【真卷】2017年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷(理科)

2017年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U={x|e x＞1}，函数f（x）=的定义域为A，则∁U A为（）A．（0，1]B．（0，1） C．（1，+∞）D．[1，+∞）
2．（5分）复数z的共轭复数为，若为纯虚数，则|z|=（）
A．2 B．C．D．1
3．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）
A．7 B．2 C．5 D．3
4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）
A．0 B．2 C．4 D．14
5．（5分）下列命题中真命题的是（）
①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
②命题p：4＜r＜7，命题q：圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）上恰好有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于l，则p是q的必要不充分条件；
③若p：x≤1，q：＜1，则￢p是q的充分不必要条件．
④设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），则C=7．A．①③B．③④C．①②D．②③
6．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）
A．B．C．D．
7．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b
＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，则AB=（）
A．10 B．20 C．30 D．40
9．（5分）已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）
10．（5分）设函数，若不等式g（x2）＞g（ax）对一切x∈[﹣1，0）∪（0，1]恒成立，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）
11．（5分）已知向量，若，则
=．
12．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=．
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是．
14．（5分）若的展开式中常数项为43，则．15．（5分）对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：（1）f（x）在[m，n]上是单调的；
（2）当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=﹣（a＞0）存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（12分）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．17．（12分）某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：
（I）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
（II）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
（III）将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y≥2”的概率．18．（12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．
19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
20．（15分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ
（i）求证：为定值；
（ii）求△OPQ面积的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．
2017年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U={x|e x＞1}，函数f（x）=的定义域为A，则∁U A为（）A．（0，1]B．（0，1） C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【解答】解：全集U={x|e x＞1}={x|x＞0}，
函数f（x）=的定义域为A={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，
则∁U A={x|0＜x≤1}=（0，1]．
故选：A．
2．（5分）复数z的共轭复数为，若为纯虚数，则|z|=（）
A．2 B．C．D．1
【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，
∴z•=a2+b2，
∴===，
∵为纯虚数，
∴a2+b2=1，
∴|z|=1，
故选：D
3．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（1））+f（log3）的值是（）
A．7 B．2 C．5 D．3
【解答】解：由题意可得，f（1）=log21=0，f（f（1））=f（0）=90+1=2
f（）=+1=+1=5
∴=7
故选A
4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）
A．0 B．2 C．4 D．14
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=14，b=18
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2
不满足条件a≠b，输出a的值为2．
故选：B．
5．（5分）下列命题中真命题的是（）
①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
②命题p：4＜r＜7，命题q：圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）上恰好有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于l，则p是q的必要不充分条件；
③若p：x≤1，q：＜1，则￢p是q的充分不必要条件．
④设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），则C=7．A．①③B．③④C．①②D．②③
【解答】解：对于①，若p∧q是假命题，则p，q至少有一个假命题，故错；对于②，命题q：圆心到直线的距离为5，又圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）上恰好有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于l，故半径r的取值范围是4＜r＜6则p是q的必要不充分条件，故正确．
对于③，若＜1，⇒x＞1或x＜0；∵￢p：x＞1⇒，故￢p是q的充分不必要条件，故正确．
对于④，随机变量X服从正态分布N（3，7），则其正态分布曲线关于直线x=3对称，当P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1）时，C+1+C﹣1=6，则C=3．故错．
故选：D
6．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则
∵，
∴，得=﹣2
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的．
∴S
=S△ABC．
△PBC
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==
故选C
7．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b
＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图
4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），
由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，
即11=2ab+3，∴ab=4，
∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，
∴a+b的最小值为4．
故选：B．
8．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，则AB=（）
A．10 B．20 C．30 D．40
【解答】解：设BC=x，
∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠BAD=60°，∠ABC=∠ABD=90°，
∴AB=x，AD=2x，BD=，
∵∠BCD=120°，CD=40，
∴cos120°=，
解得x=40或x=﹣20（舍）．
∴AB=40．
故选：D．
9．（5分）已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）
【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），
由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a1，
由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，
即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，
可得c＞，即有＜c＜5．
由离心率公式可得e1•e2===，
由于1＜＜4，则有＞．
则e1•e2的取值范围为（，+∞）．
故选：A．
10．（5分）设函数，若不等式g（x2）＞g（ax）对一切x∈[﹣1，0）∪（0，1]恒成立，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
【解答】解：∵，
∴g（x）是偶函数，在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，
由g（x2）＞g（ax）对一切x∈[﹣1，0）∪（0，1]恒成立，
得x2＜|ax|在（0，1]恒成立，
即|a|＞|x|max在（0，1]恒成立，
解得：a＞1或a＜﹣1，
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）
11．（5分）已知向量，若，则=
10．
【解答】解：∵，
∴由，得﹣m﹣4=0，即m=﹣4．
∴，
则=2×7+1×（﹣4）=10．
故答案为：10．
12．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=81．
