2021-2022学年-有答案-江苏省无锡市某校八年级(上)期中数学试卷-(2)

2021-2022学年江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选
项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）
1. 下列银行标志中，不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2. 如图，已知AB＝CD，从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定△ABC≅△CDA的是（）
A.BC＝AD
B.∠B＝∠D＝90∘
C.∠BAC＝∠DCA
D.∠ACB＝∠CAD
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A.1.5，2，2.5
B.4，5，6
C.2，3，4
D.1，√2，3
4. 三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是（）
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
5. 在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳
子应放的最适当的位置是在△ABC的（）
A.三边中垂线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
6. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm
至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
7. 下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）
A.两组直角边对应相等
B.一组边对应相等
C.两组锐角对应相等
D.一组锐角对应相等
8.
如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数
为( )
A.30∘
B.36∘
C.40∘
D.45∘
9. 如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边AC＝4m，BC＝3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩
充部分是以AC为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（）
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
10. 如图，己知△ABC中，∠ABC=50∘，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（）
A.100∘
B.105∘
C.115∘
D.无法确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把
答案直接填写在题中的横线上）
已知△ABC≅△DEF，∠A＝30∘，∠E＝50∘，则∠C＝________．
已知一个等腰三角形的顶角为100∘，则它的底角为________．
直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是________．
若(a−1)2+|b−2|=0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________．
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴
影部分的面积是________．
如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≅△BOP，则需添加的一个条件是
________（只写一个即可，不添加辅助线）．
如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BD，AC与BD相交于H，且AC⊥BD．①AB // CD；②△ABD≅△BAC；③AB2+CD2＝AD2+CB2；④∠ACB+∠BDA＝135∘．其中正确的有________个．
如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，
P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是________．
三、解答题（本大题共8小题，共54分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
在如图所示的网格中，已知△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）借助图中的网格，请只用直尺（不含刻度）完成以下要求：（友情提醒：请别忘了标注字母！）
①在图中找一点P，使得P到AB、AC的距离相等，且PA＝PB；
②在x轴上找一点Q，使得△QAB的周长最小．
如图，已知△ABC，∠C=90∘，AC<BC，若D为BC上一点，且到A，B两点距离相
等．
（1）利用尺规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若AB=5，AC=3，求CD的长．
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点
E．
（1）求证：△ACD≅△AED；
（2）若E为AB中点，求∠B的度数．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AC=3，AD是△ABC的角平分线，DE⊥
AB于点E，连接CE，求CE的长．
如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，过点P且平行于BC的直线分别交AB、AC于点D、点E．
（1）求证：DB＝DP；
（2）若DB＝5，DE＝9，求CE的长．
如图1，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形．
（1）求证：直线AG垂直平分BC；
（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说明理由．
如图，△ABC中，∠ACB＝90∘，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒
4cm的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒(t>0)．
（1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（2）点P在运动过程中，当△BCP为等腰三角形时，请直接写出t的值________．
参考答案与试题解析
2021-2022学年江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
2.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】
解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+(√2)2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误.
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
三角形的稳定性
全等三角形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
列表法与树状图法
游戏公平性
线段垂直平分线的性质
三角形的角平分线、中线和高
【解析】
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】
∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
6.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的应用
勾股定理的综合与创新
【解析】
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD−AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】
AB=4cm，CD=3cm，
解：Rt△ACD中，AC=1
2
根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5(cm)，
∴AD+BD−AB=2AD−AB=10−8=2(cm)，
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
直角三角形全等的判定
【解析】
利用SAS、HL、AAS进行判定．
【解答】
解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；
B、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，则选项错误；
C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；
D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的判定与性质
【解析】
求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180∘，求∠B，【解答】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180∘，
∴5∠B=180∘，
∴∠B=36∘.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的性质
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
C
【考点】
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据三角形的内角和得到∠BAC +∠ACB =130∘，根据线段的垂直平分线的性质得到AM =PM ，PN =CN ，由等腰三角形的性质得到∠MAP =∠APM ，∠CPN =∠PCN ，推出∠MAP +∠PCN =∠PAC +∠ACP =12×130∘=65∘，于是得到结论．
【解答】 解：∵ ∠ABC =50∘，
∴ ∠BAC +∠ACB =130∘，
∵ 若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，
∴ AM =PM ，PN =CN ，
∴ ∠MAP =∠APM ，∠CPN =∠PCN ，
∵ ∠APC =180∘−∠APM −∠CPN =180∘−∠PAC −∠ACP ，
∴ ∠MAP +∠PCN =∠PAC +∠ACP =12×130∘=65∘，
∴ ∠APC =115∘，
故选C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）
【答案】
100∘
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
40∘
【考点】
等腰三角形的判定与性质
【解析】
根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论．
【解答】
解：∵ 一个等腰三角形的顶角为100∘，
∴ 它的底角=180∘−100∘
2=40∘．
故答案为：40∘．
【答案】
5
【考点】
勾股定理
直角三角形斜边上的中线
【解析】
已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为
斜边长的一半即可解题．
【解答】
解：已知直角三角形的两直角边为6，8，
则斜边长为√62+82=10，
×10=5.
