新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》检测(含答案解析)(4)

一、选择题
1．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在
[0,1] 内有且只有一个根1
2
x =
，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006
B ．1007
C ．2016
D ．2017
2．设函数()243,0
23,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足
()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）
A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．5,42⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．()2,4
D ．()2,6
3．已知函数()223,0
21,0
x x x f x x -+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若存在三个实数m n q ≠≠，使得
()()()f m f n f q ==成立，则
111
222
m n q ++的取值范围是（ ） A ．[]0,1
B ．51,2222⎛⎫+
⎪⎝⎭
C ．()
2,22
D ．()0,1
4．已知函数
给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单
调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若
1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.
其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）
A ．4.25米
B ．4.5米
C ．3.9米
D ．4.05米
6．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( )
A ．(-∞，1]-
B ．(,1)-∞-
C ．[1，)+∞
D ．(1,)+∞
7．已知函数32
1()232
x f x ax bx c =+++的两个极值分别为1()f x 和2()f x ，若1x 和2x 分
别在区间(0,1)与(1,2)内，则2
1b a --的取值范围是（ ） A ．(1,14
)
B ．1[,1]4
C ．1(,)(1,)4-∞+∞
D ．1(,][1,)4-∞+∞
8．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，
是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220
()20x
x x x f x x e
⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9．统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有0.73（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（lg 20.3010≈，lg30.4771=，lg70.8451≈）（ ） A ．l 8倍
B ．21倍
C ．24倍
D ．27倍
10．函数()2
1
1f x x x
=-
+的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有3
4
的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
12．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么
t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个
随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题
13．已知函数2
2122,0
()2log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩
，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解
1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则2
12
344
x x x x x ++
的取值范围是____________.
14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x
g x =-，若满足x R ∀∈，()0f x <和
()0g x <至少有一个成立，则m 的取值范围是______．
15．若关于x 的方程24x x m -=+有两个不同实数解，则m 的取值范围是______.
16．已知函数2log ,02()25(),23
9x x x f x x <<⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩，若函数g (x )=f (x )-k 有两个不同的零点，则实数k
的取值范围是________.
17．已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当()0,x e ∈，()ln f x x =，若在区间
[],2e e -，关于x 的方程()1f x kx =+恰好有4个不同的解，则k 的取值集合是
__________.
18．（文）已知函数2cos ,1()21,1x
x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩
，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是________个．
19．函数()()
2
3x
f x x e =-，关于x 的方程()()2
10f
x mf x -+=恰有四个不同的实数
解，则正数m 的取值范围为______.
20．已知函数254,0
()22,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数
a 的取值范围是________．
三、解答题
21．已知1a >，函数()log (3)log (1)a a f x x x =-++. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；
（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.
22．受“新冠”肺炎疫情的影响，实体经济萎靡，线上投资走红，某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．
（1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大
年收益，其最大年收益是多少万元？ 23．设1a >，已知函数22
242()log log ()x f x a x a
=⋅，12f .
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的最小值；
(3)若方程f (x )－m ＝0在区间(1，4)上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围. 24．某市近郊有一块大约400m 400m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米.
（1）求S 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值，
25．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年：当
420x ≤≤时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.
（1）当020x <≤时，求v 关于x 的函数解析式；
（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求
出最大值.
26．某工厂生产某产品x 件所需成本费用为P 元，且2
110005,10
P x x =++而每件售出的价格为Q 元，其中(),x
Q a a b R b
=+
∈. （1）问:该工厂生产多少件产品，使得每件产品所需成本费用最少?
（2）若生产出的产品能全部售出，且当产量为150件时利润最大，此时每件价格为30，求a b 、的值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等
于2的周期函数，根据1
()02f =，求出3()02
f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点
个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，
2017]内根的个数．
【详解】
解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，
其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，
1
()02
f =， 1
()02
f ∴-=，
再由周期性得13
(2)()022
f f -
+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．
故选：D ． 【点睛】
利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.
