江西省赣州市十四县(市)2019届高三上学期期中联考数学(理)试卷(含答案)

2018—2019学年第一学期赣州市十四县(市)期中联考
高三数学（理科）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)
1. 已知集合{}213A x x =-≤，集合{
}2
B y y x ==，则=B A （ ）
A .{}x x ≤1
B . {
}x x ≤≤01
C . {}2x x ≤
D .{}x x ≤≤02
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10081009101010112a a a a +++=，则2018S =（ ） A ．1009
B ．1010
C ．2018
D ．2019
3. 设函数(){
()211log 2,1,2, 1.
x x x f x x -+-<=≥ 则((2))f f -= ( )
A .2
B .4
C .8
D .16 4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”.
B ．命题p ：0x R ∃∈，使得06
sin x =
；命题q ：x R ∀∈，都有sin x x >；则命题p q ∨为真. C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”.
D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题. 5. 已知()21f x x =+，若
()()1
f x f a =⎰，则a 的值为（ ）
A . 12-
B . 32-
C . 1
2
D . 1
6． 如右图，正六边形ABCDEF 中，AC BD ⋅的值为18，则此正六边形的边
长为（ ）
A ．2
B ．22
C ．3
D ．32 7. 角B A ,是△ABC 的两个内角.下列六个条件中，“B A >”的充分必要
条件的个数是 ( )
①B A sin sin >； ②B A cos cos <； ③B A tan tan >； ④B A 22sin sin >； ⑤B A 22cos cos <； ⑥B A 22tan tan >.
A ．
B ．
C ．
D ．
8. “今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）
A ．4
B ．5 C. 6 D ．7 9.函数)1ln(25x x x y -++=的图象大致为（ ）
A B C D
10.已知函数()()2
12sin 06f x x πωω⎛⎫
=-+
> ⎪⎝
⎭
在区间,62ππ⎡
⎤
⎢
⎥⎣⎦
为单调函数，则ω的最大值是（ ）
A ．
12 B ．35 C ．23 D ．3
4
11. 在ABC ∆中, 1
6,7,cos 5
AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中
01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )
A .
B . 563
C .
103 D . 20
3
12. 已知函数1ln(1)()2x f x x +-=-（x ＞2），若()1
k
f x x >-恒成立，则整数k 的最大值为（ ）
A ．2
B ．3 C. 4 D ．5
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)
13
．已知1,2cos cos sin sin αβαβ+=+=则() cos αβ-= 。

14. 函数()x
f x x m
=
+的对称中心()1,1-，ln ()n a f n =，则数列{}n a 的前n 项和是 。

15. 如图,矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数1
2
22,,2x
y x y x y ⎛=== ⎝⎭
的图象上,
且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为________.
16 . 函数()f x 的定义域和值域均为()0,+∞，()f x 的导函数为()f x '，且满足
()()()2f x f x f x '<<，则
()
()
20182019f f
的取值范围是____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分） 已知幂函数()f x 经过点()2,4 （1）求12f ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值； （2）是否存在实数m 与n ，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]68,68m n --，若存在，求出m 与
n 的值，
若不存在，说明理由.
18. （本小题满分12分） 已知函数2()4sin sin (
)2sin (cos 1)42
x
f x x x x π=⋅++- （1）求函数)(x f 的最小正周期与单调增区间；
（2）设集合(){}
,2624A x
x B x f x m ⎧π17π⎫
=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭
,若A B ⊆,求实数m 的取值范围
19. （本小题满分12分）
设数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 是其前n 项和,已知37S =,且1233,3,4a a a ++构成等差数列
（1）求数列{}n a 的通项；
（2）令21lo ,,2,g 1,n n n a b n a +=⋅=⋯求数列{}n b 的前n 项和n T .
20.（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2a cos C ＋c ＝2b.
（1）若点M 在边AC 上,且21
cos 217
AMB BM ∠=
=求ABM ∆的面积； （2）若ABC ∆为锐角三角形,且222b c a bc +=++,求b c +的取值范围。

