黑龙江省哈六中2022届高三数学第三次模拟考试 文

哈尔滨市第六中学2022届高三第三次模拟考试
数学（文史类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1、已知全集U=R ，集合1
{|1},{|0},()2
U x M x x N x C M N x +=≥=≥=-则
A 、(,2)-∞
B 、(,2]-∞
C 、(1,2]-
D 、[1,2)-
2、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（是虚数单位，是实数）则
A 、2
B 、
1
2
C 、12
-
D 、
3、命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为 A 、042,2≥+-∈∀x x R x B 、042,2>+-∈∃x x R x C 、042,2≤+-∉∀x x R x D 、 042,2>+-∉∃x x R x
4、设是方程ln 4x x +=的解，则属于区间 A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4）
5、若,a b 是异面直线，a α⊂,b β⊂,l αβ⋂=，则下列命题中是真命题的为
A 、l 与,a b 分别相交
B 、l 与,a b 都不相交
C 、l 至多与,a b 中的一条相交
D 、l 至少与,a b 中的一条相交 6、为了得到函数sin(2)6
y x π
=-
的图像,可以将函数cos 2y x =的图像
A 、向右平移
6π个单位 B 、 向左平移3π
个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移3
π
个单位
7
，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为
A 、
B 、
C 、 4
D 、8
8、直线032=--y x 与圆9)3()2(2
2
=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为
A 、
23 B 、43 C 、52 D 、5
56 9、设函数2
()34,f x x x '=+-则(1y f x =+）
的单调减区间 正视图 侧视图
俯视图
A 、
（-4,1) B 、(5,0)- C 、 3(,)2-+∞ D 、5
(,)2
-+∞ 10、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB = 点C 在ABC ∆内，且AOC ∠30o
=。

设
OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则m
n
等于
A ．3
B ．
C ．3
3
D ．13
11、已知数列)](1)3
2[()32(}{*
11N n a a n n n n ∈-=--的通项，则下列表述正确的是
A 、最大项不存在，最小项为3a
B 、最大项为1a ，最小项不存在
C 、最大项为1a ，最小项为3a
D 、最大项为1a ，最小项为4a 12、关于x 的方程(
)
2
2
24
440x x k ---+=，给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是
A 0
B 1
C 2
D 3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、给出右面的程序框图，则输出的结果为_________
14、已知数列的前项和为,且153n n a S +=-.35-=n n S a 则的通项公式是_____________；
15
、
若
在
区
域
34000x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩内任取一点
221x y +=ABC △A B >sin sin A B
>cos cos A B <sin 2sin 2A B
>cos 2cos 2A B <ABC △A B C ，，,,a b c 3cos cos 5a B b A c -=tan tan A
B
tan()A B -2）
如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种
附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1
222212x x x x x x n
s n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x
为样本平均数．
D
19、本小题满分12分 在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面
ABC 上的射影O 恰是BC 中点．
（Ⅰ）求证：1AA BC ⊥；
（Ⅱ）当侧棱1AA 和底面成45角时， 求11A BB C C V - （Ⅲ）若D 为侧棱1AA 上一点，当DA
D
A 1为何值时，11BD AC ⊥．
20、本小题满分12分已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为
（Ⅰ）若2
e =
（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于，两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点 若坐标原
点在以为直径的圆上，且2
3
22≤
<e ，求的取值范围
21、本小题满分12分设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1()g x
的大小关系； （Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1
a
对任意x ＞0成立。

22．本小题满分10分 选修4－1：几何证明选讲
在ABC
∆中，AB=AC ，过点
A
的直线与其外接圆交于点
BD
PD
AC PC =AD AP ⋅0
6)4
cos(242
=+--π
θρρ),(y x 6
)(≤x f {}
32≤≤-x x n )()(n f m n f --≤m
a A
B
O
C
D
A 1
B 1
C 1
C B
c b C A c sin sin ,sin sin =A C B
B C A cos sin sin cos sin sin ⋅-⋅c
B A A
B B A ⋅+-)sin(cos sin cos sin c
B A B A B A B A ⋅+-sin cos cos sin sin cos cos sin 1cot tan )1cot (tan +-B A c
B A c
B A c B A 5
3
1cot tan )1cot (tan =+-tan tan A B B A B A tan tan 1tan tan +-B
B 2tan 41tan 3+4321431
().
6
P A =222222221
(403397390404388400412406)400,
81
(3(3)(10)4(12)0126)57.25.
8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲2
222222221
(419403412418408423400413)412,
81(7(9)06(4)11(12)1)56.
8
x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙1
A V
=1C 1
C
11
2
A D OF DA FA =
=3c c a
=⎧⎪⎨=⎪
⎩a =222
a b c
=+2
12
a =2
3
b =13
122
2=+y x 22
221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
222222()0
b a k x a b +-=1122(,),(,)
A x y
B x y 22
12122
22
0,a b x x x x b a k -+==+OM ON
⊥2OMF N 22AF BF ⊥211(3,)
F A x y =-222(3,)F B x y =-222121212(3)(3)(1)90
F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=222222
(9)(1)
90(9)
a a k a k a --++=+-4222
4242
188********a a k a a a a -+==--
-+-23
22≤<
e a ≤<21218a ≤<21
8
k
≥
2(,(,]44
k ∈-∞-
+∞1()ln ,()ln f x x g x x x ==+
21
(),x g x x
-'=()g x '=x x ()g x '()g x x ()g x '()g x x ()g x (1) 1.g =II ）1
()ln x g x x
=-+
设11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则2
2
(1)()x h x x -'=-，
当1x =时，(1)0h =即1()()g x g x
=， 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时(1)0h '=， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)0h x h >= 即1()().g x g x
>
当x 1,()(1)0h x h ><=时
1
()()g x g x
<即
（III ）由（I ）知()g x 的最小值为1，所以，
1()()g a g x a -<
，对任意0x >，成立1()1,g a a
⇔-< 即ln 1,a <从而得0a e <<。