2．C
解析：C 【分析】
设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】
设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：
设()()()123f x f x f x m ===，
当0x ≥时，()()2
243211f x x x x =-+=--≥-，
由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y x x =
-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，
因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．B
解析：B 【分析】
作出函数()f x 的示意图，令()()()f m f n f q t ===，m n q <<，由图象及指数运算得到12
22n
q --+=
和3
(,1)2
m ∈--，再利用不等式的性质即可得到答案. 【详解】
令()()()f m f n f q t ===，不妨设m n q <<，作出函数()f x 的图象如图所示， 则(0,1)t ∈，23m t +=，所以33
(,1)22
t m -=∈--，22)m -∈ 又22|2
1||21|n
q ---=-，所以222112n q ---=-，即1
222
n q --+=
所以
1111512(,22)222222m
m n q -++=+∈+ 故选：B
【点睛】
关键点睛：本题解题关键是准确作出函数图象，令()()()f m f n f q t ===，m n q <<得到1
2
22
n
q --+=
以及m 及2m -的范围，从而使问题得到解决. 4．C
解析：C 【分析】
①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论. 【详解】
①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩
，画出函数的图象，如下图，
由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在
(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；
②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以
函数没有最小值；
当0a =时，()1,0
ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩
，ln 0x ≥，函数的最小值是0；
当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，
ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，
综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；
对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =， 不妨设1230x x x ≤<<，11
0b x a
-=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令11
1b x a
-=
=-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-， 当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C 【点睛】
思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.
5．D
解析：D 【分析】
可设抛物线的方程为2
(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令
3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．
【详解】
解：如右图，设抛物线的方程为2
(0)x ny n =<，
将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-，
即抛物线的方程为25x y =-，
令 3.5x =，可得2
3.55y =-，解得 2.45y =-，
则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．
【点睛】
利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.
6．D
解析：D 【分析】
分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】
解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，
所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】
考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．
7．A
解析：A 【分析】
由极值点的所在区间即可知()f x 的导函数2
()2f x x ax b '=++的零点区间，应用根的分
布可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩
，结合目标式的几何意义即可求其范围.
【详解】
由题意知：2
()2f x x ax b '=++，而()f x 两个极值点1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)
内，
∴方程220x ax b ++=两个根在(0,1)与(1,2)内，()'f x 开口向上，
∴0
12020
b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
，可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，即214122a b ->->-⎧⎨->->-⎩，
∴令1,2x a y b =-=-，问题转化为在24,12x y ->>-->>-的可行域内的点与原点
所成直线斜率
y
x
的取值范围，如下图示：
有
1
(,1)4y x ∈， 故选：A 【点睛】
本题考查了根据函数极值点的所在区间求目标式的范围，应用了极值点与导数关系、根的分布、不等式的性质，结合线性规划及目标式的几何意义求范围，属于中档题.
8．C
解析：C 【解析】
根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数()2
20y x x x =+<的图象关于原点对称的图象，看它与函数()2
0x
y x e =
≥ 交点个数即可．如图所示：
当1x =时，201x
e <
< 观察图象可得：它们有2个交点． 故答案选C
点睛：本题主要考查了函数的性质运用，理解题目中两点都在函数图象上，且关于原点对称的意思，结合函数图象即可得出结果
9．D
解析：D 【分析】
根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到0.710x =，根据对数运算法则可解方程求得近似值. 【详解】
由题意可知，看到图形面积大小y 与图形实际面积x 之间满足0.7
y x
=
∴若看到全国面积约为某县面积的10倍，则0.710x =，解得：10
lg 1.437
x =
≈ lg 273lg3 1.43=≈ 27x ∴≈
故选：D 【点睛】
本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数运算性质求得结果.
10．B
解析：B 【分析】 令f(x)=0得2
11x x -+=0，所以211x x +=，再作出函数21
1y x y x
=+=与的图像得解. 【详解】
令f(x)=0得2
11x x -
+=0，所以211x x +=，再作出函数21
1y x y x
=+=与的图像, 由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为B
【点睛】
(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.
