(word版)高中数学选修2223知识点、考点、典型例题,文档

高中数学选修
2---
-2知识点
第一章导数及其应用知识点：
一．导数概念的引入
1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般
的，函数y f(x)在x x0处的瞬时变化
率是
li
m
f(x0x)f(x0)，
x
x
我们称它为函
数y f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，
即f(x0)=lim f(x0x)f(x0)
x0
x
2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看
出当点
P n趋近于P时，直线PT与曲线相切。

容易知道，
割
线PP n 的斜率是
k n f(x n)f(x0)，当点P n趋近于P时，函数y f(x)在x
x0处的导数就是切
线PT的x n x0
斜率k，即k li
m f(x n)f(x0)f(x) x0
x n x0
3.导函数：当x变化时，f (x
)
便是x的一个函数，我们称
它为f(x)的导函数.y
f(x)的导函数有时也记作
y,
即f(x)lim f(x x)f(x)
x0
x
知识点：
二.导数的计算
1〕根本初等函数的导数
公式:
1假设f(x)c(c为常数)，那么
f(x)0；
2假设
f(x)x,那么f(x)x1;
3假设f(x)sinx,那么
f(x)cosx
4假设f(x)cosx,那
么f
(x
)sinx;
5假设
f(x)a x,那么f(x)a x lna 6假设
f(x)e x,那么f(x)e x
7假设f(x)log a x,那
么f(x)1
xlna
8假设f(x)lnx,那么
f(x)
1
x
2〕导数的运算法那么
1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)
2.[f(x)?g(x)]f(x)?g(x)f(x)?g(x)
3.[
f(x)
]
f(x)?g(x)f(x)?g(x)
g(x)
[g(x)]2
3〕复合函数求导
y f(u)和u g(x),称那么y 可以表示成为 x 的函数,即y
f(g(x))为一个复合函数
y
f(g(x))?g(x)
考点：导数的求导及运算
★1、f
x
x 2
2x si
n
，那么f '
★2、假设fx
e
x
sinx
，那么f '
x
★3.f(x)=ax 3+3x 2+2
，f(
1) 4，那么a=〔
〕
A.
10
B.
13
C.
16
D.
19
3
3
3 3
★★4.过抛物线y=x
2
上的点M (1
,1
)的切线的倾斜角是〔 〕
2 4
°
° °
°
★★5.如果曲线y
9 x 2
3与y 2 x
3
在
xx
0 处的切线互相垂直，那么
x 0=
2
.导数在研究函数中的应用知识点：
1.函数的单调性与导数 :
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(a,b)内，如果 f(x) 0，那么函数 y f(x)在这个
区间单调递增；
如果f(x) 0，那么函数 y
f(x)在这个区间单调递减 .
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况 .
求函数y f(x)的极值的方法是 :
如果在x 0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x 0)是极大值;
如果在x 0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x 0)是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系 .
求函数y f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
〔1〕 求函数y f(x)在(a,b)内的极值；
〔2〕 将函数y
f(x)的各极值与端点处的函数值
f(a)，f(b)比拟，其中最大的最大值，最小的是最小值
.
四.生活中的优化问题 利用导数的知识
,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用
★1.曲线y
x 3在P 点处的切线斜率为 k,假设k=3，那么P 点为〔
〕
A.〔－2，－8〕
B.
〔－1，－1〕或〔1，1〕
1
1
C.〔2，8〕
D.
〔－2
，－8 〕
★2.曲线y
1x 3 x 2 5，过其上横坐标为 1的点作曲线的切线，那么切线的倾斜角为〔
〕
3
3 A.6
B. 4
C.
3
D.
4
二、题型二：导数在单调性中的运用
★1.(05广东卷)函数
f(x)
x
3
3x 2
1
是减函数的区间为(
)
A.(2,
) B.
(
,2)
C.
(
,0)
D.(0,2)
★2．关于函数
f(x)
2x 3 6x 2
7
，以下说法不正确的选项是
〔
〕
A ．在区间〔
，0〕内，
f(x)
为增函数B ．在区间〔0，2〕内，
f(x)
为减函数
C ．在区间〔2， 〕内，
f(x)
为增函数D ．在区间〔
，0〕
(2,
)内,
f(x)为增函数 ★★3．(05江西)函数
yxf(x)
的图象如右图所示
(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中
yf(x)
的图象大致是〔
〕
y
1
x
-2-1
O
1
2
-1
2 1
O
y
y
y
y
2
4 4
x
2 2
1
x
1
O
-2-112
-2 -1
1 2
-2 -1O
1
x
-2
O
2x
-2
-2
-2
-1
A
B
C
D
★★★4、〔2021年山东21〕〔本小题总分值
12分〕
函数
f(x) 1nx
1 a
1(a
R).
ax
x
〔Ⅰ〕当a 1时，求曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
〔Ⅱ〕当a ≤
1
时，讨论f(x)的单调性．
2
三、导数在最值、极值中的运用：
★1.〔05全国卷Ⅰ〕函数
f(x) x
3
ax
2
3x
9，
f(x)
在x
3时取得极值，那
么
a
=〔
〕
A ． C.4
★2．函数y
2x 3 3x 2 12x 5在[0,3] 上的最大值与最小值分别是〔
〕
A.5,-15
B.5,4
C.-4,-15 ,-16
★★★3.〔根据04年天津卷文 21 改编〕函数
f(x)ax
3
cxd(a
0)
是R 上的奇函数，当 x1时
f(x)
取
得极值－2.
1〕试求a 、c 、d 的值；
2〕求
f(x)的单调区间和极大值；
★★★4.〔根据山东2021年文21改编〕设函数f(x)
x 2e x1
ax
3
bx 2 ，
x
2和x 1为
f(x)
的极值
点。

