(江苏专用)版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算理【含答案】

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第五章平面向量
5.1 平面向量的概念及线性运算理
1．向量的有关概念
对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，a 与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa . 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ³ ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ³ )
(4)向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ³ ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12
(AC →＋AB →
)．( √ )
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →
相等 .则所有正确命题的序号是________． 答案 ①
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →
互为相反向量，故③错误．
2．如图所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．
答案 e 1－3e 2
解析 由题图可得a －b ＝BA →
＝e 1－3e 2.
3．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝______________(用AB →，AC →
表示)． 答案 －13AB →＋43
AC →
解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →
)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →
＝－13AB →＋43
AC →.
4．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →
＝________(用
a ，
b 表示)．
答案 b －a －a －b
解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →
＝b －a ，
BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →
＝－a －b .
5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －1
3
解析 由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝－k ，3k ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1
3，k ＝1
3.
题型一 平面向量的概念
例1 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →
共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 答案 ④
解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．
思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a
|a |是与a 同方向的单
位向量．
设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，
则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________． 答案 3
解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算
例2 (1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝________. (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝______________(用b ，c 表示)． 答案 (1)AD →
(2)23b ＋13
c
解析 (1)EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →
)＋12(AC →＋BC →)
＝12(AB →＋AC →)＝AD →
. (2)∵BD →＝2DC →，
∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝2
3b ＋13
c .
命题点2 根据向量线性运算求参数
例3 (1)(2015²锦州模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，
则λ＝________.
(2)(2015²青岛模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值范围是______________． 答案 (1)23 (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0
解析 (1)∵AD →＝2DB →
， 即CD →－CA →＝2(CB →－CD →
)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，
∴λ＝23.
(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →
＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.
∵BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，
∴y ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，
∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交
对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →
，则λ的值为________．
答案 2
9
解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →
，
∴AB →＝52
AE →，AD →＝2AF →
.
由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，
∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)
＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52
λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝2
9.
题型三 共线定理的应用
例4 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →
. ∴AB →、BD →
共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．
(2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量，
∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2
－1＝0.∴k ＝±1.
思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．
设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC
→
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 1
2
解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →
＝12AB →＋23
(AC →－AB →
)
＝－16AB →＋23AC →，
∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝2
3，
故λ1＋λ2＝1
2.
10．方程思想在平面向量线性运算中的应用
典例 (14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝1
4OA →，OD →＝12OB →
，AD 与BC 相交
于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →
.
思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解． (2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →
＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答
解 设OM →
＝m a ＋n b ，
则AM →＝OM →－OA →
＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →
＝－a ＋12b .[3分]
又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →
共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →
， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋1
2
t b .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －1＝－t ，n ＝t 2
，消去t 得，m －1＝－2n ，
即m ＋2n ＝1.① [8分]
又∵CM →＝OM →－OC →
＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，
CB →＝OB →－OC →
＝b －14a ＝－14
a ＋
b .
又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →
共线．[11分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →
，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －14
＝－14t 1，
n ＝t 1.
消去t 1得，4m ＋n ＝1. ②
由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋3
7
b .[14分]
温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．
[方法与技巧]
1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →
(x ，
y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.
[失误与防范]
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
1．给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是________．
①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 答案 ③
解析 由于零向量与任一向量都共线，所以命题①中的b 可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；对于命题③，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，其逆否命题正确，故命题③正确．综上所述，正确命题的序号是③.
2．在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则AP →
可用a 、b 表示为______________． 答案 －23a ＋1
3
b
解析 如图所示，AP →＝AC →＋CP →＝－CA →＋23CN →＝－CA →＋23³12(CA →＋CB →)＝－CA
→
＋13CA →＋13CB →＝－23CA →＋13CB →＝－23a ＋1
3
b . 3.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →＝________(用AB →，AD →表示)．
答案 23AB →＋12
AD →
解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →
＝－23AB →＋AD →，
AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →
＝23AB →＋12
AD →
.
4．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则有关点P 与△ABC 的位置关系判断正确的是________(填序号)．
①点P 在线段AB 上； ②点P 在线段BC 上； ③点P 在线段AC 上； ④点P 在△ABC 外部． 答案 ③
解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →
，所以点P 在线段AC 上．
5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →
＝0，则△ABC 的内角A 等于________． 答案 60°
解析 由OA →＋OB →＋OC →
＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又∵O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.
6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →
，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 平行四边形
解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →
， 所以BA →＝CD →
.所以四边形ABCD 为平行四边形．
7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →
|＝________. 答案 2
解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|可知， AB →⊥AC →
，则AM 为Rt△ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM →
|＝12
|BC →|＝2.
8．(2015²北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________；
y ＝________.
答案 12 －16
解析 MN →＝MC →＋CN → ＝13AC →＋12
CB →
＝13AC →＋12
(AB →－AC →) ＝12AB →－16
AC →， ∴x ＝12，y ＝－16
. 9.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一
点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.
解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12
b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13
(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13
(AC →－AB →) ＝13AB →＋13
AC → ＝13a ＋13
b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．
(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；
(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．
(1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，
CD →＝－8e 1－2e 2，
∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2
＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12
CD →， ∴AC →与CD →共线．
又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．
(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，
∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，
即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43
. B 组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p
的值是________．
答案 －1
解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，
∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .
又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．
设AB →＝λBD →，
∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，
∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.
12．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB
→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝____________(用a ，b 表示)．
答案 12
a ＋
b 解析 连结CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，
得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12
a ， 所以AD →＝AC →＋CD →＝
b ＋12
a . 13．设G 为△ABC 的重心，且sin A ²GA →＋sin B ²GB →＋sin C ²GC →＝0，则B 的大小为________．
答案 60°
解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ²GA →＋sin
B ²GB →＋sin
C ²GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →
不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，
则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，
∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.
14．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b
表示)
答案 －14a ＋14b
解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34
(a ＋b )， AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →
＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .
15．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m
的值为________． 答案 3
解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23³12(OA →＋OB →)＝13
(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13
λb ， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m
＝3.。