11．C
解析：C 【分析】
设这种放射性物质最初的质量为1，经过x ()x N ∈年后，剩留量是y ，则有1()4
x
y =，
然后根据物质的剩留量不超过原来的1%，建立不等关系，利用对数运算性质进行求解即可. 【详解】
设这种放射性物质最初的质量为1，经过x ()x N ∈年后，剩留量是y ， 则有1()4
x
y =， 依题意得11
()4
100
x
≤，整理得22100x ≥， 解得4x ≥，
所以至少需要的年数是4， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关放射性物质的剩留量的求解问题，在解题的过程中，注意根据条件，列出相应的关系式，之后将其转化为指数不等式，结合指数函数的性质，求得结果，属于简单题目.
12．B
解析：B 【分析】
根据题意将数据120θ=，0
100θ=，60θ=，4t =代入()010kt
e θθθθ-=+-，可得
14
12k e -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，再将40θ
代入即可得8t =，即可得答案.
【详解】
由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =
代入()010kt
e θθθθ-=+-得：()4602010020k
e
-=+-，
解得1
4
12k e -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
所以当40θ
时，()14
40201002012t ⎛⎫ -⎪
⎭
=+⎝，
解得：1
2 411
4
2
1
2
t
⎛⎫
==
⎛⎫
⎝
⎪
⎭
⎪
⎭
⎝
，
所以8
t=，
所以再经过4分钟物体的温度是40C，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】作出函数的图象及直线它们的交点的横坐标即为由图象可得出它们的性质：范围关系然后现求的范围【详解】解：作出函数的图象如图所示（1）由解得或（2）关于直线对称则综上由函数在上单调递增可得故答案为
解析：(3,3]
-
【分析】
作出函数()
f x的图象及直线y a
=，它们的交点的横坐标即为
1234
,,,
x x x x，由图象可得出
它们的性质：范围，关系．然后现求212
34
4
x x
x x
x
+
+的范围．
【详解】
解：作出函数
2
2
1
22,0
()2
log,0
x x x
f x
x x
⎧
++≤
⎪
=⎨
⎪>
⎩
的图象如图所示
（1）由
2
|log|2
x=解得
1
4
x=或4
x=，
1234
1
014
4
x x x x
∴<≤<≤<<≤，34
22
|log||log|
x x
=，
2324
log log
x x
∴-=，
34
1
x x
∴=，
（2）12
,x x关于直线2
x=-对称，则
12
4
x x
+=-，
综上，2
123444444
(14)x x x x x x x x ++
=-<≤.由函数4y x x
-=+在(1,4]上单调递增，可得212
344
(3,3]x x x x x ++
∈-. 故答案为：(3,3]-． 【点睛】
方法点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是作出函数图象与直线，把方程的根转化为函数图象与直线交点横坐标，从图象易得它们的性质．从而求得结论．
14．【分析】先判断函数的取值范围然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围【详解】解：当时又或在时恒成立即在时恒成立则二次函数图象开口只能向下且与轴交点都在的左侧即解得实数的取值范围是：故答案为：【点睛 解析：()4,0-
【分析】
先判断函数()g x 的取值范围，然后根据()0f x <和()0<g x 至少有一个成立．则可求得
m 的取值范围.
【详解】 解：()22x g x =-，当1x 时，()0g x ，
又
x R ∀∈，()0f x <或()0<g x ，
()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立，
即(2)(3)0m x m x m -++<在1x 时恒成立，
则二次函数(2)(3)y m x m x m =-++图象开口只能向下，且与x 轴交点都在(1,0)的左侧，
∴0
3121m m m <⎧⎪
--<⎨⎪<⎩，即0412m m m ⎧
⎪<⎪>-⎨⎪⎪<
⎩
，解得40m -<<， ∴实数m 的取值范围是：(4,0)-．
故答案为：(4,0)-． 【点睛】
利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x 时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
15．【分析】先由题中条件得到方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立分别求出的范围进而可得出结果【详解】由得且即且因为关于的方程有两个不同实数解所以方程在上有两个不同实数解且对任意恒成立令则函数在区间上有
解析：2,⎡⎣
先由题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且
0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，分别求出m 的范围，进而可得出结果.
