高考数学 考前精选自选试题01

2011自选试题01 0524作业
1.已知R 是实数集，{}
11,12+-==⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<=x y y N x x
M ，则=M C N R （ D ） A ．)2,1(
B ．[]2,0
C.∅ D ．[]2,1
2.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.已知函数)6
2sin()(π
-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a 的值是（ D ）
A ．
6π B ．3π C ．4π D ．2
π
4.过直线y x =上一点P 引圆22
670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为（ C ）
A ．
2
2 B ． 22
3 C ．210 D ．2
5.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足x e f x x f ln )(2)(+'=，则=')(e f （ C ） A ．1 B ．1- C ．1
--e D ．e -
6.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是（ C ）
A ．43
B ．41
C ．83
D ．8
5
7.随机变量()0,1N ξ,记()()x P x ϕξ=<，则下列结论不正确．．．
的是（ D ） A ．()1
02
ϕ=
B ．()()1x x ϕϕ=--
C ．()()21P a a ξϕ<=-
D ． ()()1P a a ξϕ>=- 8. 代数式
20
cos 20sin 10cos 2-的值为 （ B ） A ．2 B
．1 D ．
12
9.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如下图所示， 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为π3
19
. 10.给出下列命题：
①已知,,a b m 都是正数，且
a m a
b m b
+>+，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R ∃∈，使得2
210x x -+<”的否定是真命题； ④“1x ≤，且1y ≤”是“2x y +≤”的充分不必要条件.
第9题图
其中正确命题的序号是 ①③④ .(把你认为正确命题的序号都填上) 11.
()2
2x
x e dx -=⎰ 2
5e
-
12.设,x y 满足条件3
10x y y x y +≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩
，则22(1)x y w e ++=的最小值 4
e
13.在∆ABC 中，22AB AC ==，1AB AC ⋅=-，若12AO x AB x AC =+（O 是∆ABC 的外心）， 则21x x +的值为 13
6
14.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）依题意得
⎪⎩⎪⎨
⎧
+=+=⨯++⨯+)
12()3(50254522331121
11d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨
⎧==2
3
1d a ， …………………………………………4分
1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分
（Ⅱ）
13-=n n
n
a b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=
- ……………………9分
n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--
n
n
n n n 323)12(3
1)
31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= . ……………………………12分
P
A B
C
D
Q
M
12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC ＝90°，平面PAD ⊥底面
ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC ＝
1
2
AD ＝1，CD (Ⅰ)若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； (Ⅱ)求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
(Ⅲ)若二面角M －BQ －C 为30°，设PM ＝tMC ，试确定t 的值 ． 证明：(Ⅰ)连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．…………1分
∵BC ∥AD 且BC ＝1
2
AD ，即BC //AQ ．
∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，
∴ MN // PA ……………………2分 ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ，…………………3分
∴ PA // 平面MBQ ． ……………………4分 (Ⅱ)∵AD // BC ，BC ＝
1
2
AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． …………6分 ∵∠ADC ＝90° ∴∠AQB ＝90° 即QB ⊥AD ． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD
且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ………7分 ∴BQ ⊥平面PAD ． ……8分 ∵BQ ⊂平面PQB ，
∴平面PQB ⊥平面PAD ． ………9分 另证：AD // BC ，BC ＝
1
2
AD ，Q 为AD 的中点 ∴ BC // DQ 且BC ＝ DQ ，
∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC ＝90°
∴∠AQB ＝90° 即QB ⊥AD ． ………6分
∵ PA ＝PD ，
∴PQ ⊥AD ． ………………7分 ∵ PQ ∩BQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． …8分 ∵ AD ⊂平面PAD ，
∴平面PQB ⊥平面PAD ． ……9分 (Ⅲ)∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ． (10)
分
(不证明PQ ⊥平面ABCD 直接建系扣1
分) 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC 的法向量为
(0,0,1)n =；
(0,0,0)Q ，P ，
B ，(1
C -．
设
(,,)M x y z ，
则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---，
∵PM tMC =，
∴ (1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪-=-⎩），
∴ 11t x t y z t
⎧=-⎪+⎪
⎪=⎨⎪
⎪=⎪
+⎩
在平面MBQ
中，QB =
，(,,)111t QM t t t
=-
+++， ∴ 平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =． ………12分 ∵二面角M －BQ －C 为30°，
cos302
3n m n m
︒
⋅==
=
+， ∴ 3t =． ……14分。