适用于新教材提优版2025届高考数学一轮复习学案第十章计数原理概率随机变量及其分布10

§10.3 二项式定理 考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项绽开式有关的简洁问题． 学问梳理
1．二项式定理 二项式定理
(a ＋b )n ＝(n ∈N *) 二项绽开式的通项
T k ＋1＝，它表示绽开式的第项 二项式系数
(k ＝0,1，…，n )
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数．
(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的绽开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝. 常用结论
1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2
n －1. 2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .
思索辨析
推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 的绽开式中的第k 项．( )
(2)(a ＋b )n 的绽开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )
(3)通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k 中的a 和b 不能互换．( ) (4)二项式的绽开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )
教材改编题
1.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －x 10的绽开式中x 2的系数等于( ) A ．45 B ．20 C ．－30 D ．－90 2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n
n 等于( )
A ．31
B ．32
C ．15
D ．16 3．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x n 的绽开式中二项式系数之和为64，则绽开式的常数项为________．
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a ＋b )n (n ∈N *)的绽开式的特定项
例1 (1)二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －x 210的绽开式中的常数项是( ) A ．－45 B ．－10 C ．45 D ．65
(2)已知⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －a x 5的绽开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________. 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *
)的绽开式问题
例2 (1)(1＋x )8(1＋y )4的绽开式中x 2y 2的系数是( )
A ．56
B ．84
C ．112
D ．168 (2)在(2x ＋a )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2x 6的绽开式中，x 2的系数为－120，则该二项绽开式中的常数项为( ) A ．3 204 B ．－160 C ．160 D ．－320
听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________
思维升华 (1)求二项绽开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的绽开式中的特定项问题，一般可以依据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要留意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)(2024·新高考全国Ⅰ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－y x (x ＋y )8的绽开式中x 2y 6
的系数为________(用数字作答)．
(2)在二项式(2＋x )9
的绽开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
题型二 二项式系数与项的系数问题
命题点1 二项式系数和与系数和 例3 (1)在⎝
⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的绽开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( ) A ．二项式系数和为32
B ．各项系数和为128
C ．常数项为－135
D ．常数项为135
(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10
，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.
听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 系数与二项式系数的最值问题 例4 (多选)(2024·唐山模拟)下列关于⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －2x 6的绽开式的说法中正确的是( ) A ．常数项为－160
B ．第4项的系数最大
C ．第4项的二项式系数最大
D ．全部项的系数和为1
听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 赋值法的应用
一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n
的
绽开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的绽开式中奇数项的系数和为12
[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n 的绽开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]． 跟踪训练2 (1)(多选)对于⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－3x 6的绽开式，下列说法正确的是( ) A ．全部项的二项式系数和为64
B ．全部项的系数和为64
C ．常数项为1 215
D ．系数最大的项为第3项
(2)设()2＋x 10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2
－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若51
2 023＋a 能被13整除，则a 等于( )
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A ．1.23
B ．1.24
C ．1.33
D ．1.34 听课记录：______________________________________________________________
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思维升华二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)绽开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是( )
A．－3 B．2 C．10 D．11
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943。