【详解】
x m =+得()2
24x x m -=+且240x -≥， 即222240x mx m ++-=且22x -≤≤，
因为关于x
x m =+有两个不同实数解，
所以方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意
[]2,2x ∈-恒成立，
令()2
2
224f x x mx m =++-，[]2,2x ∈-，
则函数()f x 在区间[]22-,
上有两不同零点， 因为函数()2
2
224f x x mx m =++-是开口向上，对称轴为x m =-的二次函数，
因此只需()()()
2220
204840f f m m ⎧-≥⎪⎪
≥⎨⎪∆=-->⎪⎩
，解得m -<<
又0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，所以m x ≥-对任意[]2,2x ∈-恒成立， 因此只需2m ≥
综上，2m ≤<
故答案为：2,⎡⎣. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于根据题中条件，得到方程222240x mx m ++-=在[]2,2x ∈-上有两个不同实数解，且0x m +≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，（一定要注意0x m +≥），转化为一元二次方程根的分布问题求解即可.
16．【分析】作出函数f(x)的图象将函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点转化为y=f(x)y=k 的图象又两个不同的交点求解【详解】函数的图象如图所示：若函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点等
解析：5,19⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
作出函数f (x )，的图象，将函数g (x )=f (x )-k 有两个不同的零点，转化为y =f (x )，y =k 的图象又两个不同的交点求解.
函数
2
log,02 ()2
5
(),2
39
x
x x
f x
x
<<
⎧
⎪
=⎨
+≥
⎪⎩
的图象如图所示：
若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，
由图知：
5
1
9
k
<<
故答案为：
5
,1
9
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【点睛】
方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
17．【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象再根据周期得区间上图象最后结合图象确定与动直线恰有4个交点的情况再求出对应数值【详解】因为是以为周期的上的奇函数所以当所以当作出区间上图象如图则直线过或时恰
解析：
11
,
2
e e
⎧⎫
--
⎨⎬
⎩⎭
【分析】
先根据函数奇偶性作出一个周期上图象，再根据周期得区间[]
,2
e e
-上图象，最后结合图象确定与动直线1
y kx
=+恰有4个交点的情况，再求出对应数值.
【详解】
因为()
f x是以2e为周期的R上的奇函数，
所以(0)0,()()()()()0
f f e f e f e f e f e
==-=-∴=-=，
当()
0,
x e
∈，()ln
f x x
=，所以当(),0
x e
∈-，()()ln(-)
f x f x x
=--=-，
作出区间[],2e e -上图象如图，则直线1y kx =+过(,0)A e 或(2,0)B e 时恰有4个交点，此时
11,2k k e e
=
-=-
故答案为：11,2e e ⎧⎫
--⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查函数奇偶性、周期性以及根据图象研究函数零点，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属中档题.
18．5【分析】先解方程再根据图象确定实根个数【详解】或图象如图：则由图可知实根的个数是5个故答案为：5【点睛】本题考查函数与方程考查综合分析求解能力属中档题
解析：5 【分析】
先解方程2
()3()20f x f x -+=，再根据()f x 图象确定实根个数.
【详解】
2()3()20()1f x f x f x -+=∴=或()2f x =，
2cos
,1()21,1x
x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩
图象如图：
则由图可知，实根的个数是5个 故答案为：5 【点睛】
本题考查函数与方程，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．【分析】先利用导数求出函数的单调区间和极值令由题意可知方程有两个不同的实数根根据数形结合和韦达定理可知一个根在内一个根在内再令因为所以只需由此即可求出的取值范围【详解】解：令得或1当时函数在上单调递
解析：3
366
e m e >+
【分析】
先利用导数求出函数()f x 的单调区间和极值，令()f x t =，由题意可知，方程
210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在
36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭内，一个根在36,e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
内，再令()2
1g t t mt =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，由此即可求出m 的取值范围． 【详解】
解：()()
()()2
2331x
x
x x e x f e x x =+-=+-'，
令()0f x '=得，3x =-或1，
当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >， 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增， 所以()()36
3f x f e
=-=极大值，()()12f x f e ==-极小值， 令()f x t =， 因为关于x 的方程()()2
10f
x mf x -+=恰有四个不同的实数解，
所以方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，且一个根在360,
e ⎛⎫
⎪⎝
⎭
内，一个根在36,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内，或者两个根都在()2,0e -内，或者一根为36e ，另一根在()2,0e -内；
因为m 为正数，所以121t t =，120t t m +=>，所以1t ，2t 都为正根，所以两个根不可能在()2,0e -内，也不可能一根为
36
e ，另一根在()2,0e -内； 所以实数根1t ，2t ，且一个根在360,
e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭内，一个根在36,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内，
令()2
1g t t mt =-+，因为()010g =>，
所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3
366
e m e
>+，
即m 的取值范围为：336,6e e ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭.
