人教A版(2019)3.1.2椭圆的简单几何性质(第二定义、焦半径和三角型面积)课件

.
以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), kAD kBD 1 ，
y1 x1
2
y2 x2
2
1，
y1 y2
x1x2
2( x1
x2
)
4
0
，
3(m2 4k 2 ) 3 4k 2
4(m2 3) 3 4k 2
16mk 3 4k 2
4
0 ， 7m2
16mk
4k 2
0，
解得 m1
2k, m2
过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
解:(I)由题意设椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
ac
3, a c
1， a
2, c
1, b2
x2 3
y2
1.
43
y kx m
(II)设
A(
x1
,
y1
),
B(
x2
,
y2
)
，由
x
2
4
y2 3
得 (3 4k 2 )x2 1
y k(x 1),
SABF2
1 2
|
F1F2
|
y1 y2
k x1 x2
k
8(k 2 1) 1 2k 2
2
∴ △ABF2面积的最大值为 2.
应用2：三角形的面积与韦达定理
已知直线l过椭圆x2＋2y2＝2的左焦点F1, 交椭圆于A, B两点,
求△ABF2面积的最大值. 消x
思路 : S
1 2
c
a
l′: x a2 y
l: x a2
其中，定点F(c,0)是椭圆的焦点；
c
c
定直线 l : x a2 叫做椭圆的准线；
Md H
常数
c
(a
c
c 0)
是椭圆的离心率.
•
F′ O
F•
x
a
对于椭圆
x2 a2
y2 b2
1 , 相应于焦点F (c，0)的准线方程是
x
a2 c
.
相应于焦点F (c，0)的准线方程是 x a2 . c
3.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3 ，求△AOB 面 2
积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c
c
，依题意
a
6， 3
a 3，
b 1，所求椭圆方程为 x2 y2 1． 3
（Ⅱ）设 A(x1，y1) ， B(xb2
1(a
b
0),任一点P(x, y),焦点F1(c,0), F2 (c,0).
P(x,y)
y P x
①焦半径范围: a c PF1,2 a c
F1 O
F2
②焦半径公式: PF1 a ex PF2 a ex F1
F2
设P(x, y
(1
b2 a2
), 则
)x2
析
:
由aa
c c
15..458663得ca
3.5245 2.0385
P115-2b.(23)a+ac=2 10，c2a－c=4，则椭圆的标准方程为_4x_92___3_y0_2___1或___4y_92___3x. 02 1
析
: 由aa
c c
140得ca
7 , 3
b2
a2
c2
40,
椭圆第三定义（教材例题4推广）
为等腰三角形,则M的坐标为 _(_3_, _1_5_)___ .
y
M
析 : MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得 MF1
a
exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
22
1 8 2
yM ,
yM 15, 代入方程xM 3.
A
思路1: S
1 2
AB
dO
求弦长|AB|与点O到直线AB的距离
B F1 o
F2
解 : F1(1,0), kl tan 60 3. l的方程为y 3(x 1).
l
设A( x1 ,
y1), B( x2 ,
y2 ).
联立x2 y
2 y 2 2 得7x2 3(x 1)
12x
4
0. x1
4．
当且仅当 9k 2
1 k2
，即
k
3 时等号成立．当 k 0 时， AB
3
3，
综上所述 AB 2 ．当 AB 最大时，△AOB 面积取最大值 S 1 AB 3 3 ．
max
2
max 2
2
典型例题
已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为1. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2 |
(0 e 1)
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
椭圆的第二定义：（课本117页）
平面内的动点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离与它到定直线l : x a2 的距
离的比是常数 c (a c 0), 则点M的轨迹是椭圆.
y B1
M •F2
A1 O A2 x •F1 B2
b x b, a y a
对称性
关于x, y轴对称，关于原点对称
顶点 离心率
A1(a, 0), A2 (a, 0), B1(0, b), B2(0, b) A1(b, 0), A2 (b, 0), B1(0, a), B2(0, a)
e c a
（1）当 AB⊥ x 轴时， AB 3 ．
（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m ．
由已知 m 3 ，得 m2 3 (k 2 1) ．
1 k2 2
4
把 y kx m 代入椭圆方程，整理得 (3k 2 1)x2 6kmx 3m2 3 0 ，
x1
F1 A1
a2 e2 x2 [b2 , a2 ]
y
P为长轴
P为短轴
B2
端点
端点
⑤数量积最值: b2 c2 PF1 PF2 b2 极化恒等式
A1 F1 O
x F2 A2
P为短轴端点
P为长轴端点
B1
练习1(2019全国III ).若M为
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点,且MF1F2
2k 7
，且满足 3
4k 2
m2
0
.
当 m 2k 时， l : y k(x 2) ，直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾；
当 m 2k 时， l : y k(x 2) ，直线过定点 (2 , 0). 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 (2 , 0).
7
7
7
7
方法点评 解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解 题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，进而求解．
x2
6km 3k 2 1
，
x1x2
3(m2 3k 2
1) 1
．
AB
2
(1
k 2 )(x2
x1)2
12(k 2 1)(3k 2 1 m2 ) 3(k 2 1)(9k 2 1)
(3k 2 1)2
(3k 2 1)2
3
12k 2 9k 4 6k 2
1
3
9k 2
12
1 k2
6
(k
0) ≤ 3
12 23 6
S
1 2
OF1
y1
y2
3 2
x1 x2
B F1 o
F2
l
解 : F1(1,0), kl tan 60 3. l的方程为y 3(x 1).
