2021高考数学考点专项突破函数与方程含解析

函数与方程
一、单选题
1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312x
f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()1,2
【答案】C
【解析】3
1
1(1)(1)()
302
f --=--=-<，301
(0)0()102
f =-=-<，
1321111()()()02228f =-=<，3
1111(1)1()10222f =-=-=>，
321115
(2)2()80222
f =-=-=>，由
()1102f f ⎛⎫
⋅< ⎪⎝⎭
. 故选：C
2、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上
⎩⎨⎧<≤-<≤-=4
3,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】：C
【解析】：因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.
3、（2019年北京通州高三月考） 已知函数()2222,2
{
log ,2
x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2
054f x m m ≤-
成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：1
14
m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 本题选择B 选项.
4、（北京市人大附中2019届高三高考信息卷）已知函数2()log f x x =，()2g x x a =+，若存在
121,,22x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是（ ）
A ．[5,0]-
B ．(,5][0,)-∞-+∞
C ．(5,0)-
D ．(,5)(0,)-∞-⋃+∞
【答案】A
【解析】当
12≤x ≤2时，log 21
2
≤f （x ）≤log 22，即﹣1≤f （x ）≤1，则f （x ）的值域为[﹣1，1]， 当12≤x ≤2时，21
2
⨯+a ≤g （x ）≤4+a ，即1+a ≤g （x ）≤4+a ，则g （x ）的值域为[1+a ，4+a ]， 若存在12122x x ，，⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得f （x 1）＝g （x 2），
则[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅， 若[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]＝∅， 则1+a ＞1或4+a ＜﹣1， 得a ＞0或a ＜﹣5，
则当[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a ≤0， 即实数a 的取值范围是[﹣5，0]， 故选A ．
5、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式最有可能是（ ）
A ．()31
31
-=+x x f x
B ．()31
31
x x f x +=-
C ．()1313x
x
f x -=+ D ．()1313
x
x
f x +=- 【答案】A 【解析】
选项B 、D 的函数定义域为{}
0x x ≠，和图象不匹配，错误；
选项C 函数()132
11313x x x
f x -==-+++为减函数，和图象不匹配，错误； 选项A 函数()312
13131
x x x
f x -==-++的定义域为R ，且为增函数，正确. 故选：A
6、（2020年高考浙江）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则（ ） A ．a <0 B ．a >0
C ．b <0
D ．b >0
【答案】C
【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()
f x 零点。

为
123,,2x a x b x a b ===+
当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；
当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C
7、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,
1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩
，若方程()2f x x m =-+有且只有两
个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）
的
A ．(),4-∞
B ．(],4-∞
C ．()2,4-
D ．(]
2,4- 【答案】A
【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,
平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m < 故选：A
8、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1
()(2),1
x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一
个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞
C ．(,1)-∞
D ．(,1]-∞
【答案】B
【解析】1x ≥时，()ln 1f x x ==，x e =，所以函数()1y f x =-在1x ≥时有一个零点，从而在1x <时无零点，即()1f x =无解．
而当1x <时，21x ->，()(2)f x f x k =-+ln(2)x k =-+，它是减函数，值域为(,)k +∞， 要使()1f x =无解．则1k ．
故选：B.
9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数(
)()2,
22,2,
x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[
)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为（ ）
A ．2
3-
B ．12
-
C ．34
-
D ．1-
【解析】函数()()()F x f x g x =-的零点为函数()y f x =与()y g x =图象的交点，在同一直角坐标下作出函数()y f x =与()y g x =的图象，如图所示，
当函数()y g x =的图象经过点（2，0）时满足条件，此时20
102
k -==-- ，当函数()y g x =的图象经过点（4，0）时满足条件，此时201042
k -=
=-- ，当函数()y g x =的图象与2
211(0,0)x y x y -+=>>（）相
1= ，解得34k =-， 综上所述，1k =-或12k =-或34k =-．
10、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知函数()f x 满足：对任意的实数x ，y ，都有
()()()4f x y f x f y xy +=++成立，且()()2264f f -⋅≥，则23f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
89
B ．
169
C ．
409
D ．
163
【答案】A
【解析】令0,(0)2(0),(0)0x y f f f ===∴=， 令2,2,(0)0(2)(2)16x y f f f =-===-+-，
()()4(2)(2)1226,(2)0,(2)06,f f f f f f ∴-+=>∴-⋅≥->，
(2)(2)(2)(2)64f f f f ∴-+≥-⋅≤，
(2)(2)64,(2)(2)8f f f f ∴-⋅=-==，
422216()()2()33339
f f f =+=+， 242432248
(2)()()()3()83333939f f f f f =+=++=+=，
28()39
f ∴=
.