〔1〕求a,b
的值；
〔2〕讨论f(x)
的单调性；
第二章推理与证明
知识点： 1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理 ,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：
?通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?从的相同性质中推出一个明确表述的一般命题〔猜测〕 ；
?证明〔视题目要求，可有可无〕.
2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出
另一类对象也具有这些特征的推理称为类比
推理〔简称类比〕．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜测；
检验猜测。

3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比
拟、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜测
的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指
“符合情理〞的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称
为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论〞，包括
⑴大前提-----的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系
列的推理论证，最后推导出所要证明的结论
成立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，
直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明
显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后
得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
〔反设〕假设命题的结论不成立；
〔推理〕根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
〔归谬〕断言假设不成立；
〔结论〕肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
n的命题的一种方法.
数学归纳法是证明关于正整数
用数学归纳法证明命题的步骤;
N*)时命题成立；
〔1〕〔归纳奠基〕证明当n取第一个值n0(n0
〔2〕〔归纳递推〕假设n k(kn0,kN*)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
考点：无
第三章数系的扩充与复数的引入
知识点：
一:复数的概念
(1)复数:形如a bi(a R,b R)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.
(2)分类:复数a bi(a R,b R)中,当b0,就是实数;b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.
(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的局部叫做虚轴。

两个实数可以比拟大小，但两个复数如果不全是实数就不能比拟大小。

2．相关公式
⑴a bi c di a b,且c d
⑵a bi 0
ab
⑶z
a bi
a 2
b 2
zabi
z ，z 指两复数实部相同，虚部互为相反数〔互为共轭复数〕
.
3．复数运算
⑴复数加减法：
a bi c di a c
b di ；
⑵复数的乘法：
⑶复数的除法：
a bi c di ac bd bc adi ；
a bi a bi c di c
di c
di c
di
ac bd bc adi
ac bd bc ad
i
c 2
d 2
2
d 2
c 2
d 2
c
〔类似于无理数除法的 分母有理化 虚数除法的分母实数化〕
4.常见的运算规律
(1)z
z;
(2)z z 2a,z z
2bi
;
(3)zz
2
z 2
a 2
b 2;(4)z
z;(5)z z
zR
z
(6)i 4n1
i,i 4n
2
1,i 4n
3
i,i 4n4 1;
2
i;(8)
1
i
i,
1
i 1 i 2
(7) 1
i,
i
i
1 i
1
i
2
(9) 设
1 2 3i 是1的立方虚根，那么
1
2
0，
3n 1
,
3n2
,3n3
1
考点：复数的运算
★山东理科1假设z
cos
isin 〔i 为虚数单位〕，那么z 2
1的 值可能是
〔A 〕
6 〔B 〕 4
〔C 〕
3 〔D 〕
2
★山东文科1．复数
4
3i
的实部是〔 〕
A ．2
B ．2 1+2i
D ．4
C ．3
★山东理科〔2〕设z 的共轭复数是
z ，假设z+z =4,z ·z ＝8，那么
z
等于
z
〔A 〕i
〔B 〕-i
(C)±1 (D) ±i
高中数学
选修2－3知识点
第一章 计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理 ：做一件事情，完成它有 N 类方法，在第一类方法中有 M 1种不同的方法，在第二类方法中
有M 2种不同的方法，，在第N 类方法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有 M 1+M 2++M N 种不
同的方法。

