近五年全国卷解析几何(小题)分析及解题规律总结

FM 的延长线交 y 轴于点 N 。若 M 为 FN 的中点，则 FN
。
【解析】 y2 8x 则 p 4 ，焦点为 F 2，0 ，准线 l : x 2，
如图， M 为 F 、 N 中点， 故易知线段 BM 为梯形 AFMC 中位线，
ly
∵ CN 2 ， AF 4 ，
∴MB=3 又由定义，MB=MF
直线 l1 ， l2 ，直线 l1 与 C 交于 A 、 B 两点，直线 l2 与 C 交于 D ，E 两点，
AB DE 的最小值为（）A．1616
B．14C．12 D．10
设 AB 倾斜角为 ．作 AK1 垂直准线， AK2 垂直 x 轴


AF AK1
cos AF
GF AK1 （几何关系） （抛物线特性）
1 2 5 sin 1 5 cos
5
5
2 ( 2 5 )2 ( 5 )2 sin( )
5
5
2 sin( ) ≤ 3
解决椭圆的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一
个关于 a,b, c 的方程或不等式，再根据 a,b, c 的关系消掉 b 得到 a, c 的关系式，建立关于 a,b, c 的方程或不等式，要充分利用椭
22 2
结合 b ＝c －a 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别
2
除以 a 或 a 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得
e(e 的取值范围)。3 结合定义和正余弦定理。
考点三：椭圆的定义和简单性质
【2017
课标
3，理
10】已知椭圆
C
x2 a2

y2 b2
1 ，（a>b>0）的左、
易知

GP

P 2



P 2


P
∴ AF cos P AF
同理
AF
P 1 cos
，
BF
P 1 cos
∴
AB
2P 1 cos2
2P sin2
π
又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为 2
DE
2P
sin2

π 2
0) 的
左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 PF x 轴.过点 A 的直
线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离
心率为（A） 1 3
（B） 1 2

（C） 2 3
（D） 3 4
（2015 全国（14）一个圆经过椭圆 x2 y2 1的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则 16 4
c2 2a2 ，所以 e 2 ，故选 D．
考查内容：双曲线的标准方程和简单几何性质．
6（2017）已知双曲线
C：
x2 a2

y2 b2
1
(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为 y
5 x, 2
且与椭圆 x2 y2 1有公共焦点，则 C 的方程为 12 3
A． x2 y2 1 8 10


y0
1
2 5
5 sin
而 AP (x0, y0 ) ， AB (0,1) ， AD (2,0) ．
∵ AP AB AD (0,1) (2,0) (2, )
∴


1 2
x0
1
5 5
cos
，


y0
1
2 5
5 sin ．
两式相加得：
又∵ a 0,b 0 ，则上式可化简为 a2 3b2
∵ b2 a2 c2 ，可得 a2 3 a2 c2
，即 c2 2
a2 3
∴ e c 6 ，故选A
a3
（2016
年全国
III
高考）已知
O
为坐标原点，F
是椭圆
C： x 2
a2

y2 b2
1(a
b


2
2
5
| BD |
| BD |
55
25
即 C 的半径为 5 ．
y Pg
C B
E
A(O)
D
x
∵ P 在 C 上．
(x 2)2 ( y 1)2 4
∴ P 点的轨迹方程为
5．
设 P 点坐标 (x0, y0 ) ，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：

x0

2

2 5
5 cos
圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
考点四：直线和圆
关于直线和圆在近几年全国高考中出现的次数也不少，主 要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，圆还经常和 椭圆结合在一起考查，涉及的知识有点到直线的距离公式， 直线和圆相切、相交，相对比较简单。 比如：
1、（2016 年全国 II 高考）圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的
该圆的标准方程为 。
【答案】 (x 3)2 y2 25
2
4
【解析】考点：椭圆的几何性质；圆 的标准方程
试题分析：设圆心为（ a ，0），则半径为 4 | a | ，则 (4 | a |)2 | a |2 22 ，解得 a 3 ， 2
故圆的方程为 (x 3)2 y2 25 .
∵ MAN 60 ，∴ AP 3 b ， OP OA 2 PA 2 a2 3 b2
2
4
AP ∴ tan
OP
3b 2 a2 3 b2
4
又∵ tan b ，∴
a
3b 2 a2 3 b2

