河南省2014年高中数学优质课：平面向量数量积 作课课件

已知两个为非aa零与向bb 量的 夹aa角与bbc，os我们把数量
[0, ]
a b cos1叫.数做量a 积与 中b的“数·量”积(不Do能t P省ro略du；ct)
(Inner Product)
（或内积）2，.数记作量积a的b 结，果即是数量；
ab
3. 0
a
a0
b.
cos
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
第十一页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
2. (a) b (a b) a (b)
0
a
a
0
b
a
b
b b
a
(a b) a b cos
(a)(ba) ba bacobs(cos )a ab cbo(scos )
a b cos
第十二页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
3. (a b) c a c b c
夹角有关.
[0, )
ab 0
数量积
几何意义
2
(2 , ]
2
ab 0 ab 0
2.数量积 a b等于 a 的长度与 b 在 a方向上
投影 的乘积. a b a b cos
第九页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
探究：数量积的性质（Property）
设
a
与
b
都是非零向量，则
1. a b a b 0
课堂小结（summary）： Share your gains!
1.数量积的概念，几何意义及物理意义； 2.数量积的性质；
3.数量积的运算律；
4.类比、数形结合的数学思想方法.
第二十一页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
作业（homework）：
课本 P 108 T 2、3、6
思考题：
已知向量 a与 b夹角为45°，| a | 2,| b | 1,
求 a与 b的7夹2 角.
第十六页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
自主探究：
例4.已知 | a | 3,| b | 4,且 a 与 b不共线. k为
何值时，向量 a kb与 a kb互相垂直？
解：a kb与 a kb互相垂直的条件是
(a kb) (a kb) 0
即
2
a
k
2
2
b
0
即当
(2a b)2 10
即
2
4a
4a b
2
b
10
| a | 1, a,b 夹角为45°
4 4 | b | cos 45 | b |2 Βιβλιοθήκη 0解得 | b | 3 2
| b |
（2 舍去）
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练习（Quiz Yourself）：
Part 1
课本
P106
T1,2,3
第三页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
学习目标(Learning Objectives )：
1.理解平面向量数量积 的概念及几何意义；
2.掌握向量数量积的性 质，会用平面向量的数 量积表示向量的模及向 量的夹角；
3.掌握向量数量积的运
算律.
第四页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
数量积(Dot Product)的概念：
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练习（Quiz Yourself）：
Part 2
1.向量 a,b的夹角为60°，| a | 2,| b | 1, 则 | a b | =____3___
2.在
ABC 中，若
AB BC
2
AB
0,
则ABC 的形状为_直__角__三__角__形___
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2. 若 a b 0, 则 a 0或 b 0 ，或对a吗 ？b.
3.若a c b c, c 0, 则(aab)， c对 吗0. ？
（注意不能等号两边约去 c ）
第十四页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
自主探究：
例2. 我们知道，对任意 a,b R, 恒有
(a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
第五页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
a
|a|
b
a cos
We take the component
of a that lies alongside b.
Like shining a light to see
where the shadow lies .
第六页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
投影（Projection）：
2.当
a
与
b
同向时，a
b
|
a
||
b
|;
当
a
与
b
反向时， a b
|
a
|| b | .
3. a a | a |2 或 | a |
aa
2
a
4. cos a b
| a || b |
5. | a b || a || b |
什么情况下取等号？
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数量积的运算律
已知向量 a, b, c和实数 ，则 1. a b b a 2. (a) b (a b) a (b) 3. (a b) c a c b c
当向量a b与 a b夹角为锐角时，
求实数 的取值范围.
第二十二页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
第二十三页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
2.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
Physical Background & Meaning of
the Dot Product of Vectors
洛阳外国语学校
马娜娜
第一页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
问题：物理中力（Force）对物体所 做的功（Work）是什么？
对任意向量 a, b, 是否也有类似的结论？
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b;
22
(2)(a b) (a b) a b .
2
2
(3)(a 3b) (2a b) 2a 5a b 3b
2
2
(4)(a 2b) (a 3b) a a b 6b
第十五页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
Task 1
30° 90° 120° 180°
a 5
0°
b 4 投影 4
Task 2 数量积 20
a 3
0° b 6 投影 6
23
10 3 0
0
60° 90°
30
-2 -4
-10 -20
1°530 3 180° 9 3 -6
第八页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
投影与数量积
1.投影与数量积都与向量的
F
θ S
F W S | F || S | cos
第二页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
2.4 平面向量的数量积
The Dot Product of Vectors 第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
Physical Background & Meaning of the Dot Product of Vectors
自主探究：
例3.已知 | a | 6,| b | 4, a与 b的夹角为60°，
求 (a 2b) (a 3b). 解： (a 2b) (a 3b)
a a a b 6b b =-72 变式：| a |2 a b 6 | b |2 已知| a | 366,|b6|44,c(oas 602 b)6(4a2 3b) 72,
a
a
投b 影b是co一s 个a数量.b
a cos A
a
叫做向量 a 在 bb
方向O上的投影A1. B
Aa b
叫做向量 b 在 ab
方向A1 上O的投影. B
第七页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
投影与数量积的结果都是数量.
什么时候为正（Positive），
什么时候为负（Negative）？
例1：计算 a b 与 b 在 a 方向上的投影.
k
| a | 3,| b | 4 9 16k 2 0 3 时，向量a
k
b与
a
k
k
3 4
b互相垂直.
4
第十七页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
合作探究 （Groupwork）：
已知向量 a,b夹角为 45, 且
| a | 1,| 2a b | 10, 则| b | 3 2
解： | 2a b | 10
B
b
A
a
C1
O A1 c
左边=| OB1 || c |
B1 C
右边=| OA1 || c | | A1B1 || c |
(| OA | | A B |) | c | =左边 1
11
| OB || c | 1
第十三页，编辑于星期日：十四点 五十六分。
数量积 性质与运算律
1. (a b)c 与 a(b c) 相等吗？