2、分步乘法计数原理 ：做一件事，完成它需要分成
N 个步骤，做第一
步有m1种不同的方法，做第二步有
M 2不
同的方法，，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取 m(m ≤n)个元素，按照一定顺序 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出
m 个元
．．．．．．
素的一个排列
4、排列数：从n 个不同元素中取出
m(m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出
m 个元素的一个排列.从
n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号
A n m 表示。

A m n(n 1)
(nm
1)
n! (m
n,n,m
N)
(n m)!
5、公式：
A n
m
1 A n m A m m
C n m1 A n
m
mA n
m1
A n
m
nA n
m
1
1
，
6、组合：从
n
个不同的元素中任取
(
)个元素并成一组，叫做从
n 个不同元素中取出 个元素的一个组合。

mm ≤n
m
7、公式： mm A m n m
n(n1)
(nm
1)
1) m
m n!
n!
m A n
n(n
1)
(n
m
C n C n
m
m!
C n C n
m)!
A
m
A m
m!
m!(n
m!(nm)!
m
C nm
;C m1
m
m
C n n
n
C n
C
n1
8、二项式定理：
(a
b)n C 0n a n C 1n a n1b
C 2n a n
2
b 2
⋯
C n r a n r b r
⋯C n n b n
展开9、式二的项式通通项公式：T r1 C n r a nr b r (r
0，1⋯⋯n)
考点：1、排列组合的运用
2、二项式定理的应用
★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛开展。

某校高一新生中的五名同
学打算参加“春晖文学社〞、“舞者轮滑俱乐部〞、“篮球之家〞、“围棋苑〞四个社团。

假设
每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同
学甲不参加“围棋苑〞，那么不同的参加方法的种数为
〔 〕
A ．72
B ．108
C ．180
D ．216
★★2．在(
x
1
)24的展开式中,x 的幂的指数是整数的项共有
〔
〕
3x
A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项
★★3．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层
4件下层8 件，现要从下层 8件中取2件调整到上层，假设其他商
品的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数是
A．420B．560C．840D．20210
★★4．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为
号与网址的编号相同的概率为
1，2，3，4的四个网址，那么至多有一封邮件的编
★★5．
(x 1)8的展开式中
x2的系数为
〔〕
x
A．-56B．56C．-336D．336
第二章随机变量及其分布
知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个
变量X来表示，并且X是随着试验的结
果的不同而变化，
那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大
写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、
产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我
们可以按一定次序一一
列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散
型随机变量X可能取的值为
x1,x2,.....,x i,......,x n
X取每一个值x i(i=1,2,......〕的概率P(ξ=x i〕＝P i，
那么称表为离散型随机变量X的概率分布，简
称分布列
4、分布列性质①p i≥0,i=1，2，；②p1+p2++p n=1．
5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：
其中0<p<1，q=1-p，那么称离散型随机变量X服从参数p的二点分布
6、超几何分布：一般地,设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn k
那么它取值为k时的概率为P(Xk)C M C N M(k0,1,2,L,m)，
C N n
其中mmin M,n,且n≤N,M≤N,n,M,N N*
7、条件概率：对任意事件A和事件B，在事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、公式：
P(B|A)P(AB)
,P(A)0. P(A)
9、相互独立事件
：事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发
生的概率没有影响
,这样的两个事件叫做相互独立事件。

