_二分法_的同课异构

（
１ 内 然后我再想把上面这个区间一分 － －１， ． ２
）
３ 的 为二 ， 取 中 间 值 － ３ 想 算 算 ｆ 值就算不 － ４ ４ 下去了 ．
（ ）
师： 你的想法非常好 ， 就是我们今天要介绍的 “ 二分法 ” 的主要思想 ． 此时教师给出二分法的定义 ： 对于在区间 ［ ａ， ·ｆ （ 上连 续 不 断 且 ｆ （ ｂ］ ａ） ｂ） ＜０ 的 函 数 ｙ ＝ ， 的零点所在区间 通 过 不 断 地 把 函 数 ｆ（ ｘ） ｘ） ｆ（ 一分为二 ， 使区间的两个端点逐步逼近零点 ， 进而 得到零点近似 值 的 方 法 叫 做 二 分 法 ．并 用 Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ 表格 计 算 ｆ （ ｘ ）在 ０，－ １，－ ０ ． ５，－ ０ ． ７ ５， ， 讲解如 如 图 ４） －０ ． ８ ７ ５， －０ ． ８ １ ２ ５ 处的 函 数 值 （ 何用二分法求解方程的近似解 ：
６ ３ ） ０ ＝ － ｆ（
数学通报 ２ ０ １ ５年 第５ ４卷 第４期
１ · １ 在教 １＝－ ＜０ 判定的是吧 ？ （ ２ ２ 师的提醒下 ， 学生们意识到了利用零点存在定理
（ ）
去判断零点所处的区间 ） 师： 那我们能 不 能 更 进 一 步 的 缩 小 零 点 所 处 的范围呢 ？ （ 学生继续动手计算 ） 老 师， 计 算 太 烦 了， 而且很多我们不会 生 ３： 算， 像２ 怎么算 ？ 算不下去了 ． ： 师 呵呵 ， 我们先不管算的 ， 说说你的想法吧 ？
ｘ ２ 师： 刚才我们一步一步求函数 ｆ（ ｘ） －ｘ ＝２ ｘ
图像递 增 速 度 快 ， 所 以 在 第 一 象 限 当 ｙ＝２ 的 图
２ 的图 像 有 第 一 个 交 点 后 ， 像与ｙ＝ｘ 必然还会超 ２ 所以他们还会有第二个交点 ． 过 ｙ＝ｘ 的图像 ，
的负的零点的过程其实叫做二分法 ．教 师 给 出 二 分法的定义 ．谁能帮我们总结一下二分 法 求 方 程 近似解的步骤及它的理论依据是什么呢 ？ 二分法求方程近 似 解 的 步 骤 （ 教师引导 生 ９： ： ， ·ｆ（ 满 足 ｆ（ 确定大区间［ 完善 ） ａ， ｂ］ ａ） ｂ） １． ＜ 的 中 点ｃ； 计 算 ｆ（ 的 值， 求区间（ 若 ３． ａ， ｂ） ｃ） ０； ２． ） ·ｆ（ 则ｃ 就是函数的零点 ； 若 ｆ（ ｃ ａ） ｃ） ＝０， ＜ ｆ（ ； ·ｆ（ 零点 则零 点 ｘ 若 ｆ（ ０， ａ， ｃ） ｃ） ｂ） ＜０， ０∈（ ， ） （ ， 如 此 继 续 下 去 当 区 间 两 端 点 的近 ４． ｘ ０∈ ｃ ｂ ． 似值 （ 满足精度 要 求 ） 相 等 时， 这个值即为我们要 求的近似值它的理论依据应该是零点存在定理吧 ． 师： 说的很好 ， 其实我们还发现函数的零点问 题， 方程的根的问题以及函数图像的交点问题是有 机的结合在一起的 ， 它们可以相互的转化 ．接下来 我们当堂 测 一 下 吧 ， 看看你们对二分法掌握的如 何 ？（ 教师将测试题 “ 利用计算器 ， 求方程 ｘ＝３－ ｌ ｇ ” ） 发送到学生的图形计算 精确到 ０． ｘ 的近似解 （ １ 器上 ， 学生做完答案直接反馈到教师机上 ） ． ４ 对比分析 “ 教学的目的是培养学生自 郭沫若曾经说过 ： 己学习 ， 自己研 究 ， 用 自 己 的 头 脑 来 想， 用自己的 ” 眼睛看 ， 用自己 的 手 来 做 这 种 精 神 ． 