故答案为：336,6e e ⎛⎫
++∞ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．
20．【分析】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象利用数形结合思想进行求解即可【详解】函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象有四个不同的交点画出函数图象如下图所示：由图象可知
解析：(1,3)
【分析】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：
由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<. 故答案为：(1,3) 【点睛】
本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.
三、解答题
21．（1）(1,3)-；（2）零点为13+13-3）2a =. 【分析】
（1）由函数的解析式可得30
10
x x ->⎧⎨
+>⎩，解可得x 的取值范围，即可得答案，
（2）根据题意，由函数零点的定义可得
()log (3)log (1)log [(3)(1)]0a a a f x x x x x =-++=-+=，即(3)(1)1x x -+=，解可得
x 的值，即可得答案，
（3）根据题意，将函数的解析式变形可得
2()log (3)log (1)log [(3)(1)]log (23)a a a a f x x x x x x x =-++=-+=-+-，设
223t x x =-++，分析t 的最大值可得()f x 的最大值为log 4a ，则有log 42a =，解可得
a 的值，即可得答案.
【详解】
解：（1）根据题意，()log (3)log (1)a a f x x x =-++，
必有3010
x x ->⎧⎨+>⎩，解可得13x ， 即函数的定义域为(1,3)-，
（2）()log (3)log (1)a a f x x x =-++，若()log (3)log (1)0a a f x x x =-++=， 即log [(3)(1)]0a x x -+=，即(3)(1)1x x -+=，
解可得：1x =+1x =-
即函数()f x 的零点为11
（3）2()log (3)log (1)log [(3)(1)]log (23)a a a a f x x x x x x x =-++=-+=-+-，
设223t x x =-++，(1,3)x ∈-，
则2(1)44t x =--+≤，有最大值4，
又由1a >，则函数()f x 有最大值log 4a ，
则有log 42a =，解可得2a =，故2a =.
22．（1）1()(0),()8f x x x g x =≥=2）投资债券类产品6万元，股票类投资为4万元；
74
万元. 【分析】
（1）根据题干条件，设出函数解析式：()1f x k x =，()g x k =，代入1x =即可求出12,k k 的值，进而求出解析式.（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为10x -万元，年收益为y 万元，则()(10)y f x g x =+-，代入解析式，换元求最值即可.
【详解】
解：（1）依题意可设1()(0),()f x k x x g x k =≥=
12111(1),(1)()(0),()828f k g k f x x x g x ====∴=≥=（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为10x -万元，年收益为y 万元 依题意得()(10)y f x g x =+-
即10)8x y x =≤≤.
令t =210,x t t ⎡=-∈⎣.
则210,82
t t y t -⎡=+∈⎣
即217(2),0,1084
y t t ⎡⎤=--+∈⎣⎦ 当2t = 即6x =时，收益最大，最大值为万74
元， 所以投资债券类产品6万元，股票类投资为4万元，收益最大值为万
74元. 【点睛】
本题考查求函数解析式以及函数的实际应用，属于中档题.
易错点睛：熟悉各种函数模型是解题的关键，同时一定要注意实际条件下的定义域. 23．（1）2；（2）94-；（3）9,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】
（1）12f ，∴2224221log log 2(log )2a a a
⋅=-=-，解得2a =； （2）整理221
9()(log )24
f x x =--，即可求解； （3）可得222()(lo
g )log 2f x x x =--，设2log t x =，(0,2)t ∈，令2()2
h t t t =--，(0,2)t ∈，利用()h t 的单调性，即可得()f x 单调性，即可求解.
