）
5.等差数列的前n项和为S
n
A．130B．170C．210D．260
6.在⊿ABC中，A=45°,B=60°,a=2，则b等于（）
A．B．C．D．
7.若将20，50，100都分别加上同一个常数，所得三个数依原顺序成等比数列，则此等比数列的公比是（）A．B．C．D．
8.关于的不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
9.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么这座塔吊的高是( ) A．B．C．D．
10.已知且，则的最小值为（）
A．2B．8C．4D．1
11.已知约束条件，目标函数z=3x+y ，某学生求得x=， y=时，
z max =
， 这显然不合要求，正确答案应为( )
A ．x="3," y="3" , z max ="12"
B ．x="3," y="2" , z max =11.
C ．x="2," y=" 3" , z max = 9.
D ．x="4," y=" 0" , z max = 12.
二、填空题
1.在⊿ABC 中，，则角A =
2.某校要建造一个容积为8，深为2的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为 元。

3.已知数列{}的前n 项和为S n ，若a 1 =" -2" ,a 2=２, 且a n + 2－a n ＝１＋(-1)n 则S 50 =
4.已知三角形两边长分别为2和2，第三边上的中线长为2，则三角形的外接圆半径为
5.不等式
表示的平面区域包含点
和点
则
的取值范围是
三、解答题
1.(本题11分）已知数列的前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）若
，求数列
的前项和。

2.（本题12分）在△ABC 中，，cosC 是方程的一个根，求①角C 的度数②△ABC 周长的最小值。

3.（本题12分）某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的
原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
4.( 12分)在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，
求① tanA的值 ; ②△ABC的面积.
5.(本小题满分12分)
过点P（1，4）作直线L，直线L与x,y的正半轴分别交于A,B两点，O为原点,
①△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L的方程
6.(本小题满分14分) 已知数列的前n项和S
=9-6n．
n
（1）求数列的通项公式．
（2）设，求数列的前n项和．
广东高三高中数学专题试卷答案及解析
一、选择题
1.如果，并且，那么下列不等式中不一定能成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
2.等比数列中，，则=（）
A．10B．25C．50D．75
【答案】B
【解析】故选B
3.在中,若b2 + c2 = a2 + bc , 则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由余弦定理得：故选C
4.已知数列中，，，若，则=（）
A．667B．668C．669D．670
【答案】D
【解析】由即知：数列是首项为1，公差为3的等差数列；所以
故选D
，若则（）
5.等差数列的前n项和为S
n
A．130B．170C．210D．260
【答案】C
【解析】因为等差数列中，成等差数列。

所以
，即故选B
6.在⊿ABC中，A=45°,B=60°,a=2，则b等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正弦定理：故选A
7.若将20，50，100都分别加上同一个常数，所得三个数依原顺序成等比数列，则此等比数列的公比是（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】成等比数列，解得
所以等比数列的公比是故选D
8.关于的不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】略
9.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么这座塔吊的高是( ) A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图：；则
，所以故选B
10.已知且，则的最小值为（）
A．2B．8C．4D．1
【答案】C
【解析】故选C
11.已知约束条件，目标函数z=3x+y，某学生求得x=， y=时，
=，这显然不合要求，正确答案应为( )
z
max
A．x="3," y="3" , z max="12"B．x="3," y="2" , z max=11.
C．x="2," y=" 3" , z max= 9.D．x="4," y=" 0" , z max= 12.
【答案】A
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的阴影部分内点正整数点
满足条件的点有（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）
由z=3x+y可得y=-3x+z，则z为目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越大
求得x=y=8/3时，zmax=32/3，因为点的坐标不是整数，这显然不合要求，
结合图象可知，当直线l经过（，3，3）时z最大，此时z=12
故选A．
二、填空题
1.在⊿ABC中，，则角A =
【答案】
【解析】【考点】解三角形
由正弦定理可知，
即
，设
，则，，所以
，由
，则
，即
.
点评：此题考查正弦定理及余弦定理，属中低档题.
2.某校要建造一个容积为8，深为2的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为 元。