12、（2020届山东省德州市高三上期末）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，
且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ） A ．()()201920200f f +-=
B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数
C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点
D ．函数()f x 的值域为[]1,1-
【答案】A 【解析】
函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=，
当0x ≥时，
()()()21f x f x f x +=-+=，
()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；
当0x ≥时，
()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449
log 555f f ⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，
若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，
当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，
()()()20,1f x f x n =-∈，
当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，
当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[
)0,+∞上的值域为()1,1-，
由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；
如下图所示：
由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.
13、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()()2
2
1,0
log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的
解12341234,,,,x x x x x x x x <<<且，则()3122
34
1
x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]
1,1- B ．[]1,1-
C ．[
)1,1- D ．()1,1-
【答案】A
【解析】先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭
，，
因此()31232
343112x x x x x x x ⋅++
=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数， 从而()(]3122
34
1
1,1x x x x x ⋅++
∈-⋅，选A.
14、（2020年高考天津）已知函数3,0,(),0.
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2
()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，
则k 的取值范围是（ ） A ．1(,)(22,)2
-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2
-∞-
C ．(,0)(0,22)-∞
D ．(,0)
(22,)-∞+∞
【答案】D
【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()
|2|||
f x kx x -=
恰有3个实根即可，令()h x =
()||f x x ，即|2|y kx =-与()
()||
f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0
()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩
， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()
()||
f x h x x =
有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()
()||
f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y
x 相切时，联立方程得220x kx -+=，
令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.
故选：D ．
15、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数,若有且只有两个整数
()()()ln 10f x x a x a a =+-+>
使得
,且,则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
【解析】，， 当时，函数单调递增，不成立； 当时，函数在上单调递增，在上单调递增；
有且只有两个整数使得,且，故且 即； 故选：.
16、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0
(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩
，若
函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >> B ．1,0a b ><
C ．1,0a b <>
D ．1,0a b <<
【答案】B
【解析】令(),0
()()(1),0
x x a e x g x f x ax a x x ⎧+≤=-=⎨->⎩，则条件等价为方程()g x b =有3个实数根．
当0x ≤时，()(1)x
g x e x a '=++．
对A 选项分析：当1a >，0b >时，()g x 在(,(1))a -∞-+↓，((1),0)a -+↑，(0,)+∞↓，()g x 图象如 图所示：
12,x x ()10f x >()20f x >a 3ln 30,
2+⎛⎫
⎪⎝⎭
()0,2ln 2+3ln 3,2ln 22+⎡⎫
+⎪⎢
⎣⎭
2ln 243ln 3,32++⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
()()()ln 10f x x a x a a =+-+>()()1
'1f x a x
=+-()()1ln111f a a =+-+=1a ≤1a >10,
1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,1a ⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭
12,x x ()10f x >()20f x >()20f >()30f ≤ln 2220,ln 22a a a +-+>∴<+ln 33
ln 3330,2
a a a ++-+≤∴≥
C
此时方程()g x b =最多只有1个实数根，所以A 选项错误．
对B 选项分析：当1a >，0b <时，()g x 在(,(1))a -∞-+↓，((1),0)a -+↑，(0,)+∞↓，()g x 图象如图所示：
故方程()g x b =可能会出现3个实数根，所以B 选项正确．
对C 选项分析：当1a <，0b >时，()g x 在(0,)+∞↑，()g x 图象如图所示：
此时方程()g x b =最多只有2个实数根，所以C 选项错误．
对D 选项分析：当1a <，0b <时，()g x 在(0,)+∞↑，()g x 图象如图所示：
此时方程()g x b =最多只有2个实数根，所以D 选项错误． 故选：B . 二、多选题
17、（2021年徐州市期末）已知函数22,(,0)(),(0,1)43,[1,)x x f x lnx x x x x -⎧∈-∞⎪
=∈⎨⎪-+-∈+∞⎩，若函数()()g x f x m =-恰有2个零点，
则实数m 可以是( ) A ．1- B ．0
C ．1
D ．2
【答案】ABC
【解析】：画出函数()f x 的图象，[1x ∈，)+∞时，2()(2)1f x x =--+．
若函数()()g x f x m =-恰有2个零点，则实数1m =，或0m ．因此m 可以为1-，0，1． 故选：ABC ．
18、（2021年金陵中学开学调研）已知函数23,0()1,0
x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩方程|()1|2()f x m m R -=-∈，则下列判断
正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象关于直线3
2
x =
对称 B ．函数()f x 在区间(3,)+∞上单调递增 C ．当(1,2)m ∈时，方程有2个不同的实数根 D ．当(1,0)m ∈-时，方程有3个不同的实数根 【答案】BC
【解析】：函数()f x 的大致图象如图所示：
显然函数()f x 的图象不关于直线3
2
x =
对称，故选项A 错误， 有图象可知函数()f x 在区间(3,)+∞上单调递增，故选项B 正确， 函数|()1|y f x =-的大致图象如图所示：
当(1.2)m ∈时，021m <-<，此时函数2y m =-与函数|()1|y f x =-的图象有2个交点，∴方程|()1|2f x m -=-有2个不同的实数根，故选项C 正确，
当(1,0)m ∈-时，223m <-<，此时函数2y m =-与函数|()1|y f x =-的图象有4个交点，∴方程|()1|2f x m -=-有4个不同的实数根，故选项D 错误，
故选：BC ．
19、.(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只
有一个零点，则可能取的值有（ ） A ．2 B ．
C ．0
D ．1
【答案】ABC
【解析】∵只有一个零点， ∴函数与函数有一个交点，
作函数函数与函数的图象如下，
()()1,1,
ln 1,1,
x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x x a =-+a 2-()()g x f x x a =-+()y f x =y x a =-()()1
,1,
ln 1,1,
x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩y x a =
-
结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点； 当时，，可得，令
可得，所以函数在时，直线与相切，可得.