设A( x1 ,
y1), B( x2 ,
y2 ).
联立x2 y
2 y 2 2 得7x2 3(x 1)
12x
4
0. x1
x2
12 7
,
x1
x2
4, 7
A
思路2 :
S
1 2
OF1
y1
y2
B F1 o
F2
l
SAOB
S AOF1
SBOF1
1 2
OF
y1
y2
A
B F1 o
F2
l
应用2：三角形的面积与韦达定理
[例3]过椭圆
x2 2
y2
1的左焦点F1作倾斜角为60的直线l,与椭圆相交于
A, B两点,求AOB的面积. ([变]求AF2B的面积)
A
思路2 :
法1: S
1 2
F1F2
y1 y2
k(x1 x2 )
解：①当直线斜率不存在时, AB
1 2, SABF2 2 AB | F1F2 |
2.
②当直线斜率存在时, 设l : y k(x 1), A(x1,y2), B(x1,y2)且y1>y2.
联立x2 2 y2 2, 消y得 (1 2k 2 )x2 4k 2 x 2k 2 2 0, 8k 2 8.
x2
12 7
,
x1
x2
4, 7
| AB |
1 (
3)2
(x1 x2 )2 4x1x2
8 2 7
A
点O到l的距离dO
3 2
,
SAOB
1 2
AB
dO
18 2 27
3 2
26 7
.
l
B
F1
o
F2
例3、过椭圆
x2 2
y2
1的左焦点F1作倾斜角为60的直线l,与椭圆相交于
A, B两点,求AOB的面积.
| PF2 |2 ( x
2cx (c2
c)2
y
2
消y
x
2
2cx
c2
b2 )
c2 a2
x2
2cx
a2
(b (c a
2
b2 a2
x2
x a)2.
)
PF2
a c a
x a ex
又a x a, a c | PF2 | a c.
PF1 2a PF2 a ex
①焦半径范围: a c PF1,2 a c 区分 : b PO a
x my 1,
SABF2
1 2
| F1F2
| ( y1
y2 )
8m2 8 2 m2
22 1 m2
1
2 2 2 2
当仅当1 m2 1,即m 0时, 等号成立.
1 m2
∴ △ABF2面积的最大值为 2.
典型例题
已知椭圆
C:
x a
2 2
y2 b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3
1
3
SAOB
SAOF1 SBOF1
OF 2
y1 y2
2
x1 x2
A
3 2
(x1 x2 )2 4x1x2
3 2
( 12)2 4 4 2 6 .
7
77
B F1 o
F2
l
应用2：三角形的面积与韦达定理
已知直线l过椭圆x2＋2y2＝2的左焦点F1, 交椭圆于A, B两点, 求
△ABF2面积的最大值.
M
8 F1 O 8
4x F2
b2 20 b 2 5 c2 16 c 4 | MF1 | | MF2 | 12
P115-7.彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太 阳为一个焦点的椭圆。测得轨道的近日点距太阳中心1.486天文单位；远日点 距太阳中心5.563天文单位，且近日点、远日点及太阳中心在同一直线上，求 轨道的方程。 注1:近(远)日点距离太阳最近的点(远) 注2:1天文单位是太阳到地球的平均距离，约为1.5×108km
8mkx 4(m2
3)
0，
64m2k 2
16(3
4k 2 )(m2
3)
0
， 3 4k 2
m2
0
.
x1
x2
8mk 3 4k 2
,
x1
x2
4(m2 3) 3 4k 2
.
y1
y2
(kx1
m) (kx2
m)
k 2 x1x2
mk ( x1
x2 )
m2
3(m2 4k 2 ) 3 4k 2
F1F2
y1
y2
已知直线过点(n, 0), 可设为：
①y＝k(x－n) 不含斜率不存在的情形
②x＝my＋n 不含斜率为0的情形
解: 由题,知直线l不与x轴重合, 设l: x＝my－1, A(x1,y2)，B(x1,y2)且y1>y2.
联立x2 2 y2 1, 消x得 (2 m2 ) y 2 2my 1 0, 8m2 8.
②焦半径公式: 若P(x, y), 则
P(x,y)
焦点在x轴上 : PF1 a ex, PF2 a ex
F1
F2
焦点在y轴上 : PF1 a ey, PF2 a ey
y A2 F2 x
③定义: PF1 PF2 2a ④乘积最值: b2 PF1 PF2 a2
B1 O
B2
PF1 PF2 (a ex)(a ex)
(x
m),
F1 o
F2 B
A
O
x B
A,
P在椭圆上,
x02 a2 m2 a2
y02 b2 n2 b2
1 ,两式相减得
1
y02 x02
n2 m2
b2 a2
, kPA kPB
b2 a2
.
例3、过椭圆
x2 2
y2
1的左焦点F1作倾斜角为60的直线l,与椭圆相交于
A, B两点,求AOB的面积.
试用点差法求证
:
若点P和定点A(m,
n),
B(m,n)是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a b
0)
上的点, 且PA,
关于原点对称
PB不平行于坐标轴, 则kPA kPB
b2 a2
.
解 : 设点P(x0 , y0 ),
P A
y P
kPA
kPB
y0 n x0 m
y0 n x0 m
y02 n2 x02 m2
3.1.2 椭圆的简单几何性质
---椭圆第二定义，焦半径和三角形面积
复习：椭圆的简单几何性质
焦点位置 方程
图形 范围
x轴
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
y B1 M
A1 F•1
O