2019年高考数学复习单元评估检测4平面向量数系的扩充与复数的引入理北师大版

单元评估检测(四) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z ＝1＋2i
2－i
(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．i [答案] C
2．若z ＝4＋3i ，则
z
|z |
＝( ) A ．1B ．－1 C.45＋35ID ．45－3
5i
[答案] D
3．若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( )
A ．－1
B ．－i
C ．I
D ．1 [答案] A
4．复数z ＝－3＋i
2＋i
的共扼复数是( )
【导学号：79140414】
A ．2＋I
B ．2－i
C ．－1＋I
D ．－1－i [答案] D
5．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b ＝( )
A ．(5,7)
B ．(5,9)
C ．(3,7)
D ．(3,9) [答案] D
6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] D
7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5 [答案] A
8．设复数z 1＝2sin θ＋icos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2在复平面上对应向量OZ 1→，将OZ 1→按顺时针方向旋转34π后得到向量OZ 2→，OZ 2→
对应的复数为z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则y x
＝( )
A.2tan θ＋1
2tan θ－1
B ．2tan θ－12tan θ＋1 C.
1
2tan θ＋1
D ．1
2tan θ－1
[答案] A
9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5,5)，则b ·c ＝( )
A ．(－3,4)
B ．(3，－4)
C ．1
D ．－1
[答案] C
10．如图4­1，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，
AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )
图4­1
A.AC →＝AB →＋AD →
B.BD →＝AD →－AB →
C.AO →＝12AB →＋12AD →
D.AE →＝53AB →＋AD →
[答案] D
11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( )
A ．3－2i
B ．2－3i
C ．－3－2i
D ．2＋3i
[答案] D
12．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )
A ．－8
B ．－6
C ．6
D ．8 [答案] D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →
＝________.
[答案] 2
14．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. [答案] 2
15．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.
[答案] 2
16．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12
i 的“错位共轭”复数为________.
【导学号：79140415】
[答案]
32＋3
2
i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →
|＝10.
(1)求D 点坐标；
(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →
；
(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →
的坐标． [解] (1)D (2,1)或D (－2,3)． (2)AC →＝－AB →＋AD →. (3)AE →
＝(－14,2)．
18．(本小题满分12分)如图4­2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →
·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →
的值.
【导学号：79140416】
图4­2
[解] 7
8
.
19．(本小题满分12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6
z ＋1
.
(1)求复数ω；
(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →
，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →
的位置，求θ的最小值．
[解] (1)1－i. (2)5
4
π.
20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2
，－2sin A
2，m ·n ＝－1.
(1)求cos A 的值；
(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)－1
2
. (2)2.
21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos
A ，cos
B )，n ＝(a,2c －b )，且m ∥n .
【导学号：79140417】
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m ∥n ， 所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0， 由正弦定理得
sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，
所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以cos A ＝1
2
，
因为0＜A ＜π，所以A ＝π
3
.
(2)由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 所以16＝b 2
＋c 2
－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 因此bc ≤16，
当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立； 因此△ABC 的面积S ＝1
2bc sin A ≤43，
因此△ABC 面积的最大值为4 3.
22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →
，
a 2＋
b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →
(x ，y ∈R )，且a 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －122＋b 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
y －12
2＝1.
(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →
；
(2)求|OP →
|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)因为点M 为线段AB 的中点， 所以OM →＝12
(OA →＋OB →)．
所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →
)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.
(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|MA →|＝|MB →|＝|MO →
| ＝12
|AB →
|＝1. 又由(1)及a 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋b 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122
＝1，
得|MP →|2＝|OP →－OM →|2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122
OB →2 ＝a 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋b 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122
＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →
|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1
为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →
|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边
形OAPB ＝|OA →|·|OB →
|＝ab ≤a 2＋b 2
2
＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.。