综合得：或. 故选：ABC.
20、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数（e 为自然对数的
底），若且有四个零点，则实数m 的取值可以为（ ）
A ．1
B ．e
C ．2e
D ．3e
【答案】CD 【解析】因为，可得，即为偶函数，
由题意可得时，有两个零点， 当时，，
即时，， 由，可得，
由相切，设切点为，
的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为， 由切线经过点，可得， 0a ≤()y f x =y x a =-0a >ln(1)y x =-1
1
y x '
=
-111x =-2x =2x =ln(1)y x =-2a =0a ≤2a =2,0
()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩
()()()F x f x f x ()F x ()
()()F x f x f x ()()F x F x =-()F x 0x >()F x 0x >0x -<()2x
f x e mx m -=-+0x >()22x
x
x
x
F x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+()0F x =20x xe mx m -+=(),21x
y xe y m x ==-()
,t
t
te x y xe =(1)x y x e '=+(1)t t e +(1)()t
t
y te t e x t -=+-1
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
1(1)2t t
te t e t ⎛⎫-=+-
⎪⎝⎭
解得：或（舍去），即有切线的斜率为，故， 故选：CD.
21、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，
，则下列命题正确的是（ ）
A ．当时，
B ．函数有3个零点
C ．的解集为
D ．，都有 【答案】BCD
【解析】（1）当时，，则由题意得，
∵ 函数是奇函数，
∴ ，且时，，A 错；
∴ ， （2）当时，由得，
当时，由得，
∴ 函数有3个零点，B 对； （3）当时，由得，
当时，由得，
∴ 的解集为，C 对； （4）当时，由得，
由得，由得，
1t =1
2
-2e 22,m e m e >∴>()f x 0x <()()1x f x e x =+0x >()()1x
f x e x -=--()f x ()0f x <()(),10,1-∞-⋃12,x x R ∀∈()()122f x f x -<0x >0x -<()()1x
f x e x --=-+()f x ()00f =0x >()()f x f x =--()1x
e
x -=--+()1x e x -=-()()()1,0
0,0
1,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩
0x <()()10x
f x e x =+=1x =-0x >()()10x
f x e
x -=-=1x =()f x 1,0,1-0x <()()10x
f x e x =+<1x <-0x >()()10x
f x e
x -=-<01x <<()0f x <()(),10,1-∞-⋃0x <()()1x
f x e x =+()()'2x f x e x =+()()'20x
f x e
x =+<2x <-()()'20x f x e x =+≥20x -≤<
∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在上有最小值，且，
又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，
∴当时，函数的值域为，
由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为， ∴ 对，都有，D 对； 故选：BCD ．
22、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0
()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩
，以下结论正确的是（ ）
A ．(3)(2019)3f f -+=-
B ．()f x 在区间[]
4,5上是增函数
C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-
- ⎪⎝⎭
D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()6
1
i
i
i x f x =∑的取值范围是()0,6
【答案】BCD
【解析】函数()f x 的图象如图所示：
对A ，(3)963f -=-+=-，(2019)(1)(1)1f f f ==-=，所以(3)(2019)2f f -+=-，故A 错误； 对B ，由图象可知()f x 在区间[]
4,5上是增函数，故B 正确； 对C ，由图象可知11,24k ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝
⎭，直线() 1f x k x =+与函数图象恰有3个交点，故C 正确； 对D ，由图象可得，当函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则
01b <<，所以当0b →时，()61
0i i i x f x =→∑；当1b →时，()61
6i i i x f x =→∑，所以()6
1
i i i x f x =∑的取值范
围是()0,6，故D 正确.
