(整理)范德蒙行列式及其应用

范德蒙行列式及其应用
摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。

它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.
关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换
一． 范德蒙行列式定义及性质 1.范德蒙行列式的定义 定义1 关于变元1x ,2
x n x 的n 阶行列式
1
22
221
2
1
1112
1
11n n n n n n n
x x x D x x x x x x ---
= (1)
叫做1x ，2
x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.
2.我们用定理证明范德蒙德行列式
已知在级行列式
中，第行（或第列）的元素除
外都是零，那么这个行列式等于
与它的代数余子式
的
乘积 ，在
=
中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得
=
根据上述定理
=
提出每一列的公因子后得
=
最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有
=
同样可得
=（
）()()
此处
是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得
=
（
）
(
)（
）
由以上的计算可以得出，
定理1 n 阶范德蒙行列式
n V （1x ,2x ,…n x ）=1
2
2
221
2
1
1
11211...1n
n n n n n
x x x x x x x x x ---=∏(i j x x -).
有这个结果立即得出
定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.
二． 范德蒙行列式的应用
范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.
1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用
在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助. 例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0,
如果 f(x)=2
012n n a a x a x a x +++
+有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有 ()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x +++
+≤≤，11
即 201121120222222012110,0,.......................0.
n n n
n n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪
⎪++++=⎩
这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式
2111222
2
21
1
1
1
11
n
n n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.
因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,
n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,
n b b b 是数域F 中任一组给定的不全
为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.
证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=++
+，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知
10111111
0121221011,
,
.
n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c a
c a b ------⎧++
+=⎪
+++=⎪⎨⎪⎪++
+=⎩
因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式
()211112122
2
1211
101
n n j
i i j n
n n
n
n
a a a a a a D a
a a a a --≤<≤-=
=
-≠∏.
则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=++
+，使得
(),1,2,
i i f a b i n ==.
例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,
,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的
一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即
()i i f a b =()1i n ≤≤.
证明： 设()1
2121n n n n f x c x
c x c x c ---=++
++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关
于12,,
,n c c c 的线性方程组：12111211112
212221212121,,.
n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++
++=⎪⎨
⎪⎪++
++=
⎩，而该方程组的系数
行列
式为范德蒙行列式：12
111
1222
2
121111211
11
n n n n n n n n n n n n n
n a a a a a a D a a a a a a -----------=
.
当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上
n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多
项式()f x 通过该n 个点.
2. 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用
例 4 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令
123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.
证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++222
21122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++
=
22
2121311222322333333
()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++
=0.
123,,a a a 线性无关，故有
2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2
,,b Ab A b 线性无关.
例 5 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,
r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征
向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=
那么，()11220,11j
r r A
x x x j r ααα+++=≤≤-，
即()11
10r r r
j
j
j i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.
由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα==
==，又0i α≠
于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.
3. 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用
在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例。

6 设12,,
,n t t t 是互不相同的实数，证明向量组21(1,,,)n i i i i a t t t -=，i=1,2,…n,n 是
n 维向量空间的一组基.
证 令21111121222
2
211
1
1
n n n n n
n
n a t t t a t t t A a t t t ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 因为12,,
,n t t t 是互不相同的实数，所以0T A A =≠，则12,,
,n a a a 线性无关.
例 7 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数n m ≤，则在V 中存在m 个向量，其中
任取n 个向量都线性无关.
证明：因为n V F ≅，所以只需在n
F 中考虑即可. 取
()
2111,2,2,,2n α-=，
()
()
(
)
2
2
22121,2,2,2n α-=，
()()
(
)211,2,2
,2
m
m
m
n m α-=，
令()()()()()
()1
1
122
22121211
2221
2221222n
n
n k k k n k k k n n k k k n D ---=
，121n k k k m ≤≤≤
≤≤，
()()()()()
()
1
112
2
22121211
2221
2221
222n
n
n
k k k n k k k n n k k k n D ---
=
是范德蒙行列式，且0n D ≠，所以
1
2,,
,n k k k ααα线性无关.
例 8 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 的有限个真子空间不能覆盖V. 证明：当n=1时，显然成立.
设
n>1
时
，
令
12,,,n
ααα是V 的一个基，设
}
{
112n n n S k k k F V ααα-=++
+∣∈⊂，其中，n F 为F 中元素之集合.
令112:,n
n n F S k e ke k e ϕ-→→++
+，
12,,,n e e e 为单位向量.则易证ϕ是双射，
从而S 中有无穷多个不同的元素.设,1,2,i V i t =为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的
个数小于n,否则，若,1,2,
j i V j n β∈=
111121112,
.
n n n n
n n n k k k k βαααβααα--⎧=++
+⎪⎨
⎪=++
+
⎩
则由,,1,2,,
,i j k k i j n i j ≠=≠，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有
,1,2,,j k V j n α∈=，进而,1,2,
i V V i t ==矛盾.从而S 中只有有限多个元素在
1
t
i
i V =中，而S 中有无穷多个元素，所以存在x S ∈，但1
,t
i i x V =∉
即V 的有限个真子空间不能覆盖其自身.
4. 范德蒙行列式在微积分中的应用
如果视多项式为实函数，则范德蒙行列式还可以应用到微积分领域. 例 9 确定常数
使得
当x 0
时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式.
解：对
的各项利用泰勒公式，有
当
时，若
最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组
其系数行列式
为范德蒙行列式，由于，故以为未知数的方程组只有零解：
从而，这显然不合题意，
故以下考虑当时最高阶无穷小为6阶的情形.令
等价于
此时为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式
方程组有唯一一组依赖于的解：
从而在的领域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式
.
5.范德蒙行列式在行列式计算中的应用 范德蒙行列式的标准规范形式是：
1
22
2212
1
1
1112
111()n n n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==
-∏
根据范德蒙行列式的特点，我们可利用行列式的性质或拆项，升降等方法，将给定行列式转化为范德蒙行列式的形式，从而利用其结果，求出原行列式的值，恰当灵活的运用范德蒙行列式会大大简化某些复杂行列式的计算。

