陕西省西安市第二十六中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题(含答案)

2024~2025学年九年级第一学期期中质量检测
数学
注意事项：
1．全卷满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为
A ．
B ．3，6
C ．
D ．2．下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A ．3，9，2，6
B ．
C ．1，2，3，4
D ．1，2，4，8
3．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A ．15个
B ．20个
C ．30个
D ．35个
4．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．5．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A
．B ．C ．D ．2316x x -=3,6-3,1-2
3,6x x -ABCD D AB D 'C C '60AD M ∠='︒MNB ∠65︒70︒75︒80︒
AD BE CF ∥∥BE DE CF DF =EF AB DE BC =BE AB CF AC =DE AB EF BC
=
6．已知关于的一元二次方程的两实数根为，若，则的值为（）
A．B．2C．2或D
．
7．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．C．D．
8．如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为_________．
10．若，则_________．
11．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_________cm．
x()
22
210
x m x m
--+=
12
,x x
12
4
x x⋅=m 2-2-
1
2
ABC
△76,8,6
A A
B AC
∠=︒==ABC
△
ABCD EF AC
⊥H AD AB
、CB E M F
、、:2:3
AE FB=:
AH AC
1
4
1
6
2
5
1
5
x()22
10
a x a x a
-+-=1
x=a
345
x y z
==
432
x y z
x y z
+-
=
++
P AB AP PB
>AB BP
12．已知：如图，正方形的顶点在矩形的边上，矩形的顶点在正方形的边上，正方形的边长为4，的长为5，则的长为_________．
13．如图，在中，，点为边上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（本题满分5分）
解方程：（1）；
15．（本题满分5分）
解方程：．16．（本题满分5分）
己知中，．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这
条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．
A DEFG EF DEFG G BC DG DE Rt ABC △90,8,17BAC A
B B
C ∠=︒==P BC PA ,PA PC PAQC PQ PQ 26180x x --=()()2
2(3)33x x x -=-+ABC △90C ∠=︒
17．（本题满分5分）周长．
已知和中，有
．且和的周长之差为15厘米，求和的周长．
18．（本题满分5分）
已知关于的方程．求证：无论取何值，该方程都有实数根．19．（本题满分5分）
如图，在矩形中，对角线交于点，点分别为的中点．求证：四边形为菱形．
20．（本题满分6分）
ETC （ElectronicTollCollection ）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有ETC 的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有四个ETC 通道，车辆可任意选择一个ETC 通道通过，且通过每个ETC 通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC 的汽车经过此收费站．
（1）求小李通过通道的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
21．（本题满分6分）
陕西历史悠久，是中华文明的重要发祥地之一，秦始皇兵马俑、西岳华山、华清池、黄帝陵、西安城墙、金丝峡景区、大雁塔、大唐芙蓉园景区、延安革命纪念地景区等，这些都是人们节假日休闲的好去处．我省某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游？
22．（本题满分6分）
ABC △DEF △25
AB BC CA DE EF FD ===ABC △DEF △ABC △DEF △x ()2
350x m x m --+-=m ABCD AC BD 、O E F G 、、AD AO DO 、、EFOG ,,,A B C D A
如图，在中，是上一点，连接，在上取点，使得．求证：．
23．（本题满分7分）
如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度．在河对岸有一棵高4.8米的树，树在河里的倒影为，，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点处时看到岸边点和倒影顶点在一条直线上，点到水面的距离米，米，米，，，，，视线与水面的交点为，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度．
24．（本题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点的坐标分别为．
（1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为；
（2）在（1）的条件下，求
的面积．
ABCD E BC AE AE F DFE C ∠=∠AD AB AE DF ⋅=⋅EF GF GF HF GF HF =B C H C EF 0.8CE = 1.6AB = 2.4BC =AB BC ⊥CE EF ⊥FH EF ⊥GF EF ⊥BC EF ∥AH EF D EF ABC △A B C 、、()()()3,0,4,2,2,4A B C O ABC △111A B C △111A B C △ABC △2:1111A B C △
25．（本题满分8分）
如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒3厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？
26．（本题满分10分）
【问题提出】
（1）如图①，在中，，点为上一点，且，过点作于点，若，则的长为_________；
【问题探究】