b a
，解得
a2
3b2
4
∴e
1
b2 a2

1 1 2 3 33




2P cos2
而 y2 4x ，即 P 2 ．
• 【策略】
• 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础， 它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距 离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量 转化。另外，直线与抛物线联立，求判别 式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查 到最值问题时要能想到用函数方法和基本 不等式进行解决. 如果问题中涉及抛物线的 焦点和准线，又能与距离联系起来，那么 用抛物线定义就能解决问题。
2
4
（2017全国3）在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的
圆上．若 AP AB AD ，则 的最大值为（）
A．3
B． 2 2
C． 5
D．2
【解析】由题意，画出右图．
设 BD 与 C 切于点 E ，连接 CE ． 以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴， AB 为 y 轴正半轴建立直角坐标系，
距离为 1，则 a=（ 【答案】A
） （A） 4 3
（B） 3 4
（C） 3 （D）2
通过对近五年的全国卷分析，解析几何在
小题中考查双曲线最多，但通常多个知识点 融汇在一起，并不单纯考一个点。总之，抓 基础，抓落实，让学生掌握圆锥曲线的基本 性质还是我们今后教学的重点。
右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线
bx ay 2ab 0相切，则 C 的离心率为
A． 6
B． 3
C． 2
D．1
3
3
3
3
【解析】∵以 A1A2 为直径为圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，∴圆心到直线距离 d 等 于半径，
2ab
∴d
a
a2 b2
则 C 点坐标为 (2,1) ．
∵ | CD |1 ， | BC | 2 ．
∴ BD 12 22 5 ． ∵ BD 切 C 于点 E ． ∴ CE ⊥ BD ． ∴ CE 是 Rt△BCD 中斜边 BD 上的高．
| EC |
2S△BCD

2 1 | BC | | CD | 2
【答案】D
【解析】试题分析：设双曲线方程为 x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0) ，如图所示，
AB

BM
，
ABM 1200 ， 过 点 M 作 MN x 轴 ， 垂 足 为 N ， 在 RtBMN 中 ， BN a ，
MN 3a ，故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) ，代入双曲线方程得 a2 b2 a2 c2 ，即
近五年全国卷解析几何在小题中 的考点和解答策略
解析几何在全国卷中通常出 2 小 1 大，小题一般主要以 考查直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借 助于图形可容易求解。主要考点是直线与圆的位置关系，点 到直线的距离，双曲线的离心率与渐近线，抛物线的定义及 几何性质，椭圆的定义及几何性质等等。
2、(2015（5）)已知
M（x0，y0）是双曲线
C：
x2 2

y2
1上的一点，F1、F2
是
C
上的两个焦点，若 MF1 MF2 ＜0，则 y0 的取值范围是
（A）（- 3 ， 3 ） 33
（B）（- 3 ， 3 ） 66
（C）（ 2 2 ， 2 2 ） （D）（ 2 3 ， 2 3 ）
3m 3, c

3m 3
设 F
3m 3, 0
y ，一条渐近线
3 3m
x
，即
x

m y 0 ，则点 F 到 C 的一条
d 3m 3
渐近线的距离
1 m = 3 ，选 A. .
5、（2015 全国 2）11．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（ ） A． 5 B． 2 C． 3 D． 2
3
3
3
3
3、（2014 卷 1）已知 F 是双曲线 C ： x2 my2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为
A . 3 B .3 C . 3m D . 3m
【解析】：由 C ： x2
my2
x2 3m(m 0) ，得 3m

y2 3
1， c2
【答案】：C
【解析】：过 Q 作 QM⊥直线 L 于 M，∵ FP 4FQ
PQ 3
QM PQ 3
∴ PF 4 ，又 4 PF 4 ，∴ QM 3，由抛物线定义知 QF QM 3
1. （2017 全国 1）已知 F 为抛物线 C： y2 4x 的交点，过 F 作两条互相垂
CN
且 MN=NF， ∴ NF NM MF 6
B
M
A
OF
x
（2014 全国）10.已知抛物线 C ：y2 8x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，
Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 FP 4FQ ，则| QF | =
7
5
A . 2 B . 2 C .3 D .2
B． x2 y2 1 45
C． x2 y2 1 54
D． x2 y2 1 43
【解析】由题意可得： b 3 , c 3 ，又 a2 b2 c2 ，解得 a2 4,b2 5 ， a2
则 C 的方程为 x y2 1 . 45
• 【策略】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的 离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法。1，求出 a，c， 代入公式 ；②只需要根据一 个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，
近五年考过的知识点
考点 直线与圆的位置关系
2013 2014 2015 2016 2017
点到直线的距离 双曲线的离心率与渐近线 抛物线的定义及简单几何性质 椭圆的定义及几何性质
圆与椭圆结合
考点一：抛物线的定义和简单性质
【2017 课标 II，理 16】已知 F 是抛物线 C : y2 8x 的焦点， M 是 C 上一点，
，考∴ 点二：双曲线的离心率和渐近线
【2017 课标 1，理】已知双曲线 C x2 y2 1 （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b a2 b2
为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60°，则 C 的离心 率为________.
OA a ， AN AM b