【解答】解：∵A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，∴由题意得，
解得m=81，
故答案为：81
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是7+．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体为三棱锥，底面ABC为等腰三角形，底边AB=2，高CD=2，
侧棱PA⊥底面ABC，PA=2．
在等腰三角形ABC中，由CD=2，AD=1，得AC=BC=，
PB=2，PC=3．
在△PBC中，可得cos∠PBC=．
∴sin∠PBC=．
则三棱锥的表面积为S=×=7+．
故答案为：7+．
14．（5分）若的展开式中常数项为43，则21．【解答】解：（1﹣）n的展开式的通项为C n r（﹣2）r x，由题意可得：
3C n0（﹣2）0+C n2（﹣2）2=43，
解得n=5，
则2xdx=x2|=25﹣4=21，
故答案为：21．
15．（5分）对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：（1）f（x）在[m，n]上是单调的；
（2）当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=﹣（a＞0）存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是0＜a＜1．
【解答】解：由题意可得函数在区间[m，n]是单调递增的，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程f（x）=x的两个同号的不等实数根，
即，
即方程ax2﹣（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，
∵mn=，
故只需△=（a+1）2﹣4a2＞0，解得＜a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（12分）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．
【解答】解：（I）函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1=sin2x+cos2x+a =2+a．
∴f（x）的最小正周期T==π．
（II）∵x∈[﹣，]，∴≤2x+≤，∴∈．∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．
∴a﹣1+a+2=2，解得a=．
17．（12分）某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：
（I）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
（II）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
（III）将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y≥2”的概率．
【解答】解：（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，
则，
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
；…（3分）
（Ⅱ）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2；
则.，
，
；…（6分）
从而X的分布列为：
数学期望为；…（8分）
（Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，
相应的频率为，
由题意知，Y～；…（10分）
所以事件“Y≥2”的概率为
．…（12分）
18．（12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．
【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为3．
（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．
∵AE：EB=CF：FA=1：2，
∴AF=AD=2．…（2分）
而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…（4分）
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，
∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，
∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．…（6分）
（2）由（1）知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF．
以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…（7分）
．…（8分）
∴．…（9分）
，
…（10分），
．…（11分），
．…（12分），
．…（13分）
因为二面角B﹣A1P﹣F为钝角，．…（14分）
19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}
的前n项和T n．
【解答】解：（I）设递增的等比数列{a n}的公比为q＞1，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4．解得a1=1，a4=8，∴q3=8，解得q=2．
∴a n=2n﹣1．
（II）S n==2n﹣1．
∴b n==+（﹣1）n n=+（﹣1）n n．
∴n=2k（k∈N*），数列{b n}的前n项和T n=++…+（）+﹣1+2﹣3+…﹣（n﹣1）+n
=1﹣+．
n=2k﹣1（k∈N*），数列{b n}的前n项和T n=1﹣+﹣n．
=1﹣﹣．
20．（15分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ
（i）求证：为定值；
（ii）求△OPQ面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆C：=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π，
可得c=，2b=a，a2=b2+c2，
得a=2，b=1，得椭圆方程为：…（4分）
（Ⅱ）i）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l OP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2）
由消y得，
同理得，
故…（7分）
当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，得
综上得，得证．…（8分）（未讨论斜率这扣1分）
ii）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，
=
又
所以…..（11分）
当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S
=1
△OPQ
综上得…（12分）
（未讨论斜率这扣1分）
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．
【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，
即a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，
设函数m（x）=﹣xlnx﹣x2，x≥1，
m′（x）=﹣lnx+x﹣1，设n（x）=﹣lnx+x﹣1，
n′（x）=﹣+1，由x≥1时，n′（x）≥0，
∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，
即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，
∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，
当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）min=m（1）=，
∴a≤，
∴a的取值范围是（﹣∞，]；
（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，
求导g′（x）=+﹣=，
设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，
由h′（x）=0，解得：x=e，
当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，
且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，
显然h（1）＞h（e2），
若g（x）在[1，e2]上存在极值，
则或，
当，即1＜a＜时，
则必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，
当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，
当1＜a＜时，g（x）在[1，e2]上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），
由g（x1）=+﹣=，
设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，
则φ′（x）=lnx＞0，
∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，
当且仅当x=1时，取等号；
∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，
当1＜a＜，g（x）在[1，e2]上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，
当，即0＜a≤1时，
则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，
易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，
此时，g（x）在[1，e2]上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，
综上可知：当0＜a＜时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，
赠送初中数学几何模型
【模型三】
双垂型：图形特征：
60°
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.
（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC
＝，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

C
D
B。