（2）如图②，在中，，点是边上一点，连接，过点作交于点，过点作于点，交于点，试判断与是否相似，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，是一块菜园平面示意图，是边上的中线，于点，交于点交于点，经测量，米，现欲沿修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠的长度．
2024~2025学年九年级第一学期期中质量检测
数学答案解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．A 7．C 8．
D
ABC △7AB =15AC =P A B Q C A A P Q 、、ABC △Rt ABC △90B ∠=︒D BC 12CD AC =
D D
E AC ⊥E 4AB =DE Rt ABC △90ABC ∠=︒D BC AD D DE AD ⊥AC E B B
F AC ⊥F AD
G ABG △DCE △Rt ABC △90,2,ABC BC AB AD ∠=︒=BC BF AC ⊥F AD ,G DE AD ⊥AC E 50DE =DG DG
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9． 10
． 11．
12． 13．三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．解：所以15．解：或16．解：如图，直线即为所求作．
理由：，17．解：设和的周长分别是厘米和厘米．
，①1-1312-16512017
2618
x x -=269189
x x -+=+2(3)27
x -=3x -=±1233x x =+=-()()2
2(3)330x x x ---+=()()()23330
x x x --+-=⎡⎤⎣⎦()()930
x x --=90x ∴-=30
x -=129,3
x x ∴==CD ,90CD AB ACB ⊥∠=︒
90ADC CDB ACB ∴∠=∠=∠=︒
90,90A ACD B A ∴∠+∠=︒∠+∠=︒
ACD B ∴∠=∠CDA BDC
∴△∽△ABC △DEF △x y 25
AB BC CA DE EF FD === ABC DEF ∴△∽△25AB BC CA x DE EF FD y ++∴
==++
由题意可得：②
由①式得③将③式代入②式得：，将代入③式得：答：和的周长分别是10厘米和25厘米．
18．证明：无论取何值，该方程都有实数根
19．证明：四边形是矩形
，又点分别为的中点
，且同理，，四边形为菱形
20．解：（1）小李通过
通道的概率为
；（2）画树状图如图：由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种（小李和小赵经过相同通道21．解：去的人一定超过25人
设该单位这次共有个员工去旅游．
根据题意，得
15y x -=25
x y =2155y y -
=25y ∴=25y =10
x =ABC △DEF △()1,3,5
a b m c m ==--=- ()()222Δ[3]451029(5)44
m m m m m ∴=----=-+=-+≥∴m ABCD ,,AC BD AO OC OB OD ∴===OA OD
∴= E F G 、、AD AO DO 、、,//OF OG EF OD ∴=12
EF OD OG ==12
EG AO OF ==EF FO OG GE ∴===∴EFOG A 14
P ∴41)164
==2000255000054000
⨯=< ∴x 200040(25)]54000x x --=［
解之得：当时，人均费用为1200元．因为低于1700元，这种情况舍去．
当时，人均费用为1800元．符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去旅游．
22．证明：，，，，23．解：
，即，，，即，答：河的宽度为8.4米．
24．解：（1）如图所示：即为所求；
（2）1245,30
x x ==45x =30x =AD BC ∥AEB DAF
∴∠=∠AB CD ∥180B C ∴∠+∠=︒
180,AFD DFE DFE C
∠+∠=︒∠=∠ B AFD ∴∠=∠ABE DFA
∴△∽△AD DF AE AB
∴=AD AB AE DF ∴⋅=⋅,,BC EF AB BC CE EF
⊥⊥ ∥,90ACB CDE ABC CED ∴∠=∠∠=∠=︒
ABC CED
∴△∽△AB BC CE ED ∴= 1.6 2.40.8ED
=1.2
ED ∴=,CE EF FH EF ⊥⊥ 90CED HFD ∴∠=∠=︒
CDE HDF ∠=∠ CED HFD
∴△∽△FH DF CE ED ∴= 4.80.8 1.2
DF =7.2DF ∴=8.4
EF ED DF ∴=+=EF 111A B C △()111484242812222
⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=
25．解：设运动了．
根据题意得：，则当时，即，解得：当时，即，解得：点运动时长为点运动时长为，故当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是
．26．解：（1），，，，，，解得：故答案为：2．
（2）与相似，理由如下：
，，，，（3）过点作于点，如图所示：s t 2tcm,3tcm AP CQ ==()153cm AQ AC CQ t =-=-APQ ABC △∽△AP AQ AB AC
=2153715t t -=3517
t =APQ ACB △∽△AP AQ AC AB =2153157t t -=22559
t =P 7,2
s Q 5s 702t ∴≤≤3517
t ∴=A P Q 、、ABC △35s 17DE AC ⊥ 90DEC ∴∠=︒
Rt ABC △B DEC
∴∠=∠C C ∠=∠ ABC DEC ∴△∽△DE CD AB AC ∴
=1,42CD AC AB =
= 142DE ∴=2
DE =ABG △DCE △BF AC ⊥ 90AFB ∴∠=︒
90ABC ∠=︒ 90C BAC ABF BAC ∴∠+∠=∠+∠=︒
C ABF ∴∠=∠DE A
D ⊥ 90AD
E ∴∠=︒
90,90AGB FAG AFG FAG CED FAG ADE FAG ∠=∠+∠=∠+︒∠=∠+∠=∠+︒ AGB CED
∴∠=∠ABG DCE
∴△∽△E EH BC ⊥H
是边上的中线，，，，为等腰直角三角形
，，米
，，米米
米（米）AD BC BD CD ∴=2BC AB
= AB BD CD ∴==90ABD ∠=︒ 190452BAD BDA ∴∠=∠=⨯︒=︒90ADE ∠=︒ 180904545CDE ∴∠=︒-︒-︒=︒90DHE ∠=︒
DEH ∴△DH EH ∴====ABG DCE △∽△,ABG C AGB CED ∴∠=∠∠=∠AB CD = ABG DCE ∴△≌△50AG DE ∴==,C C CHE CBA ∠=∠∠=∠ CHE CBA ∴△∽△12
EH AB CH BC ∴==2CH EH ∴==CD CH DH ∴=+=AB BD CD ∴===150AD == 15050100DG AD AG ∴=-=-=。