【答案】3520
【解析】【考点】根据实际问题选择函数类型． 分析：设底面一边长x （m ），那么令一边长为 （m ），底面积为4，侧面积为2×2x+2×，这样，可得总造价
y ，再利用基本不等式，可求得水池的最低总造价
解答：
解：设底面一边长x （m ），那么另一边长为（m ），如图：
总造价为：y=（2×2x+2×）×160+4×240=（x+）×640+960
≥2
×640+960=3520元
当且仅当x=，即x=2时，函数y 的值最小，即当底面边长为2（m ）的正方形时，建造的水池造价最少．
故答案为：3520
点评：本题考查了长方形模型的应用，由长方形的侧面积建立函数解析式，由解析式判断单调性并求最值，是中档题．
3.已知数列{}的前n 项和为S n ，若a 1 =" -2" ,a 2=２, 且a n + 2－a n ＝１＋(-1)n 则S 50 =
【答案】600
【解析】【考点】数列的求和．
分析：通过对n 的讨论是奇数函数偶数，判断出数列的奇数项是常数列，偶数项是等差数列，利用分组的方法将数列{a n }分成两个数列，再利用等差数列的前n 项和公式求出和． 解答：解：∵a n+2-a n =1+（-1）n
∴当n 为偶数时，a n+2-a n =2；当n 为奇数时，a n+2-a n =0
∴a 1，a 3，a 5…为常数列-2；a 2，a 4，a 6…为以2为首项，以2为公差的等差数列 ∴S 50=（（a 1+a 3+a 5…+a 49）+（a 2+a 4+a 6+…+a 50） =25×（-2）+2×25+
×2
=600
故答案为600．
点评：求数列的前n 项和，首项根据数列的通项特点．选择合适的求和方法，故关键是求出数列的通项．
4.已知三角形两边长分别为2和2，第三边上的中线长为2，则三角形的外接圆半径为 【答案】2
【解析】【考点】余弦定理；正弦定理． 分析：设AB=2，AC="2" ，AD=2，D 为BC 边的中点，BC=2x ，则BD=DC=x ，由cos ∠ADB=
，
cos ∠ADC=
且cos ∠ADB=-cos ∠ADC ，代入可求BC ，则可得A=90°，外接圆的直径2R=BC ，从而可
求
解答：解：设AB=2，AC=2
，AD=2，D 为BC 边的中点，BC=2x ，则BD=DC=x
△ABD 中，由余弦定理可得cos ∠ADB=， △ADC 中，由余弦定理可得，cos ∠ADC=
∴
=-
∴x=2
∴BC=4
∴AB2+AC2=BC2即A=90°
∴外接圆的直径2R=BC=4，从而可得R=2
故答案为：2
点评：本题主要考查了利用余弦定理求解三角形的应用，直角三角形的性质的应用，属于三角知识的综合应用．5.不等式表示的平面区域包含点和点则的取值范围是
【答案】（-2 ，3 ）
【解析】【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
分析：已知两点在不等式表示的平面区域内，即两点是不等式的解，分别代入解不等式即可得m的取值范围
解答：解：∵不等式|2x+y+m|＜3表示的平面区域包含点（0，0）和点（-1，1），
∴
解得：-2＜m＜3
∴m的取值范围是（-2，3 ）
故答案为（-2，3 ）．
点评：本题主要考查了二元一次不等式（组）与平面区域，以及不等式组的求解，属于基础题．
三、解答题
1.(本题11分）已知数列的前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和。

【答案】解：（1）当时，………………………1分
当时，也适合时，
∴…………………………5分
（2），………………………6分
∴……9分
……11分
【解析】略
2.（本题12分）在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求①角C的度数②△ABC周长的最小值。

【答案】解：①……2分
又是方程的一个根
，在△ABC中∴C = 120度…6分
②由余弦定理可得：
即：……8分
当时，c最小且此时……10分
△ABC周长的最小值为……12分
【解析】略
3.（本题12分）某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张
3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的
原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
【答案】解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，
则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个．
由题意可得：
…………5分
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图，…………8分
在一组平行直线3x＋2y＝t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线
过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2，1)，∴最优解为：x＝2，y＝1………10分
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．………12分
【解析】【考点】简单线性规划的应用．
分析：本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中解：需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌（x+2y）个，绘画标牌（2x+y）个，由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最
优解．
解答：
解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，
则可做文字标牌（x+2y）个，绘画标牌（2x+y）个．
由题意可得：
…（5分）
所用原料的总面积为z=3x+2y，作出可行域如图，…（8分）
在一组平行直线3x+2y=t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线
过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点（2，1），∴最优解为：x=2，y=1…（10分）
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．…（12分）
点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约
束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．4.( 12分)在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，
求① tanA的值 ; ②△ABC的面积.
【答案】解：①∵sinA+cosA=cos(A－45°)=，
∴cos(A－45°)= .………2分
又0°<A<180°, ∴A－45°=60°，A=105°. ……… 4分
∴tanA=tan(45°+60°)==－2－.………6分
② sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.…9分
∴S
=AC·AbsinA=·2·3·=(+).……… 12分ABC
（此题还有其它解法，类似给分）
【解析】略
5.(本小题满分12分)
过点P（1，4）作直线L，直线L与x,y的正半轴分别交于A,B两点，O为原点,
①△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L的方程
【答案】解：依题意可设直线l的方程为:(a>0 , b>0 )
则A(a , 0 ), B(0,b ), 直线L过点P（1，4）, ∴, ……………2分
又a>0 , b>0
∴
………………4分
当且仅当取等号, S的最小值为8
此时直线方程为：，即：4x + y - 8＝0…………………6分
②|OA|+|OB|=" a" + b =" (a" + b )()="5" + ……8分当且仅当取等号, ……10分
|OA|+|OB|的值最小, 此时直线方程为：即：2x + y - 6＝0……12分
法二：①依题意可设直线l的方程为:y-4 =" k" ( x -1 ) ( k<0 )
令 x =" 0" , 则y =" 4" – k ,B( 0 , 4-k) ;令 y =" 0" , 则x =+1 ,A (+1, 0)…2分S =(4-k)( +1)= (- k + 8 )≥8 ，…………4分
当且仅当-16/k = -k时，即 k = -4时取等号, S的最小值为8 ，
此时直线方程为：y-4 =" -4(" x -1 )，即：4x + y - 8＝0…………6分
②|OA|+|OB|="(" +1) + (4-k) = -k + 5 ≥4 + 5 ="9" ，……8分
当且仅当= -k时，即 k = -2时取等号, |OA|+|OB|的值最小, ……………10分
此时直线方程为：:y-4 =" -2" ( x -1 ) 即：2x + y - 6＝0……………12分
【解析】略
=9-6n．
6.(本小题满分14分) 已知数列的前n项和S
n
（1）求数列的通项公式．
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】解：（1）时，∴………理1分，文2分
时，∴………理3分，文5分
∴通项公式………理5分，文7分
（2）当时，∴………理6分，文9分
时，∴………理7分，文11分
∴
………理9分，文14分
（3）∵, (10)
两边同时乘以2n,得即∴数列{+4}是以6为首项，4为公比的等比数列，+4 = 6×4n-1，∴（n≥2） (13)
="1, " 满足上式
又C
1
∴通项公式 (14)
法二:(迭代法) = = …… =
="1, " 满足上式
=又C
1
∴通项公式
【解析】略。