21.（本小题满分12分）
已知函数()ln f x a x bx =+的图像过点(1,3)-，且在1
3
x =
处取得极值。

（1）若对任意(0,)x ∈+∞有()f x m ≤恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当k R ∈,试讨论函数()2
y f x x k =++的零点个数.
22.（本小题满分12分） 已知函数()211
e 122
x
f x ax ax =-
--(a 为常数)，曲线()y f x =在与y 轴的交点A 处的切线与x 轴平行．
(1)求a 的值及函数()y f x '=的单调区间；
(2)若存在不相等的实数12,x x 使12()()f x f x ''=成立，试比较12x x +与2ln 2的大小．
2018—2019学年第一学期赣州市十四县(市)期中联考
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
二、填空题
13. 1
2
- 14. ln(1)n -+ 15.
11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
16. 21
,e e --（）
三、解答题
17.
211
(1)(),()24f x x f =-=
..............................................4分 2(2)
()04
680,3()0+f x x m m f x =≥∴-≥≥
∞函数在（，）单调递增..............................5分
∴()f x n 函数在（m ，）单调递增................6分 n m n n f m m f <⎩
⎨⎧-=-=∴且86)(86)(.......................8分
解得.4,2==n m
故存在.4,2==n m 满足题意。

....................10分 18.
22
(1)()4sin sin ()2sin (cos 1)
422sin (1cos())2sin (cos 1)
22sin 2sin sin 22sin 1cos 2sin 2x
f x x x x x x x x x x x x x x
π=⋅++-π
=⋅-++-=++-=-+ 1)
4x π
=+-.....................................................3分
∴函数)(x f 的最小正周期π=T ......................4分 由2
24
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k 得838
πππ
π+
≤≤-
k x k
∴函数)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-,83,8ππππ.............6分
（2）由()2f x m -<2()2,f x m ⇒-<-<即()2()2f x m f x -<<+........7分 ∵A B ⊆ 当
17624
x π
π≤≤
时,不等式()2()2f x m f x -<<+恒成立 max min [()2][()2]f x m f x ∴-<<+.................................................................8分
∵min max 1723()(
)1()()122428
f x f f x f ππ
==-==+分 221,32m ⎫
∴∈-⎪⎪⎭..................................................................................12分 19.(1) 由已知得()()1232
1327
{
2346a a a a a a a ++=⇒=+++= .....................1分 设数列{}n a 的公比为q ,由22,a =可得1322
,,a a q q
=
=又37S =, .........2分 所以
2227,q q ++=即22520q q -+=.解得2q =或1
2
q = ...............4分 ∵1q >,∴12,1q a =∴=故数列{}n a 的通项为1
2n n a -= .................5分 （2） 由（1）得11
122,2log 22n n n n n n a b n --+=∴==⋅. ..................6分
12n n T b b b ∴=++⋯+12112232.......2n n -=+⋅+⋅++⋅ ①...............................7分 2n T =2322232.......2n n +⋅+⋅++⋅②...................................................................8分
∴①－②得
121122 (22212)
n n n n
n
T n n --=++++-⋅=--⋅.................................................11分
∴(1)21n n T n =-⋅+ ................................................................................12分 20.(1)2a cos C ＋c ＝2b ，由正弦定理，
得2sin A cos C ＋sin C ＝2sin B ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ， ∴sin C ＝2cos A sin C 。

