吉林省吉大附中2024-2025学年数学九上开学质量跟踪监视试题【含答案】

吉林省吉大附中2024-2025学年数学九上开学质量跟踪监视试题
题号一二三四五总分
得分批阅人
A 卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、
2、3，则最大正方形E 的面积是
A ．13
B ．26
C ．47
D ．94
2、（4分）下列分式2410xy x ，22
a b a b ＋＋，22x y x y －＋，221
a a a ＋－最简分式的个数有（）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
3、（4分）﹣2018的倒数是（）
A ．2018
B ．
1
2018
C ．﹣2018
D ．1
2018
-
4、（4分）化简x 正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．5、（4分）点P(2，3)到y 轴的距离是()A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6、（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AO ＝3，∠ABC ＝60°，
则菱形ABCD 的面积是（）
A ．18
B ．18
C ．36
D ．36
7、（4分）小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢跑从家到中山公园，打了一会儿太极拳后坐公交车回家.下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图像是（
）.
A ．
B ．
C ．
D ．
8、（4()
A ．2和3
B ．3和4
C ．4和5
D ．5和6
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）用换元法解方程
3242x x x x ---+3＝0时，如果设2
x
x -＝y ，那么将原方程变形后所得的一元二次方程是_____．
10、（4分）菱形有一个内角是120°，其中一条对角线长为9，则菱形的边长为____________.
11、（4分）在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_________．
12、（4分）化简226xy
x y
=______.
13、（4分）已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为4cm ，则其面积为_______cm 1．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC 中，A 30∠=︒，3
tan 4
B =
，AC =，求AB 的长．15、（8分）甲、乙两校参加市教育局举办的初中生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．分数7分8分9分
10分人数
11
8
（1）请将甲校成绩统计表和图2的统计图补充完整；
（2）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．
16、（8分）某市在城中村改造中，需要种植A 、B 两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，A 、B 两种树苗的成本价及成活率如表：
品种
购买价（元/棵）成活率
A
2890%B
40
95%
设种植A 种树苗x 棵，承包商获得的利润为y 元．（1）求y 与x 之间的函数关系式．
（2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
17、（10分）如图1，□ABCD 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -、(0,4)B 、(3,2)C 、(3,2)C ，点G 是对角线AC 的中点，过点G 的直线分别与边AB 、CD 交于点E 、F ，点P
是直线EF 上的动点．
（1）求点D 的坐标和BEFC S 四边形的值；
（2）如图2，当直线EF 交x 轴于点(5,0)H ，且PAC BEFC S S =△四边形时，求点P 的坐标；（3）如图3，当直线EF 交x 轴于点(3,0)K 时，在坐标平面内是否存在一点Q ，使得以P 、A 、Q 、C 为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
图2图3
18、（10分）计算:(1；
(2)(-1)101+(π-3)0+-1
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是
___________________.它是________命题（填“真”或“假”）.20、（4分）有意义，则x 的取值范围是______．21、（4分）如图，在
ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ．若
BF=8，AB=5，则AE 的长为__．
22、（4分）如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交
AB 、CD 于E 、F ，连接PB 、PD .若2AE =，5PF =.则图中阴影部分的面积为
____________.
23、（4分）矩形的一边长是3.6㎝,两条对角线的夹角为60º,则矩形对角线长是___________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）化简：a ⎛ ⎝
25、（10分）（2013年四川广安8分）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．
空调
彩电进价（元/台）
5400
3500
售价（元/台）
61003900
设商场计划购进空调x 台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y 元．（1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可供选择？
（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？26、（12分）已知反比例函数y ＝k
x
的图象与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （1，4）和点B （m ，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得
k
x
＞ax +b 成立的自变量x 的取值范围；（3）过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，在平面内有点D ，使得以A ，O ，C ，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的所有D 点的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】解：如图
根据勾股定理的几何意义，可得A 、B 的面积和为，C 、D 的面积和为，，
于是，即
故选C ．
2、D 【解析】
直接利用分式的基本性质化简得出答案．【详解】
解：242105xy y x x =，22a b
a b ++不能约分，22x y x y x y -=-+，22(1)1(1)(1)1
a a a a a a a a a ++==--+-，故只有
22
a b
a b
++是最简分式．最简分式的个数为1.故选：D ．
此题主要考查了最简分式，正确化简分式是解题关键．3、D 【解析】
根据倒数的概念解答即可.【详解】
﹣2018的倒数是：﹣
1
2018
．
故选D ．
本题考查了倒数的知识点，解题的关键是掌握互为倒数的两个数的乘积为1.4、D 【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定出x<0，然后再根据二次根式的性质进行化简即可得答案.
【详解】由题意可知x<0，
所以x ·x x x ==-，
故选D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数、熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
5、B 【解析】
根据点的到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【详解】
解：点P(1，3)到y 轴的距离为1．故选：B ．
本题考查了点的坐标，熟记点的到y 轴的距离等于横坐标的绝对值，到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．6、B 【解析】
由菱形的性质可求AC ，BD 的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】
∵四边形ABCD 是菱形∴AO=CO=3，BO=DO=3，AC ⊥BD
∴AC=6，BD=6
∴菱形ABCD 的面积=
故选B ．
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形面积公式是本题的关键．7、C 【解析】
根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．【详解】
图象应分三个阶段，第一阶段：慢步到离家较远的绿岛公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；第二阶段：打了一会儿太极拳，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变。