故斜边的中线长为1
2
故答案为：5.
【答案】
5
【考点】
等腰三角形的判定与性质
非负数的性质：绝对值
非负数的性质：偶次方
三角形三边关系
【解析】
先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．
【解答】
解：根据题意得，a−1=0，b−2=0，
解得a=1，b=2，
①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1，1，2，
∵1+1=2，
∴不能组成三角形；
②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2，2，1，
能组成三角形，
周长=2+2+1=5．
故答案为：5．
【答案】
6
【考点】
轴对称的性质
等腰三角形的判定与性质
勾股定理
【解析】
根据等腰三角形性质求出BD=DC，AD⊥BC，推出△CEF和△BEF关于直线AD对称，
S△ABC求出即可．
得出S△BEF=S△CEF，根据图中阴影部分的面积是1
2
【解答】
解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴BD=DC=3，AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF=S△CEF，
由勾股定理得：AD=√AB2−BD2=4，
∵△ABC的面积是1
2×BC×AD=1
2
×6×4=12，
∴图中阴影部分的面积是1
2
S△ABC=6．
故答案为：6．
【答案】
∠APO=∠BPO等
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
首先添加∠APO=∠BPO，利用ASA判断得出△AOP≅△BOP．【解答】
解：∠APO=∠BPO等．
理由：∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP和△BOP中
{∠AOP=∠BOP
OP=OP
∠OPA=∠OPB
，
∴△AOP≅△BOP(ASA)，
故答案为：∠APO=∠BPO等．
【答案】
2
【考点】
勾股定理
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
10
【考点】
轴对称——最短路线问题
等腰直角三角形
【解析】
首先作B关于AC的对称点D，连接AD，ED，则ED交于AC于点P，此时PB+PE最小，然后由在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，可得∠BAD=90∘，又由BE=2，AE= 3BE，可求得AE与AD的长，继而求得PE+PB=DE的长．
【解答】
解：作B关于AC的对称点D，连接AD，ED，则ED交于AC于点P，此时PB+PE最小，
则PB=PD，∠BAC=∠DAC，AD=AB，
∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，
∴∠BAC=45∘，
∴∠DAC=∠BAC=45∘，
∴∠BAD=90∘，
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=AE+BE=8，
∴DE=√AE2+AD2=10，
∴PB+PE=PD+PE=DE=10．
故答案为：10．
三、解答题（本大题共8小题，共54分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
如图所示，点P即为所求；
如图所示，点Q即为所求．
【考点】
作图-轴对称变换
角平分线的性质
勾股定理
线段垂直平分线的性质
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：（1）如图，点D为所作；
（2）在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√52−32=4，
设CD的长为x，则BD的长为(4−x)，
由题意得AD=BD=4−x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，
∴32+x2=(4−x)2，
，
解得x=7
8
∴CD的长为7
．
8
【考点】
作图—复杂作图
线段垂直平分线的性质
勾股定理
【解析】
（1）作AB的垂直平分线交BC于D点，则DA=DB；
（2）先Rt△ABC中利用勾股定理计算出BC=4，设CD的长为x，则BD的长为(4−x)，所有AD=BD=4−x，然后在Rt△ACD中利用勾股定理得到32+x2=(4−x)2，再
解方程求出x即可．
【解答】
解：（1）如图，点D为所作；
（2）在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√52−32=4，
设CD的长为x，则BD的长为(4−x)，
由题意得AD=BD=4−x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴32+x2=(4−x)2，
解得x=7
8
，
∴CD的长为7
8
．
【答案】
（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90∘，
∴∠DEA=∠C，
在△ACD和△AED中，
{∠CAD=∠EAD
∠C=∠DEA
AD=AD
，
∴△ACD≅△AED(AAS)．
（2）解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠CAD=∠EAD，
