高中数学第一章全称量词与存在量词课时提升作业(八)1.4.3含有一个量词的命题的否定新人教A版选修1_1

课时提升作业(八)
含有一个量词的命题的否定
(15分钟30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )
A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1
B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1
C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1
【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为
∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1.
2.(2015·保定高二检测)已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lgx0,命题q:∀x∈R,x2>0,
则( )
A.命题p∨q是假命题
B.命题p∧q是真命题
C.命题p∧(q)是真命题
D.命题p∨(q)是假命题
【解析】选C.由于x=10时,x-2=8,lgx=lg10=1,故命题p为真命题,令x=0,则x2=0,故命题q为假命题,得到命题p∨q是真命题,p∧q为假命题,q是真命题,进而得到命题p∧(q)是真命题,命题p∨(q)是真命题.
3.(2015·遵义高二检测)以下四个命题中,真命题的个数是( )
①“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题;
②存在正实数a,b,使得lg(a+b)=lga+lgb;
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”;
④在△ABC中,A<B是sinA<sinB的充分不必要条件.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.对于①,“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1.则a+b≥2”,错误,如a=3≥1,b=-2,但a+b=1<2;对于②,存在正实数a=2,b=2,使得lg(2+2)=lg22=2lg2=lg2+lg2成立,故②正确;对于③,“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”,故③正确;对于④,在△ABC中,A<B⇔a<b⇔2RsinA<2RsinB⇔sinA<sinB,故△ABC中,A<B是sinA<sinB的充分必要条件,故④错误.综上所述,②③正确.
【变式训练】已知命题p:∃x 0∈R,+1<0,则p是( )
A.∃x0∈R,+1≥0
B.∀x∈R,x2+1≥0
C.∃x0∈R,+1≠0
D.∀x∈R,x2+1<0
【解析】选B.命题p是一个特称命题,其否定为全称命题, p:∀x∈R,x2+1≥0.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.命题“零向量与任意向量共线”的否定为.
【解析】命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”,是全称命题,其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.
答案:有的向量与零向量不共线
5.(2015·青岛高二检测)若命题p:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是.
【解析】ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,即不等式ax2+4x+a≥-2x2+1对∀x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+(a-1)≥0.当a+2=0时,不符合题意.
故有
解得a≥2.
答案:[2,+∞)
三、解答题
6.(10分)写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.
(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.
(3)r:等圆的面积相等,周长相等.
(4)s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
【解析】(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m 0,使得x2+x-m0=0没有实数根”.
注意到当Δ=1+4m 0<0时,即m0<-时,一元二次方程没有实数根,所以p是真命题.
(2)这一命题的否定形式是q:“对所有实数x,都有x2+x+1>0”;利用配方法可以证得q是一个真命题.
(3)这一命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知r是一个假命题.
(4)这一命题的否定形式是s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α0≠1”.由于命题s是真命题,所
以s是假命题.
(15分钟30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.下列说法错误的是( )
A.∃α0,β0∈R,使sin(α0+β0)=sinα0+sinβ0
B.∀a>0,函数f(x)=ln2x+lnx-a有零点
C.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
D.命题“∀x∈R,x2+1>0”的否定是“∃x0∈R,+1≤0”
【解析】选C.A中当β=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ.
B中当a>0时,由于f(x)=ln2x+lnx-a中Δ=1+4a>0,则f(x)=0有根即函数有零点.
C中当φ=时,f(x)=sin(2x+φ)=cos2x是偶函数.
D中的否定为“∃x0∈R,+1≤0”.
2.(2015·西安高二检测)已知命题p:对∀x∈R,∃m 0∈R,使4x+2x m0+1=0.若命题p是假命题,则实数m0的取值范围是( )
A.[-2,2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]
D.[-2,+∞)
【解题指南】根据p与p的真假性相反知p是真命题,然后求m的取值范围即可.
【解析】选C.因为p为假,故p为真,即求原命题为真时m的取值范围.由4x+2x m 0+1=0,
得-m0==2x+≥2,所以m0≤-2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·武汉高二检测)已知p:存在x0∈R,m+1≤0;q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假,则实数m的取值范围为.
【解题指南】先判断命题p,q的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.
【解析】由p或q为假,得p,q都是假命题,从而⌝p,⌝q都是真命题.
⌝p:对任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;
⌝q:存在x
2-4≥0,
0∈R,+mx0+1≤0成立,得Δ=m
解得m≥2或m≤-2.
综上所述,m≥2为所求.
答案:m≥2
【补偿训练】(2015·长春高二检测)设命题p:∀x∈R,x2+ax+2<0,若p为真,则实数a的取值范围是.
【解析】因为⌝p为真,又⌝p:∃x0∈R,+ax0+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,所以a∈R.
答案:a∈R
4.已知命题“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是.
【解析】由“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知命题“∀x∈R,x2-5x+a>0”必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意x∈R恒成立,
故Δ=25-4×a<0,
解得a>,即实数a的取值范围为.
答案:
三、解答题
5.(10分)(2015·福州高二检测)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,+2x0-m-1=0,且p∧q 为真,求实数m的取值范围.
【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.
若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,
则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.
当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
当m≠0时,有m<0且Δ=4-4m2<0,
所以m<-1.
若q:∃x0∈R,+2x0-m-1=0为真,
则方程+2x0-m-1=0有实根,
所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.
又p∧q为真,故p,q均为真命题.
所以m<-1且m≥-2,
所以-2≤m<-1.。