运筹学中求检验数的求法

第三节 求检验数的的求法
由于表上作业法也是一个迭代算法;何时终止迭代;总得有一个判定条件;这个判定条件类似于单纯法中的检验数;只是由于运输问题的特殊性;求检验数的方法与单纯形法有所不同;下面给出求检验数的两种方法.. 一、闭回路法
1．定理：运输问题的表上作业法中;任一个非基变量都能和若干个基变量构成唯一的闭回路.. 如图示：
顶点 1 2
非基变量
基变量
3 4
基变量 基变量 6 5
基变量 基变量
非基变量的检验数就等于闭回路上所有奇数顶点顶点1、3、5对应的单位运价之和减去所有偶数顶点顶点24、6对应的单位运价之和..
要计算非基变量x11的检验数;按照定理非基变量x11 与基变量x13 、x23 、 x21组成唯一的闭回路..闭回路的奇数顶点对应的单位运价之和为3+2;偶数顶点对应的单位运价之和为3+1;所以x11的检验数为5-4=1..
利用闭回路法求检验数可以作出如下的经济解释..
+1 -1 行平衡
3 3
-1 +1 行平衡
1 2
列平衡列平衡
就是把运量给x11 处分配一个单位;看看会对目标函数值带来什么影响增加还是减少..由于表上作业法中表的每行上分配的运量之和是一个常数等于对应产地的产量;所以若给x11分配前x11=0;
是非基变量分配了1个单位的运量;将增加1×3个单位的运费；同时为保持产量平衡;对应的x13 处就要减少一个单位的运量;这样将减少1×3个单位的运费；与此同时;由于表上作业法中表的每列上分配的运量之和是一个常数等于对应销地的销量所以当x13减少了1个单位的运量时;为保持销量平衡x23将增加1个单位的运量;这样将增加1×2个单位的运费；
同理可知对应的x21 处就要减少一个单位的运量;将减少1×1个单位的运费..
综上所述;目标函数值增加了3+2;同时又减少了3+1 ..所以目标函数总的变化量为：3+2 -3+1=1..这就是说;每给x11分配一个单位的运量;目标函数总运费将增加一个单位..因此在表上作业法中对检验数大于零的地方不再分配运量;若所有非基变量的检验数全大于零;任何形式的运量调整只能使目标函数值增加;所以算法终止;此时的解就是最优解..请大家参考上面的例子仔细想一想;若非基变量的检验数小于零;是否应该给该处分配运量把非基变量调整成基变量答案是肯定的;为什么
通过上述的闭回路法;可以把所有非基变量的检验数求出来..
从运算上说;都是加减运算;难就难在寻找闭回路;但是只要多练习;还是比较容易的..
二、位势法
用闭回路法求检验数;需要对每一个非基变量表上画“×”的地方寻找闭回路;然后再去求检验数;当一个运输问题的产销点很多时;这种方法的计算工作量是很大的;不如位势法简单;下面通
过实例简单介绍一下位势法..
简单的说;位势法就是通过与基变量的对应的单位运价把各行、各列对应的位势可以先设成未知数求出来;再利用它求出非基变量检验数的一种方法;这种方法的合理性来自于线性规划问题的对偶理论有兴趣的同学可以参考文献186页的内容..
在线性规划问题的对偶理论和单纯型法;在基变量对应的检验数为
零;所以有下面的方程组 u 1 + v 3 =3
u 1 + v 4 =10 u 2 + v 1 =1 u 2 + v 3 =2 u 3 + v 2 =4 u 3 + v 4 =5
由于是7个未知数6个方程;所以必须给某一变量初始值..一般是令u 1=0;可以解出其它的位势如表上所示..
根据定理课本上的定理5 非基变量x ij 的检验数。