2020_2021高中数学第一章统计1.8最玄乘估计课时作业含解析北师大版必修3

课时作业8 最小二乘估计
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程y ＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是( )
A ．直线y ＝bx ＋a 必经过点(x －，y －
)
B ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点
C ．直线y ＝bx ＋a 的斜率为
∑
i ＝1
n
x i y i －n x －y
－
∑i ＝1
n
x 2
i －n x －
2
D ．直线y ＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的接近程度∑i ＝1
n
[y i －(bx i ＋a )]
2
是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线
解析：直线y ＝bx ＋a 一定过点(x －，y －
)，但不一定要过样本点． 答案：B
2．下列有关回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
的叙述正确的是( ) ①反映y ^
与x 之间的函数关系 ②反映y 与x 之间的函数关系 ③表示y ^
与x 之间的不确定关系
④表示最接近y 与z 之间真实关系的一条直线 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④
解析：y ^＝b ^x ＋a ^表示y ^
与x 之间的函数关系，而不是y 与x 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y 与x 之间的真实关系．
答案：D
3．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )
A.y^＝1.5x＋2
B.y^＝－1.5x＋2
C.y^＝1.5x－2
D.y^＝－1.5x－2
解析：设回归方程为y^＝b^x＋a^，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b^<0，a^>0，因此方程可能为y^＝－1.5x＋2.
答案：B
4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )
A．直线l1和l2有交点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和l2必定重合
解析：设线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，而a^＝y－－b^x－.所以点(s，t)在回归直线上．所以直线l1和l2有公共点(s，t)．
答案：A
5．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(元)与居民人均消费水平y(元)统计调查，y与x具有相关关系，线性回归方程为y＝0.66x＋1562，若某城市居民人均消费水平为7675元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：将y＝7675代入回归方程，可计算得x≈9262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7675÷9262≈0.83，即约为83%.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；
②回归方程一般都有局限性；
③样本取值的X围会影响回归方程的适用X围；
④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．
正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错．
答案：②③
7．某地区近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合y ＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．
解析：由题意知，y ＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元． 答案：12.1
8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：
x 3 4 5 6 y
2.5
t
4
4.5
根据上表达提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.35＋0.7x ，那么表中t 的值为________．
解析：因为x －＝3＋4＋5＋64＝4.5.
y －＝0.35＋0.7x －
＝0.35＋0.7×4.5＝3.5. 又y －＝2.5＋t ＋4＋4.54＝11＋t 4，
所以3.5＝11＋t
4，所以t ＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．根据有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法正确吗？
解析：吸烟和健康之间存在一定的相关关系，但不是每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的．“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”是不正确的．
10．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)，与该周每天销售这种服装件数
x 之间的一组数据关系见表
x 3 4 5 6 7 8 9 y
66
69
73
81
89
90
91
已知
∑i ＝1
n
x 2
i ＝280，∑i ＝1
n
y 2
i ＝45 209，∑i ＝1
n
x i y i ＝3 487.
(1)求x －，y －
； (2)求回归方程．
解析：(1)x －＝1
7×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
y －＝1
7×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝5597
.
(2)b ^
＝3 487－7×6×
559
7280－7×36＝194，
∴a ^＝5597－19
4×6＝71914，
∴所求回归方程为y ^＝194x ＋719
14.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6 y
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^
.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^>b ′，a ^>a ′
B.b ^>b ′，a ^<a ′
C.b ^<b ′，a ^>a ′
D.b ^<b ′，a ^<a ′
解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，从而b ′＝2，a ′＝－2.而利
用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^
＝
∑i ＝1
6
x i y i －6x －
·y －∑
i ＝1
6x 2i －6x
－
2＝58－6×72×
13
691－6×⎝ ⎛⎭
⎪⎫722
＝5
7
，
a ^＝y －－
b ^x －＝136－57×7
2＝－13，
所以b ^<b ′，a ^
>a ′. 答案：C
12．某公司的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y 与x 呈线性相关关系)：
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
根据上表提供的数据得到回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．
解析：x －＝1
5(2＋4＋5＋6＋8)＝5，
y －＝1
5
(30＋40＋60＋50＋70)＝50，
由b ^＝6.5知，a ^＝y －－b ^·x －
＝50－6.5×5＝17.5， 所以y ^＝17.5＋6.5x ，当y ^
＝115时，解得x ＝15. 答案：15
13．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^
.
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^
＝
∑i ＝1n
t i y i －n t －
y －∑i ＝1
n t 2
i －n t －
2
，a ^＝y －－b ^t －.
解析：(1)列表计算如下：
i
t i
y i
t 2i
t i y i
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50 ∑
15
36
55
120
这里n ＝5，t －
＝1
n
，
∑
i ＝1
n
t i ＝15
5
＝3，
y －＝
1
n
∑
i ＝1
n
y i ＝36
5
＝7.2.
又∑
i＝1
n
t2i－n t－2＝55－5×32＝10，∑
i＝1
n
t i y i－n t－y－＝120－5×3×7.2＝12，从而b^＝
12
10
＝1.2，a^＝y－－b^t－
＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y^＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
y^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
14．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明．
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：∑
i＝1
7
y i＝9.32，∑
i＝1
7
t i y i＝40.17，
参考公式：相关系数r＝
∑
i＝1
n
t i－t－y i－y－
∑
i＝1
n
t i－t－2∑
i＝1
n
y i－y－2
，回归方程y^＝a^＋b^t中
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^
＝
∑i ＝1
n
t i －t
－
y i －y
－
∑i ＝1
n
t i －t
－
2
，a ^＝y －－b ^t －.
解析：(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得 t －
＝4，
∑i ＝1
7
(t i －t －
)2
＝28， ∑i ＝1
7
y i －y
－
2＝0.55.
∑i ＝1
7
(t i －t －
)(y i －y －)＝∑i ＝1
7t i y i －t －
∑i ＝1
7
y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， ∴r ≈ 2.89
0.55×2×2.646
≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．
(2)由y －＝9.327
≈1.331及(1)得b ^＝
∑
i ＝1
7
t i －t
－y i －y
－
∑i ＝1
7
t i －t
－
2
＝2.8928
≈0.103，a ^＝y －－b ^t －≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以，y 关于t 的回归方程为y ^
＝0.92＋0.10t .
将2016年对应的t ＝9代入回归方程得：y ^
＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。