P(AB)
P(A)P(B)
10、n 次独立重复事件： 在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布：设在n 次独立重复试验中某个事件
A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试
kk
nk
验中某事件发生的概率是 p ，事件A 不发生的概率为
q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中
P(k)C n pq
〔其
中k=0,1,,n ，q=1-p 〕
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：
这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数
12、数学期望：一般地，假设离散型随机变量ξ的概率分布为
那么称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋＋xnpn ＋为
ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机
变量。

13、两点分布数学期望 ：E(X)=np
14、超几何分布数学期望 ：E 〔X 〕=n M .
N
15、方差:D(ξ)=(x 1-E ξ)2·P 1+〔x 2-E ξ)2·P 2 +......+〔x n -E ξ)2·P n
16、集中分布的期望与方差一览：
期望
两点分布 E ξ=p
超几何分布
En
M
服从参数为N,M,n 的超几何分布
N
二项分布，ξ ～
B 〔n,p 〕 E ξ=np
1 几何分布，p(ξ=k)=g(k ，p)
p
叫随机变量ξ的均方差，简称方差。

方差
D ξ=pq ，q=1-p
D 〔X 〕=np 〔1-p 〕*
〔N-n 〕/〔N-1〕 〔不要求〕
D ξ=q
E ξ=npq ，〔q=1-p 〕
q
D
p 2
17.正态分布：
假设概率密度曲线就是或近似地是函数
1 (x)2
2
2
f(x)
e
,x (,)
2
的图像，其中解析式中的实数
、〔 0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
那么其分布叫正态分布 记作：N(
, )，f(x)的图象称为
正态曲线。

18.根本性质：
①曲线在x 轴的上方，与 x 轴不相交．
②曲线关于直线x=对称，且在x=
时位于最高点.
③当时
x
，曲线上升；当时
x
，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以
x 轴为渐近线，向它
无限靠近．
④当
一定时，曲线的形状由
确定．越大，曲线越“矮胖〞，表示总体的分布越分散；
越小，曲线越“瘦高〞，
表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于 1.
19.3
原那么：
从上表看到,正态总体在 ( 2, 2)以外取值的概率 只有4.6%,在(
3 ,3
)以外取值的概率 只有0.3% 由于这些概率很小 ,通常称这些情况发生为小概率事件 .也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎 是不可能发生的.
考点： 1、概率的求解
2、期望的求解
3、正态分布概念
★★★ 1．(本小题总分值12分)某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可以继续参加
科目B 的考试。

每个科目只允许有一次补考时机，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要 参加这项考试，他每次考科目
A 成绩合格的概率均为
2
，每次考科目B 成绩合格的概率均为
1。

假设他在这
3
X 。

2
项考试中不放弃所有的考试时机，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为
(1) 求X 的分布列和均值；
(2) 求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。

★★★ 2〔本小题总分值12分〕
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园
4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是
，，
，
，且客人是否游览哪个景点互不影响，
设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数
之差的绝对值。

〔1〕求
=0对应的事件的概率；
〔2〕求
的分布列及数学期望。

★★★
3.
袋子中装有
8个黑球，
2个红球，这些球只有颜色上的区别。

〔1〕随机从中取出
2个球，
表示其中红球的个数，求
的分布列及均值。

〔2〕现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖
100元，第二
比拟适宜？说明理由。

第三章统计案例 知识点：
1、独立性检验
假设有两个分类变量
X 和Y ，它们的值域分另为 {x 1,x 2}和{y 1,y 2}，其样本频数列联表为：
y 1
y 2 总计 x 1 a b a+b x 2
c
d
c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
假设要推断的论述为H 1：“X 与Y 有关系〞，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给
出这种判断的可靠程度。

具体的做法是，由表中的数据算出随机变量
K^2的值〔即K 的平方〕
K 2=n(ad-bc)
2
/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] ，其中n=a+b+c+d 为样本容量，K 2的值越大，说明“X 与Y 有关系〞成立的可能性越大。

K 2≤时，X 与Y 无关；K 2时，X 与Y 有95%可能性有关；K 2时X 与Y 有99%可能性有关
2、回归分析
回归直线方程?
bx
ya
1
xy
xy
(x
x)(y y) SP
其中b
n
aybx
x 21 (x 2)
2
,
SS x (xx)
n。