()f x (],2-∞-[)2,0-(),0-∞()22f e --=-()()1x
f x e x =+()0
011e <⋅+=0x <()()10x
f x e
x =+=1x =-(),0-∞0x <()f x )
2
,1e -⎡-⎣()f x R ()
22
1,,1e e --⎤⎡-⋃-⎦⎣
()1,1=-12,x x R ∀∈()()122f x f x -<
故选：BCD.
三、填空题
23、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数2log (3),0
()21,0x
x x f x x -⎧=⎨
->⎩
，若1
(1)2
f a -=
，则实数a =_____ 【答案】2log 3
【解析】函数2log (3),0()21,0
x x x f x x -⎧=⎨->⎩，若1
(1)2f a -=，
当10a -≤即1a ≤时，21
(31)2
log a -+=
，解得41a =>舍去． 当10a ->即1a >时，1
1
212
a --=
，解得2log 31a =>，成立． 故答案为：2log 3．
24、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知()f x 是定义在R 上且周期为
3
2
的周期函数，当30,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，
则实数a 的值__． 【答案】
72
【解析】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02
()1211322,22x x f x x x x ⎧
<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤
⎪⎩
，
且()f x 是定义在R 上且周期为3
2
的周期函数，
函数()log a y f x x =
-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，
∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，
分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =7
2
.
故答案为
7
2
25、（2020届山东师范大学附中高三月考）
已知函数(01)()2(1)x f x x x
⎧<≤⎪
=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有
三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数(01)()2(1)x f x x x
⎧<≤⎪
=⎨>⎪⎩的图象如下图所示，
作出直线l ：y a x =-，平移直线l 至1l 与2l 之间时，方程()f x x a =-+有三个不同的实根，
而由2y x
y x a
⎧=⎪⎨⎪=-+⎩得220x ax -+=，当()2
80a ∆=--=
时，即a =
-舍去）时，得直线1l ， 当直线l ：y a x =-，过点()1,2A 时，得直线2l ，此时3a =，
所以要使方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a
的取值范围是：3a <<，
故答案为：.
26、2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设()()201
x a x f x x x x ⎧-≤⎪
=⎨+⎪⎩
，，＞． （1）当1
2
a =
时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____．
【答案】
1
4
[0
] 【解析】（1）当12a =时，当x ≤0时，f （x ）＝（x 12-）2≥（12
-）21
4=，
当x ＞0时，f （x ）＝x 1x +
≥
=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为
14
， （2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，
若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件． 若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2
， 要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2
≤2，即0≤
a ≤
即实数a 的取值范围是[0
，]
27、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）若函数3
()|2|f x x ax x =-+-，0x >存在零点，则实数a 的取值范围为____ 【答案】[
)2,+∞
【解析】因为函数3
()|2|f x x ax x =-+-，0x >存在零点， 等价于3
|2|0x ax x -+-=，在()0,x ∈+∞上有解，
即3|2|x x a x
+-=在()0,x ∈+∞上有解，
即函数y a =与3|2|
x x y x
+-=在()0,x ∈+∞上有交点，
令()3332
,2
22,02
x x x x x x
g x x x x x x ⎧+-≥⎪+-⎪==⎨-+⎪<<⎪⎩
当2x ≥时，()32
x x g x x
+-=，()2220g x x x '=+>，即()g x 在[)2,+∞上单调递增，所以
()()24g x g ≥=；
当02x <<时，()32x x g x x -+=，()()()22221122x x x g x x x x
-++'=-=， 令()0g x '>，解得12x <<，即()g x 在()1,2上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()12g x g ≥=； 故()g x 在()0,∞+上的值域为[
)2,+∞， 所以[
)2,a ∈+∞ 故答案为：[
)2,+∞
28、（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()22
2,0
1,03x x ax a x f x e ex a x x
⎧++≤⎪
=⎨-+>⎪
⎩，若存在实数k ，
使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】3
,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】由题得函数()y f x =的图象和直线y k =有六个交点.显然有200a a a >-<，.
22
1(1)
(),()3x x e e x f x e a f x x x
-'=-+∴=,（0x >），
所以函数在(0,1)单调递减，在1+∞（，）
单调递增，且2
1(1)03
f a =>
.