故D 错误；第三阶段：搭公交车回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A 错误，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则B 错误.故选：C.
本题考查函数图象，解题的关键是由题意将图象分为三个阶段进行求解.8、B 【解析】
.【详解】∵9<15<16，∴，故选B.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、3y 2+3y ﹣2＝1【解析】设
2
x
y x =-，则原方程化为3y ﹣+3＝1，，再整理即可．【详解】
﹣
+3＝1，
设
＝y ，则原方程化为：3y ﹣+3＝1，
即3y 2+3y ﹣2＝1，故答案为：3y 2+3y ﹣2＝1．
本题考查了解分式方程，能够正确换元是解此题的关键．10、9或【解析】
如图，根据题意得：∠BAC=120°，易得∠ABC=60°，所以△ABC 为等边三角形．如果AC=9，那么AB=9；如果BD=9，由菱形的性质可得边AB 的长．【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，∠ABD=∠CBD ，OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥BD ，AB=BC ，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，如果AC=9，则AB=9，如果BD=9，则∠ABD=30°，OB=
92
，∴OA=
1
2
AB ，在Rt △ABO 中，∠AOB=90°，∴AB 2=OA 2+OB 2，即AB 2=(
12AB)2+(92
)2，
∴AB=3，
综上，菱形的边长为9或
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是
解题的关键.注意分类讨论思想的运用.11、x≥-1【解析】
根据二次根式的性质即可求解.【详解】依题意得x+1≥0，解得x≥-1故填：x≥-1
此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知根号内被开方数为非负数.12、
13x
.【解析】
约去分子与分母的公因式即可.【详解】
2
221
6233xy xy x y xy x x
==.故答案为：
13x
.本题主要考查了分式的约分，主要是约去分式的分子与分母的公因式.13、
3
或【解析】
首先根据题意画出图形，由菱形有一个锐角为60°，可得△ABD 是等边三角形，然后分别从较短对角线长为4cm 与较长对角线长为4cm ，去分析求解即可求得答案．【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°，
∴AB=AD ，AC ⊥BD ，AO=OC ，BO=OD ，∴△ABD 是等边三角形，①BD=4cm ，则OB=1cm ，∴AB=BD=4cm ；∴OA=
cm ）
，∴cm ），∴S 菱形ABCD =
1
2
AC•BD=cm 1）；②AC=4cm ．
∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=1cm ，∠BAO=30°，∴AB=1OB ，
∴222AB =OB +OA ，即2224OB =OB +2，∴OB=
233（cm ），BD=43
3
cm ∴S 菱形ABCD =
12AC•BD=3
（cm 1）；
综上可得：其面积为
3
cm 1或1．
故答案为：
3
或本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是熟练掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分的性质．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、AB =9+【解析】
作CD ⊥AB 于D ，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=AD=9，再在Rt △BCD 中根据正切的定义可计算出BD ，然后把AD 与BD 相加即可．【详解】
解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．
∵在Rt △CDA 中，∠A=30°，
∴AD=AC×cos30°=9，∵在Rt △CDB 中，3
tan 4
B =∴BD=
tan CD B =3
4
÷=4．∴.
本题考查了解直角三角形．解题时，通过作CD ⊥AB 于D 构建Rt △ACD 、Rt △BCD 是解题关键．
15、（1）见解析；（2）见解析【解析】
试题分析：（1）根据已知10分的有5人，所占扇形圆心角为90°，可以求出总人数，即可得出甲校9分的人数和乙校8分的人数，从而可补全统计图；
（2）根据把分数从小到大排列，利用中位数的定义解答，根据平均数求法得出甲的平均数．试题解析：（1）根据已知10分的有5人，所占扇形圆心角为90°，可以求出总人数为：5÷
90
360
=20（人），即可得出8分的人数为：20-8-4-5=3（人），画出图形如图：
甲校9分的人数是：20-11-8=1（人），(2)甲校的平均分为=
1
20
（7×11+8×0+9×1+10×8）=8.3分，分数从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分，∴中位数=
1
2
（7+7）=7（分）；平均分相同，乙的中位数较大，因而乙校的成绩较好．
考点：1.扇形统计图；2.条形统计图；3.算术平均数；4.中位数．
16、（1）1230000y x =+；（2）承包商购买A 种树苗1200棵，B 种树苗1800棵时，能获得最大利润，最大利润是44400元．【解析】
试题分析：（1）根据题意和表格中的数据可以得到y 与x 的函数关系式；（2）根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题．试题解析：（1）根据题意可得，
1500002840(3000)3000012y x x x =---=+，
即y 与x 之间的函数关系式是1230000y x =+；（2）根据题意可得，
90%95%(3000)300093%x x +-≥⨯，
计算得出，1200x ≤，∵1230000y x =+，
∴当1200x =时，y 取得最大值，此时44400y =，
即承包商购买A 种树苗1200棵，B 种树苗1800棵时，能获得最大利润，最大利润是44400元．