∴∠CAD=∠EAD=∠B，
∵∠CAD+∠EAD+∠B=90∘，
∴∠B=30∘．
【考点】
全等三角形的性质
角平分线的性质
【解析】
（1）由角平分线得出∠CAD=∠EAD，再由∠DEA=∠C和公共边，根据AAS证明△ACD≅△AED即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得出AD=DB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠EAD，因此∠CAD+∠EAD+∠B=90∘，即可得出结果．
【解答】
（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90∘，
∴∠DEA=∠C，
在△ACD和△AED中，
{∠CAD=∠EAD
∠C=∠DEA
AD=AD
，
∴△ACD≅△AED(AAS)．
（2）解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD=DB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠CAD=∠EAD，
∴∠CAD=∠EAD=∠B，
∵∠CAD+∠EAD+∠B=90∘，∴∠B=30∘．
【答案】
解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，
∵∠ACB=90∘，DE⊥AB，
∴∠ACD=∠AED，
在△ACD与△AED中，{∠ACD=∠AED=90∘∠EAD=∠CAD
AD=AD
，
∴△ACD≅△AED，
∴AE=AC，∵∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=3．
【考点】
含30度角的直角三角形
直角三角形斜边上的中线
【解析】
由AD是△ABC的角平分线，得到∠EAD=∠CAD，推出∠ACD=∠AED，根据全等三角形的性质得到AE=AC，得到△ACE是等边三角形，于是得到结论．
【解答】
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠ACB=90∘，DE⊥AB，
∴∠ACD=∠AED，
在△ACD与△AED中，{∠ACD=∠AED=90∘∠EAD=∠CAD
AD=AD
，
∴△ACD≅△AED，
∴AE=AC，∵∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=3．
【答案】
证明：∵DE // BC，
∴∠DPB＝∠PBC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBA＝∠PBC，
∴∠DPB＝∠PBA，
∴DB＝DP．
由（1）同理可得EC＝EP，
∴DE＝DP+EP＝DB+CE，
∵DB＝5，DE＝9，
∴CE＝4．
【考点】
平行线的性质
等腰三角形的性质与判定
【解析】
（1）根据等角对等边证明即可；
（2）首先证明DE＝BD+EC，利用结论即可解决问题；【解答】
证明：∵DE // BC，
∴∠DPB＝∠PBC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBA＝∠PBC，
∴∠DPB＝∠PBA，
∴DB＝DP．
由（1）同理可得EC＝EP，
∴DE＝DP+EP＝DB+CE，
∵DB＝5，DE＝9，
∴CE＝4．
【答案】
∵△GBC为等边三角形，
∴GB＝GC，
∴点G在BC的垂直平分线上，
又∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴直线AG垂直平分BC；
△EGC构成直角三角形，理由如下：
∵△GBC和△ABE为等边三角形，
∴GB＝BC＝GC，EB＝BA，
∴∠EBC＝∠ABG，
在△EBC和△ABG中，
，
∴△EBC≅△ABG(SAS)，
∴∠ECB＝∠AGB，
∵GB＝GC且AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠BGC＝30∘，
∴∠ECB＝30∘，
∴∠ECG＝90∘，即△EGC构成直角三角形．
【考点】
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
如图1，过P作PE⊥AB，
∵∠ACB＝90∘，
∴AC＝＝＝3，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90∘，BC＝6，∴CP＝EP，
在Rt△ACP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ACP≅Rt△AEP(HL)，
∴AC＝8cm＝AE，BE＝4，
设CP＝x，则BP＝6−x，
∴Rt△BEP中，BE2+PE8＝BP2，
即24+x2＝(6−x)4，
解得x＝，
∴CP＝，
∴CA+CP＝8+＝，
∴t＝÷4＝；
当点P沿折线A−C−B−A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t＝(10+8+6)÷2＝6．
综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上或6；
或5.3或5或
【考点】
等腰三角形的性质
角平分线的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答。