从教学方法 和教学手段的 对 比 我 们 可 以 看 出 ， 课型一虽然借 ） ， 但几乎全是教师操 助了多媒 体 （ 一般为 Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ 作学生看 ， 学 生 没 有 实 际 的 动 手 操 作 ．课 型 二 借 助了图形计算 器 ， 让学生有更多的动手操作的时 间， 让学生的主动性与参与性更加强烈 ． 两种课型 ， 学 生 的 主 体 性 地 位 不 一 样 ．课 型 一虽然教师也 让 学 生 参 与 到 教 学 中 ， 但是绝大多 数情况还是 教 师 做 主 角 ， 学 生 仅 是 配 角 而 已 ．如
图７
２ ０ １ ５年 第５ ４ 卷 第 ４ 期 数学通报 师： 你们能从图 ５ 中找出解释吗 ？ （ 图 ５ 切换 到大屏幕 ） 我知道 ， 函数 ｙ＝２ 的 图 像 比ｙ＝ｘ 的 生 ６：
ｘ
２
３ ７ 生 ８： 我通过图 ８， 图 ９ 的计算 ， 得到它的近似
） 内， 所以 解应该在区间 （ ． ７ ７ ３ ４ ３ ８， －０ ． ７ ６ ５ ６ ２ ５ －０ （ 得到同学的认可） 我估计的近似值为ｘ ０ ． ７ ７ ． ０≈ －
ｘ ２ 与ｈ（ 的 图 像， 画出正确的 ｇ（ 只是 ＝２ ＝ｘ ｘ） ｘ） 通过教师的解 释 学 生 被 动 接 受 而 已 ， 学生并没有
师： 回答的很 好 ．并 且 我 们 由 图 ７ 可 以 很 轻 松的发现 ， 它的两个正的零点分别为 ２ 和 ４．由图 还存在一个负的零点 ， 我们发现 ｆ（ 由 ｘ） ５ 和图 ６， 如 图 ７ 我们知道 这 个 负 的 零 点 是 －０ 果 ． ７ ６ ６ ６ ６ ５． 我们没有图形 计 算 器 的 话 ， 我们怎么去算它的近 ） ？ 似值呢 （ 精确到 ０． １ ０ ） 生 ７： 由图 ６ 我知道这个解在 （ 内？ ０ －１， 师： 很好 ， 不过老师要打断你一下 ， 这个 （ －１， ） ， ？ 是你从图上看出来的 有理论依据保证吗 ０ 生 ７： 因 为 ｆ（ ０） －１） ＞０， ＜０ 由 零 点 存 在 ｆ（ 定理保证的 ．如果我能把这个解确定在一 个 小 的 区间内 ， 并且区 间 两 个 端 点 的 近 似 值 如 果 相 等 的 话， 我想我就能把这个近似解找到了 ． 师： 很好 ， 怎样找区间最方便呢 ？ 生 ７： 一半一半的找应该最方便吧 ． 师： 那 大 家 试 试 看， 看谁能先找到这个小 区间 ．
生 ３： 既然要 缩 小 范 围 ， 我想我先把（ ０） －１， 这个 区 间 一 分 为 二 ， 取 中 间 值 － １ 算 算， 发现 ２ １ － ＝２ － ｆ ２
（ ）
１ ２
－ ＞ ０，又 （－ ２ ） ＝ 槡 ４ ２ １ ２ １
２
１ ） －１ ＝－ ＜ ０，所 以 我 确 定 零 点 应 该 在 ｆ（ ２
， ） 图像 （ 并且它的两个大于 ０ 的零点为 ｘ＝ 如图 ３ 学生点头赞同 ． ２ 和 ｘ＝４．
图１
图２
图３
师： 既然我们已经求出了它的两个正的零点， 并 那你们能估 且从图上能发现它有一个负的零点 ｘ ０， ？（ 算下他的近似值吗， 要求精确到０ 学生动手） ． １ ） 之间吧 ？ 生 ２： ｘ ０ －１， ０ 大概在 （ 师： 怎么估算出来的呢 ？ １ 生 ２： 感 觉 吧． －１） －１） ＝ ＜ｈ（ ＝１， ｇ（ ２ ） 由 图 像 可 以 知 道 当 ｘ＝ －１ ｈ（ ０ ＝１＞ ０） ＝０， ｇ（ （ ） （ ， 低； 当 ｘ＝０ 时 ， 的图 时 ｇ ｘ 的图像比 ｈ ｘ） ｘ） ｇ（ ） 高， 所以在 （ 和ｈ（ 必 之间ｇ（ 像比ｈ（ ｘ） ｘ） ｘ） ０ －１， 然有一 个 交 点 ． 的零点一定在（ 因 此 ｆ（ ｘ） －１， ） 内． ０ · 师： 其实你用 的 是 零 点 存 在 定 理 ： －１） ｆ（