17、（1）（2，−2），7；（2）点P 的坐标为（
17
3，−16）或（−113
，136）；（3）点P 的坐标
为（3，0）或（−1，2）或（
133，−23）或（−73，83
）．【解析】
（1）根据平行线的性质可求点D 的坐标，根据重心的定义可得S 四边形BEFC ＝1
2
S ▱ABCD 从而求解；
（2）分两种情况：①点P 在AC 左边，②点P 在AC 右边，进行讨论即可求解；（3）先作出图形，再根据矩形的性质即可求解．【详解】
解：（1）∵▱ABCD 在平面直角坐标系xOy 中，点A （−1，0）、B （0，4）、C （3，2），∴点D 的坐标为（2，−2），∴S ▱ABCD ＝6×4−
12×1×4−12×3×2−12×1×4−1
2
×3×2＝14，∵点G 是对角线AC 的中点，∴S 四边形BEFC ＝
1
2
S ▱ABCD ＝7；（2）∵点G 是对角线AC 的中点，∴G （1，1），
设直线GH 的解析式为y ＝kx ＋b ，
则1{50k b k b ++＝＝，
解得1454
k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴直线GH 的解析式为y ＝−14
x ＋5
4；
①点P 在AC 右边，S △ACH ＝
1
2
×6×2＝6，∵S △PAC ＝S 四边形BEFC ，
1＋4×
76＝173
，当x ＝17
3时，y ＝−14×173
＋54＝−16，
∴P （
17
3，−16
）；②点P 在AC 左边，
由中点坐标公式可得P （−113
，13
6）；综上所述，点P 的坐标为（17
3，−16）或（−113
，136）；
（3）如图，
设直线GK 的解析式为y ＝kx ＋b ，则1
{
30
k b k b ++＝＝，
解得1232
k b ⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＝＝，
则直线GK 的解析式为y ＝−
1
2x ＋32
，CP ⊥AP 时，点P 的坐标为（3，0）或（−1，2）；CP ⊥AC 时，直线AC 的解析式为y ＝12x ＋1
2
，直线CP 的解析式为y ＝−2x ＋8，故点P 的坐标为（133，
−2
3
）；AP ⊥AC 时，
同理可得点P
的坐标为（−
73，8
3
）；综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（−1，2）或（
133，−23）或（−73，83
）．本题考查四边形的综合题、矩形的性质、三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．18、（1）4+（2）3
【解析】
根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
根据乘方、0指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质化简后，再合并即可.【详解】44+=+=+(2)(-1)101+(π-3)0+-1
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
)
11213-++-=-本题考查的是二次根式的性质及实数的运算，掌握二次根式的性质及乘方、0指数幂、负整数指数幂是关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形真
【解析】
分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.
故答案为如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.点睛：本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．20、6x ≤【解析】
试题解析：由题意得，6-x≥0，解得，x≤6.21、1【解析】
由基本作图得到AB AF =，AG 平分BAD ∠，故可得出四边形ABEF 是菱形，由菱形的性
质可知AE BF ⊥，故可得出OB 的长，再由勾股定理即可得出OA 的长，进而得出结论．
【详解】
解：连结EF ，AE 与BF 交于点O ，
四边形ABCD 是平行四边形，AB AF =，
∴四边形ABEF 是菱形，AE BF ∴⊥，1
42OB BF ==，12
OA AE =．5AB =，
在Rt AOB ∆中，3AO ==，
26AE AO ∴==．
故答案为：1．
本题考查的是作图-基本作图，熟知平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质是解决问题的关键．22、10【解析】
由矩形的性质可证明S △DFP ＝S △PBE ，即可求解．【详解】
解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．
则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ，
∴S △DFP ＝S △PBE ＝1
2
×2×5＝5，∴S 阴＝5＋5＝10，
故答案为：10.
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △DFP ＝S △PBE ．23、7.2cm 或cm
【解析】
①边长3.6cm 为短边时，∵四边形ABCD 为矩形，∴OA=OB ，
∵两对角线的夹角为60°，∴△AOB 为等边三角形，∴OA=OB=AB=3.6cm ，∴AC=BD=2OA=7.2cm ；②边长3.6cm 为长边时，∵四边形ABCD 为矩形∴OA=OB ，
∵两对角线的夹角为60°，∴△AOB 为等边三角形，
∴OA=OB=AB ，BD=2OB ，∠ABD=60°，∴OB=AB=
5
==，∴BD ＝
123
5
；
故答案是：7.2cm 或
123
5
cm ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）．【解析】
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．【详解】
解：原式(312a ⎡=+÷⎣==本题考查了二次根式的混合运算，解题关键在于结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
25、解：（1）设商场计划购进空调x 台，则计划购进彩电（30﹣x）台，由题意，得y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000。