∵0<C <π，∴sin C ≠0，∴cos A ＝1
2。

又0<B <π，∴A ＝π
3.............................................2分
又由21cos AMB ∠=
,得27sin AMB ∠=.................................................3分 ∴由正弦定理可知
sin sin AB BM AMB A =∠,21
sin 6027
7
=
4AB ∴=,............................................................4分
由余弦定理有211621
224AM AM +-=⋅⋅,则5AM =....................................................5分
127
5327
ABM S AM BM ∆∴=⨯⨯⨯=分
（2）由3
A π
=知, 222
1cos 22b c a A bc +-==,得222b c bc a +-=......................7分
又∵222b c a bc +=++
220a a ∴--=,2a ∴=...................................................................................8分
由正弦定理
2sin sin sin 3sin 3
a b c A B C π====
, 则,33b B c C =
=............................................................................9分 33333b c B C B B π⎛⎫∴+=
=++= ⎪⎝⎭4sin 6B π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭,
由ABC ∆为锐角三角形,则20,02
32B B π
ππ<<
<
-<,得62
B ππ
<<..............11分 (
4sin 23,46b c B π⎛
⎫⎤∴+=+∈ ⎪⎦⎝
⎭,即b c +的取值范围为(
23,4⎤⎦..................12分
21.（1）∵点(1,3)-在函数()f x 图像上,
∴3ln1a b -=+,∴3b =-. .......................................1分 ∵()'3a f x x =
-,由题意'013f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
, ∴1a =.∴()ln 3f x x x =-. ......2分
∴()1'3f x x =
-. 当1,3x ∈+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭时, ()'0f x ≤, 10,3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时, ()'0f x ≥, ∴()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
为增函数，1,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
为减函数. ..................4分
∵()max 1
ln
1ln 3113
3f x f ⎛⎫ ⎪=-=-⎝⎭
=-. .........................5分 ∴ln31m ≥--,即实数m 的取值范围为[)ln31,--+∞..............6分 （2） ()ln 3f x x x =-的定义域为()0,+∞,
∴()2
ln 3,0,y x x x k x =-++∈+∞.∴21231
'32x x y x x x
-+=-+=.......7分
令0y '=,得1
1,
x x ==
. 而112
5
ln 2,24|
|x x y k y k ===--+=-+,............................9分 ∴当5ln 2020,4k k --
+>-+<且即5
ln 22,4
k +<<函数有3个零点.....10分 当5ln 2=02=0,4k k --
+-+或即5
ln 22,4k k =+=或函数有2个零点......11分 当5ln 2020,4k k --
+<-+>或即5
ln 22,4
k k <+>或函数有1个零点......12分
22.解：(1)由()2111,22
x
f x e ax ax x R =---∈， 得()1
2x f x e ax a '=--．且)(x f 与y 轴交于A(0.0)................................1分
()1
10002
f a '∴=--=，所以2a =，........................................................2分
所以()21x f x e x '=--,2)(-=''x e x f ．
由2)(-=''x e x f ＞0，得x ＞ln 2．.............................................................3分
所以函数)(x f y '=在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．...............5分
(2)证明：设x ＞ln 2，所以2ln 2－x ＜ln 2，
f '(2ln 2－x )＝e (2ln 2
－x )
－2(2ln 2－x )－1
＝4
e x ＋2x －4ln 2－1．
令g (x )＝f '(x )－f '(2ln 2－x )＝e x －4
e x －4x ＋4ln 2(x ≥ln 2)， 所以g ′(x )＝e x ＋4e －x －4≥0， 当且仅当x ＝ln 2时，等号成立，
所以g (x )＝f '(x )－f '(2ln 2－x )在(ln 2，＋∞)上单调递增．...................8分 又g (ln 2)＝0，所以当x ＞ln 2时，g (x )＝f '(x )－f '(2ln 2－x )＞g (ln 2)＝0， 即f '(x )＞f '(2ln 2－x )，不妨设x 1＜ln 2＜x 2，所以f '(x 2)＞f '(2ln 2－x 2)， 又因为f '(x 1)＝f '(x 2)，所以f '(x 1)＞f '(2ln 2－x 2)，...............................10分 由于x 2＞ln 2，所以2ln 2－x 2＜ln 2，
因为x 1＜ln 2，由(1)知函数y ＝f '(x )在区间(－∞，ln 2)上单调递减， 所以x 1＜2ln 2－x 2，
即x 1＋x 2＜2ln 2．.....................................................................................12分。