图５
图６
Байду номын сангаас图４
） ） ） －１ ０ －１， ０ ＞０ｘ ＜０， ｆ（ ｆ（ ０∈ （ －１） －０ －１， ． ５） ＜０， ＞０ ｘ ｆ（ ｆ（ ０ ∈ （ ） －０ ． ５ －１） －０ －１， ． ７ ５） ＜０， ＞０ｘ ｆ（ ｆ（ ０∈ （ ） －０ ． ７ ５ －０ －０ ． ８ ７ ５）＜ ０， ． ７ ５） ＞ ０ ｆ（ ｆ（
情境 → 学生活动 → 意义建构 → 数学理论 → 数学 运 用 → 回顾反思 ” 式教学 ． ３ 教学过程片段 课型一
ｘ ２ 有几个零点呢 ？ 师： 函数 ｆ（ ＝２ ｘ） －ｘ 生 １： 应 该 是 ２ 个 吧， 令 ｆ（ ｘ） ＝０ 转 化 为 ｘ ２ 和ｈ（ 的 交 点 问 题， 通过画图发 ｘ） ｘ） ＝２ ＝ｘ ｇ（ （ 现有两 个 交 点 ． 生 １ 画 的 图 如 图 １ 所 示， 部分学 ， ， 生画图如图 ２ 所示 判断仅有一个交点 这里不再
２ ０ １ ５年 第５ ４ 卷 第 ４ 期 数学通报
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“ 二分法 ” 的同课异构
陆 庭
（ ） 江苏省太仓高级中学 ２ １ ５ ４ ０
“ （ 用二分法求方程的近似解 ” 下文简述为 “ 二 ） 是苏教版普通高中课程标准实验教科书高 分法 ” 函数与方程 》 第二 中数学必修 １ 第三章第 ４． １ 节《 课时的 内 容 ．本 文 将 以 “ 二 分 法” 为 载 体， 分析两 种课型 （ 课 型 一： 传 统 教 学； 课 型 二： Ｉ图 形 计 算 Ｔ 器辅助教学 ） 对学生接受新知识 ， 掌握新技能所产 生的影响和差别 ． １ 教学目标及重难点分析 知识与技能目标 ： １． （ ） 通 过 实 例 的 探 究， 学生能了解二分法的 １ 概念 ； （ ） 体会函数的零点与方程根之间的联系 ， 初 ２ 步形成用函数观点处理问题的意识 ； （ ） 能够借 助 计 算 器 或 计 算 机 用 二 分 法 求 方 ３ 程的近似解 ． 过程与方法目标 ： ２． （ ） 用 二 分 法 求 方 程 近 似 解” 的探 １ 通过经历 “ 索过程 ， 初步体会数形结合思想 、 逼近思想等 ； （ ） 培养学生能够探究问题的能力 、 严谨的科 ２ 学态度和创新能力 ． 情感态度与价值观目标 ： ３． （ ） １ 在具体 的 问 题 情 境 中 感 受 无 限 逼 近 的 过 程， 感受精确与近似的相对统一 ； （ ） 在探究解决问题的过程中 ， 培养学生与人 ２ 合作的态度、 表达与交流的意识和勇于探索的精神． 教学重 、 难点 ： ４． 重点 ： 二分法基本思想的理解 ， 用二分法求方 程近似解的步骤 ； 难点 ： 求方程 近 似 解 一 般 步 骤 的 理 解 和 概 括 及二分法的理论依据 ． ２ 教学方法与教学手段 课型一 ： 运用以引导探究为主的教学方法 ， 借 助多媒体辅助教学 ， 通过 “ 问题 — 情境 ” 式教学 ； 课型二 ： 运用学 生 自 主 探 索 、 自 主 发 现、 自主 创造 的 主 动 式 学 习 ， 借 助 图 形 计 算 器， 通过“ 问题