【详解】
解：（1）函数22242()log log ()x f x a x a =⋅，12f .
2224221log log 2(log )2a a a
∴⋅=-=-，2a ∴=. （2）22224242199()log log (4)(log 2)(log 1)(log )4244x f x x x x x =⋅=-⋅+=--≥-. ∴当21log 2
x =，即2x ()f x 的最小值为94-； （3）可得222()(log )log 2f x x x =--， 设2log t x =，
(1,4)x ∈，(0,2)t ∴∈， 令2()2h t t t =--，(0,2)t ∈，
根据二次函数性质可得()h t 在1(0,)2
单调递减，在1(2，2)单调递增. 所以()f x 在2)单调递减，在(24)单调递增.
9(1)2,(2),(4)04
f f f =-=-=， 所以，方程()0f x m -=在区间(1,4)上有两个不相等的实根，则实数m 的取值范围 为9(4
-，2)-.
【点睛】
关键点睛：本题考查由方程解的个数求参数范围，常用方法是参数分离，利用函数图象交点个数数形结合求解.
24．（1）1500030306S x x ---
，定义域为(4,400]；（2）50x =，max 2430S =． 【分析】
（1）用x 求出矩形的长，然后减去道路宽后计算塑胶运动场地面积S ，注意中间三个小矩形存在，同时400可得定义域；
（2）由基本不等式求得最值．
【详解】
（1）由题意30003000(4)(
6)(6)(6)22
x x x x S ----=+250030306x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 4060
300060x x x
⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪->⎩，又400x ≤，所以6400x <≤． 综上1500030306S x x
---，定义域为(4,400]． （2）由（1
）250030306()303062430S x x =-+
≤-⨯=，当且仅当2500x x
=，即50x =时，等号成立． 所以50x =，max 2430S =．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的应用，解题关键是列出函数解析式，在定义域时，要注意变量的实际意义，本题中一是小矩形存在，二是场地长、宽不超过400米，这样才能得定义域．
25．（1）()()
2,04,15,420,82x x N v x x x N *
*⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩；（2）当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大为
252
千克/立方米. 【分析】 （1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．当420x ≤时，设()v x ax b =+，
()v x ax b =+在[4，20]是减函数，由已知得20042
a b a b +=⎧⎨+=⎩，能求出函数()v x ．
（2）依题意并由（1），22,04,*()12,420,*8
5x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩，根据分段函数的性质求出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果．
【详解】
解：（1）由题意：当04x ≤<时，()2v x =．
当420x ≤≤时，设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[4，20]是减函数，
由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩
， 解得1
8a =-，52
b =， 故函数*
*2,04,()15.420,8
2x x N v x x x x N ⎧≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）依题意并由（1）得22,04,*()12,420,*8
5x x x N f x x x x x N ≤<∈⎧⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩， 当04x ≤<时，()f x 为增函数，
且()4428f =⨯=．
当420x ≤≤时，22121()(10)12.5858
f x x x x =-+=--+， ()(10)12.5max f x f ==．
所以，当020x ≤≤时，()f x 的最大值为12.5．
当养殖密度为10尾/立方米时，
鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
【点睛】
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
26．（1）该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少；（2）
25,30.a b ==
【分析】
（1）建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；
（2）根据利润=销售收入-成本，求出利润函数，再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，结合二次函数的性质建立条件关系，即可求a ，b 的值
【详解】
解：（1）由题意，每套玩具所需成本费用为
211000510001000105255251010x x P x x x x x x
++==+++==，
当且仅当
100010x x
=， 即100x =时，每套玩具所需成本费用最少为25元． （2）利润22111()()(10005)()(5)10001010
x y xQ x P x a x x x a x b b =-=+-++=-+--， 若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，
∴满足5150
112()1015030a b a b -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩
，
解得25a =，30b =．
【点睛】
本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键，属于中档题．。