12分
22．解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ， DPC ∆∴～DBA ∆，BD
PD
AB PC =∴
又BD
PD
AC PC AC AB =∴
=,
（5分）
（2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠ APC ∆∴～ACD ∆AD
AC
AC AP =∴， 92
=⋅=∴AD AP AC （10分） 23．解：（1）普通方程：224460x y x y +--+=┈┈2分；
参数方程：2
2x y θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩ （θ为参数）┈┈4分
（2）(2)(2)4cos )2sin cos xy θθθθθθ==+++┈┈5分
令2sin cos ,2sin cos 1t t θθθθ⎡+=∈=-⎣，则23xy t =++┈┈6分
当t
=1；┈┈8分 当t =9；┈┈10分
24解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤， ∴32a -=-，∴1a =。

┈┈┈┈5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，
则，()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-+++=-<≤⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞。

┈┈┈┈┈10分
高三三模文科数学答案
选择答案 BABCD BCDBA CA 填空 13、4 14、2
1 n=126 n 2
n n a -⎧=⎨⋅≥⎩ 15、332π
16、①②④
17解：（Ⅰ）由正弦定理得
a=
C
B
c b C A c sin sin ,sin sin = acoB-bcoA=
A C
B
B C A cos sin sin cos sin sin ⋅-⋅ c =
c B A A
B B A ⋅+-)
sin(cos sin cos sin =
c B A B A B
A B A ⋅+-sin cos cos sin sin cos cos sin =1
cot tan )1cot (tan +-B A c B A 依题设得
c B A c B A 53
1cot tan )1cot (tan =+- 解得tan tan A B
=4 6分
II 由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐角，于是tanB>0
tanA-B=
B A B A tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+≤43，且当tanB=21
时，上式取等号，因此tanA-B 的
最大值为4
3
12分
18、解：（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，
令事件A=“第一大块地都种品种甲”
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4） 而事件A 包含1个基本事件：（1，2） 所以1
().6
P A =
………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
2
22222221
(403397390404388400412406)400,
8
1(3(3)(10)4(12)0126)57.25.
8
x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲
………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
2
222222221
(419403412418408423400413)412,
8
1(7(9)06(4)11(12)1)56.
8
x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙
………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙12分
19、解法一：（Ⅰ）连结AO ，∵A 1O ⊥面ABC ，AO ⊥BC ．∴A 1A ⊥BC ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A 1AO =45° 3分 由底面是边长为2的正三角形，可知AO =3 ∴A 1O =3，AA 1=3
V
= 7分
（Ⅲ）过D 作DF ∥A 1O ，交AO 于F ，则DF ⊥平面ABC ． ∴BF 为BD 在面ABC 内的射影，
又∵A 1C 1∥AC ，∴要使BD ⊥A 1C 1，只要BD ⊥AC ，即证BF ⊥AC ， ∴F 为△ABC 的中心，∴11
2
A D OF DA FA == 12分
20、解：
（Ⅰ）由题意得3c c a
=⎧⎪
⎨=
⎪⎩
a =………………2分
结合2
2
2
a b c =+，解得2
12a =，2
3b = ………………3分
所以，椭圆的方程为
13
1222=+y x ………………4分
（Ⅱ）由22
221,,x y a b y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
得222222()0b a k x a b +-=
设1122(,),(,)A x y B x y
所以22
1212222
0,a b x x x x b a k
-+==+， ………………6分 依题意，OM ON ⊥，
易知，四边形2OMF N 为平行四边形，
所以22AF BF ⊥， ………………7分 因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，
所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++= ………………8分
即 222222(9)(1)90(9)
a a k a k a --++=+-， ………………9分
将其整理为 4222
4242
188181
11818a a k a a a a -+==---+- ………………10分
因为
2322≤
<e
，所以a <，2
1218a ≤< ………………11分 所以2
18k ≥
，即2(,(,]44
k ∈-∞-+∞
21．解（Ⅰ）由题设知1
()ln ,()ln f x x g x x x
==+
， ∴21
(),x g x x
-'=
令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，故（0，1）是()g x 的单调减区间。

当x ∈（1，∞）时，()g x '＞0，故（1，∞）是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1) 1.g = 6分 （II ）1()ln x g x x
=-+
设11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则2
2
(1)()x h x x -'=-，
当1x =时，(1)0h =即1
()()g x g x
=， 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时(1)0h '=， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)0h x h >= 即1()().g x g x
>
当x 1,()(1)0h x h ><=时
1
()()g x g x
<即
（III ）由（I ）知()g x 的最小值为1，所以，
1()()g a g x a -<
，对任意0x >，成立1()1,g a a
⇔-< 即ln 1,a <从而得0a e <<。

12分
22．解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ， DPC ∆∴～DBA ∆，BD
PD
AB PC =∴
又BD
PD
AC PC AC AB =∴
=,
（5分）
（2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠ APC ∆∴～ACD ∆AD
AC
AC AP =∴， 92
=⋅=∴AD AP AC （10分） 23．解：（1）普通方程：224460x y x y +--+=┈┈2分；
参数方程：2
2x y θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩ （θ为参数）┈┈4分
（2）(2)(2)4cos )2sin cos xy θθθθθθ==+++┈┈5分
令2sin cos ,2sin cos 1t t θθθθ⎡+=∈=-⎣，则23xy t =++┈┈6分
当t
=1；┈┈8分 当t =9；┈┈10分
24解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤， ∴32a -=-，∴1a =。

┈┈┈┈5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，
则，()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-+++=-<≤⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞。

┈┈┈┈┈10分。