2022年福建省福州市侨联高级职业中学高三数学文联考试卷含解析

2022年福建省福州市侨联高级职业中学高三数学文联
考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，则A∩B=（）
A．{－2,0} B．{0,1} C．{1} D．{0}
参考答案：
B
根据题中所给的条件，可以求得，
由交集中元素的特征，可以求得，故选B.
2. 若，则下列结论正确的是（）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＜0 D．cos2α＜0
参考答案：
D
【考点】正切函数的图象．
【分析】先求得α的范围，可得2α的范围，再根据三角函数在各个象限中的符号，得出结论．
【解答】解：，等价于kπ﹣＜α+＜kπ，等价于kπ﹣＜α
＜kπ﹣，
等价于，∴cos2α＜0，
故选：D．
3. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）
A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．
【解答】解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；
再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；
故，
解得：1＜a≤5，
故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a的不等式组，是解答的关键．
4. 设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若∥，且则；②若∥，且∥.则∥；
③若，则∥m∥n；
④若且n∥,则∥m.
其中正确命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
参考答案：
B
5. 若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是( )
A．－1－i B．1＋i C．－1＋i D．1－i
参考答案：
B
6. 函数的最小正周期是（）
参考答案：
B
7. 现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（）
A．12 B．24 C．36 D．48
参考答案：
D
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分3步进行分析：①、将电影票分成4组，其中1组是2张连在一起，②、将连在一起的2张票分给甲乙，③、将剩余的3张票全排列，分给其他三人，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①、将电影票分成4组，其中1组是2张连在一起，有4种分组方法，
②、将连在一起的2张票分给甲乙，考虑其顺序有A22=2种情况，
③、将剩余的3张票全排列，分给其他三人，有A33=6种分法，
则共有4×2×6=48种不同分法，
故选：D．
8. 若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】简单线性规划．
【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值．
【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，
直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），
∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，
由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），
同时B也在直线kx﹣y+3=0上，
代入直线得2k+3=0，即k=，
故选：A．
9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
10. cos等于（）
A．B． C．D．
参考答案：
C
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】原式利用余弦函数为偶函数化简，将角度变形后利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
【解答】解：cos=cos（3π﹣）=cos（π﹣）=﹣cos=﹣．
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若向量(a、(b满足|(a|＝1，|(b|＝2，且(a与(b的夹角为，则|(a+2(b|
＝
参考答案：
12. 已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）图
象向左平移φ个单位长度（0＜φ＜）所得图象关于y轴对称，则
φ=．
参考答案：
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：根据函数的周期为π，结合周期公式可得ω=2．得到函数的表达式后，根据函数y=f（x+φ）是偶函数，由偶函数的定义结合正弦的诱导公式化简整理，即可得到实数φ的值．
解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，
∴ω==2，函数表达式为：f（x）=sin（2x+），
又∵y=f（x）图象向左平移φ个单位长度所得图象为y=sin[2（x+φ）+）]关于y轴对称，
∴2φ+=+kπ，k∈Z，
因为0＜φ＜，所以取k=0，得φ=，
故答案为：．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的图象左移φ个单位后得到偶函数的图象，求φ的值．着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质和正弦的诱导公式等知识，属于基本知识的考查．
13. 函数f（x）=ln（3﹣2x）+的定义域为．
参考答案：
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，即﹣2≤x＜，
即函数的定义域为，
故答案为：
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．14. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________
参考答案：
15. 设，为单位向量，其中=2+， =，且在上的投影为2，则?= ，与的夹角为．
参考答案：
2，．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量投影的定义以及向量数量积和夹角的关系进行求解即可．
【解答】解：设，为夹角为θ，
则∵在上的投影为2，
∴==2?+||2=2||?||cosθ+1=2，
解得，
则．
?=（2+）?=2?+||2=2||?||cosθ+12，
故答案为：2，．
16. 若是R上的奇函数，且,又，则
.
参考答案：
-3
是上周期为5的奇函数，
．
17. 已知{a n}是等比数列，a5=，4a3+a7=2，则a7=．
参考答案：
1
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，，
∴，
解得，
a7==1．
故答案为：1．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】函数恒成立问题；函数的值域．
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，化为分段函数，即可求得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立?1﹣2m≤f（x）min=﹣3，解之即可求得m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=，
∴函数f（x）的值域为[﹣3，3]；
（Ⅱ）∵不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，
∴1﹣2m≤f（x）min=﹣3，
∴m≥2．
即m的取值范围为[2，+∞）．
【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．
19. 已知椭圆和抛物线，在上各取
两个点，这四个点的坐标为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设是在第一象限上的点，在点处的切线与交于两点，线段
的中点为，过原点的直线与过点且垂直于轴的直线交于点，证明：点
在定直线上．
参考答案：
（1）由已知，点，在椭圆上，所以，，解得：，，所以：；
点，在抛物线上，所以，所以：．
（2）设（），由得，
所以切线的方程为：，
设，，由得：，
由，得，代入得，所以，所以：，………10分
由得，所以点在定直线上．
20. （12分）（2014秋?文登市期中）已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin
（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=?的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；
（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）利用向量数量积运算公式及两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的表达式，通过正弦函数的单调递增间直接求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）通过x∈（﹣，），求出相位角的范围，利用三角函数的值域直接求f（x）的值域．
（Ⅲ）由f（α）=0且﹣1＜α＜π得，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）
=
==sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）﹣
…（1分）
∴y=f（x）的最小正周期为T=π，ω＞0，即：=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．…（2分）
由，得
所以f（x）的单调递增区间为…（4分）
（Ⅱ）∵∴
∴…（6分）
∴
∴…（8分）
（Ⅲ）∵f（α）=0，∴，
∴
∵0＜α＜π，∴，…（10分）
∴∴…（12分）
【点评】本题考查向量的数量积运算及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的性质的应用，考查计算能力．
21. （本小题满分14分）已知等差数列是递增数列，且满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
参考答案：
解：（Ⅰ）根据题意：，又，
所以是方程的两根，且，
解得，所以，. ………………………… 6分（Ⅱ），则
①
②
①一②，得，
所以. …………………………………… 14分22. 已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1﹣x2|的最小值为．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴；
（2）求f（x）在区间（0，]的取值范围．
参考答案：
【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．
（2）由x∈（0，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．
【解答】解：（1）已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣
=asin2ωx+cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为2，
可得=2，∴a=1，f（x）=sin2ωx+cosωx=2sin（2ωx+）．
x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1﹣x2|的最小值为==，∴ω=2，
f（x）=2sin（4x+）．
令4x+=kπ+，求得x=+，故函数的图象的对称轴方程为 x=+，k∈Z．
（2）∵x∈（0，]，∴4x+∈（，]，∴sin（4x+）∈[，1]，2sin
（4x+）∈[1，2]，
即f（x）在区间（0，]的取值范围为[1，2]．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．。