（2）依题意，得5400x 3500(30x)128000
300x 1200015000+-≤⎧⎨+≥⎩，
解得10≤x≤2
129。

∵x 为整数，∴x=10，11，12。

∴商场有三种方案可供选择：方案1：购空调10台，购彩电20台；方案2：购空调11台，购彩电19台；方案3：购空调12台，购彩电18台。

（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，∴y 随x 的增大而增大。

∴当x=12时，y 有最大值，y 最大=300×12+12000=15600元．
故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元。

【解析】（1）y=（空调售价﹣空调进价）x+（彩电售价﹣彩电进价）×（30﹣x）。

（2）根据用于一次性购进空调、彩电共30台，总资金为12.8万元，全部销售后利润不少于1.5万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的x 的正整数值即可。

（3）利用y 与x 的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时
的最大利润即可。

考点：一次函数和一元一次不等式组的应用，由实际问题列函数关系式，一次函数的性质。

26、（2）y＝2x+2；（2）x＜﹣2或0＜x＜2；（3）（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【解析】
（2）首先将A点坐标代入反比例函数，进而计算出k的值，再将B点代入反比例函数的关系式，求得参数m的值，再利用待定系数法求解一次函数的解析式.
（2）根据题意要使k
x＞ax+b则必须反比例函数的图象在一次函数之上，观察图象即可得到
x的取值范围.
（3）首先写出A、C的坐标，再根据对角为OC、OA、AC进行分类讨论.【详解】
解：（2）将A（2，4）代入y＝k
x，得：4＝k，
∴反比例函数的关系式为y＝4 x；
当y＝﹣2时，﹣2＝4
m，解得：m＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（2，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b，得：
4
22
a b
a b
+=
⎧
⎨
-+=-
⎩
，
解得：
2
2 a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴一次函数的关系式为y＝2x+2．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴使得k
x＞ax+b成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
（3）∵点A的坐标为（2，4），
∴点C的坐标为（2，0）．
设点D的坐标为（c，d），分三种情况考虑，如图所示：
①当OC为对角线时，
110 400
c
d
+=+
⎧
⎨
+=+
⎩
，
解得：04c d =⎧⎨=-⎩，∴点D 2的坐标为（0，﹣4）；②当OA 为对角线时，110040c d +=+⎧⎨+=+⎩解得：04c d =⎧⎨=⎩∴点D 2的坐标为（0，4）；③当AC 为对角线时，011040c d +=+⎧⎨+=+⎩，解得：24c d =⎧⎨=⎩，∴点D 3的坐标为（2，4）．综上所述：以A ，O ，C ，D 四点为顶点的四边形为平行四边形时，点D 的坐标为（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．本题主要考查反比例函数和一次函数的综合性问题,这类题目是考试的热点问题，综合性比较强，但是也很容易，应当熟练掌握.。