常见的化法有以下几种： 例10 计算
12
22
22
22
1
2
11
112
111=n
n n n n n n n n
a x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++++++++.
解 将原n 阶行列式升阶为一个n+1阶行列式
12
2222
22
12
1
1
1
12
1111
10000
n
n n n n n n n n
a x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++=
++++++.
然后将此n+1阶行列式第一行乘以()1,2,i
a
i n -=加到第i+1行可得
122
22212
12
1111n n
n
n
n n n
a x x x D a x x x a x x x -=--
=12
2221
2
1221110
n
n n
n
n n
x x x x x x x x x -12
2
2221
2
121111n
n n
n
n n n
a
x x x a
x x x a x x x
=()()()12
11
12n
n i
j
i
i
j
j i n
i j i n
x x x x x x a x x ≤≤≤=≤≤≤∙
----∏∏∏
例11 计算
11
1
1(1)()(1)()11
1
1
n
n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=
--
解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行
第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过
(1)
(1)(2)212
n n n n n ++-+-+
++=
次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：
[]
[](1)2
1111
(1)2
1
1
111
(1)
(1)()(1)
()(1)
(1)(2)
()2(1)((1))!
n n n n n n n
n
n n n
k a
a a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例12 计算
12
34
2222
112233442323232311223344
1
111
1sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=
Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ 解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得：
12
34
2222
112233442323232311223344
1111
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ 再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：
1234
2222
14123433341234
1
111
sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ=
=Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏
例13 计算
2
22123
3
312
12
11
1
3n
n n
n n n
x x x D x x x x x x =
解 作1n +阶行列式：
12
2
2221213
33312
121111n
n
n n n
n
n
n n
z
x x x z x x x D z
x x x z x x x +==1()()n i j k i l k j n
x z x x =≤<≤--∏∏ 由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：
21
1211
(1)
()()n
n n j k i n j k l
i x x x x x x -=≥>≥--∑∏
通过比较系数得：
12
11
()()n
n j k i n j k l
i D x x x x x x =≥>≥=-∑∏
()()j i j i n j i l
x x y y ≥>≥--∏
例14 设1
2
1
(0,1,
22)n
k k k k k n
i i s x x x x k n ==++
+==-∑，计算行列式
11121
22
n n n n
n s s s s s s D s s s ---=
解 利用乘积变换法
11121
1
1
12221
1
1n
n
n i
i
i i n
n
n n i
i
i
i i i n
n
n
n n n i
i
i i i n
x
x
x
x
x D x
x
x
-=====--====
∑∑∑∑∑∑∑∑
2111112212
2
2222
12
211112
2
111111
()n n n n
n n n n n
n
n
n
j i l i j n
x x x x x x x x x x x x x x
x
x x x x x -----≤<≤==
-
∏
例15 计算行列式
2211112222
2
2
221111221111
n n n n n n n n n n n n n
n
n
n
x x x x x x x x D x x x x x x x x --------=
解 将D 升阶为下面的1n +阶行列式
22111111221222221
221111112212
2
1
11
111
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x
x
----+-----------=
即插入一行与一列，使1n +是关于
12,,
,n x x x x 的1n +阶范德蒙行列式，此处x 是变数，
于是
1
121()()()
()n n i j j i n
x x x x x x x x +≤<≤=----∏
故
1
n +是一个关于x 的n 次多项式，它
可以写成
{}11
121()(1)()n n n i j n j i n
x x x x x x x -+≤<≤=
-+-++
++
∏
另一方面，将
1n +按其第
1n +行展开，即得
2111
1()(1)n n n n i j j i n
x x x Dx +-+≤<≤=
-+-+
∏
比较
1n +中关于
1n x -的系数，即得
121()
()n i j j i n
D x x x x x ≤<≤=+++-∏
参考文献
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[2] 闫晓红，高等代数（第三版），北京:中国时代经济出版社，2006
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[10] 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解：多变量部分 [M].北京：科学出版社，2005.。