由题得2
2
1(,||),(0,),(1,)3
A a a a
B a
C a --，
,,A B C 三点的高度应满足A B C h h h ≥>或B A C h h h ≥>,
所以21|1|3a a a a -≥>
或21
|1|3
a a a a ≥->， 因为200a a a >-<， 所以23a ≤<或3
22
a <≤， 综合得
3
32
a <<. 故答案为：3,32
⎛⎫ ⎪⎝⎭
四、解答题
29、（2019年北京高三月考）设函数()()()2,1
{42, 1.
x a x f x x a x a x -<=--≥
①若1a =，则()f x 的最小值为 ；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．
【解析】①1a =时，()()()2,1
{42, 1.
x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函
数()f x 在3[1,]2
为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当3
2
x =
时，()f x 取得最小值为-1； （2）①若函数()2x
g x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒
且1
12
a ≤<； ②若函数()2x
g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，
当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()
g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围
1
12
a ≤<或2a ≥. 30、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）已知实数0a ≠，设函数()e ax
f x ax =-．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当12
a >时，若对任意的[)1,x ∈-+∞，均有()()212a f x x ≥+，求a 的取值范围． 注：e 2.71828=为自然对数的底数．
【解析】 (1)由()(1)=0ax ax f x a e a a e =-'=⋅-,解得0x =．
①若0a >,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增；
当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．
②若0a <,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增；
当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．
综上所述,()f x 在(,0)-∞内单调递减,在(0,)+∞内单调递增． (2)2()(1)2a f x x ≥+,即2(1)2
ax a e x ≥+． 令0x =,得12a ≥,则122
a <≤． 当1x =-时,不等式2(1)2
ax a e x ≥+显然成立, 当(1,)x ∈-+∞时,两边取对数,即2ln(1)ln
2a ax x ≥++恒成立． 令函数()2ln(1)ln 2
a F x x ax =+-+,即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立． 由22(1)()=011a x F x a x x -+'=-=++,得211x a
=->-． 故当2(1,1)x a
∈--时,()0F x '>,()F x 单调递增； 当2(1+)x a
∈-∞，时,()0F x '<,()F x 单调递减. 因此22()(1)2ln 2ln 2ln 22
a a F x F a a a a ≤-=-++=--． 令函数()2ln 2a g a a =--,其中122
a <≤, 则11()10a g a a a
='-=-=,得1a =, 故当1(,1)2
a ∈时,()0g a '<,()g a 单调递减；当(1,2]a ∈时,()0g a '>,()g a 单调递增． 又1
3()ln 4022
g =-<,(2)0=g , 故当122
a <≤时,()0g a ≤恒成立,因此()0F x ≤恒成立,
即当122
a <≤时,对任意的[1,)x ∈-+∞,均有2()(1)2a f x x ≥+成立． 31、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N *∈的收益函数为()2300020R x x x =- （单位：万元），成本函数()5004000C x x =+（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1）
（3）求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义．
【解析】
（1）由题意知：[]
1,100x ∈且*x ∈N ， 2()()()300020(5004000)P x R x C x x x x =-=--+220x 2500x 4000=-+-，
2()(1)()20(1)2500(1)4000MP x P x P x x x =+-=-+++-
()22202500400048040x x x =---+.
（2）每台医疗器材的平均利润()4000202500P x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭2500≤-，当且仅当x =等号成立.
因为*x ∈N ，当每月生产14台机器时，每台平均约为1934.3万元，每月生产15台时，每台平均约为1933.3万元，故每月生产14台时，每台医疗器材的平均利润最大为1934.3万元.
（3）22
()202500400020(62.5)74125P x x x x =-+-=--+，
由()2480400MP x x =-≥，得62x ≤，此时()P x 随x 增大而增大，
由()2480400MP x x =-≤得62x ≥，此时()P x 随x 增大而减小， 62x ∴=或63时，()P x 取得最大值.
()MP x 反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
32、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数，函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
（3）证明：当时，.
【解析】
（1）解：的定义域为，， 当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增； 当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：设函数，则. 因为，所以，， 则，从而在上单调递减，
所以，即.
（3）证明：当时，.
由（1）知，，所以，
即.
()()2ln 1sin 1f x x x =+++()1ln g x ax b x =--,,0a b ab ∈≠R ()g x 0x ≥()31f x x ≤+1x >-()()2sin 22e x f x x x <++()g x ()0,∞+()a g x x b x
'=-0a >0b <()0g x '>()g x ()0,∞+0a >0b >()0g x '>b x a >()0g x '<0b x a <<()g x 0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
0a <0b >()0g x '<()g x ()0,∞+0a <0b <()0g x '>0b x a <<()0g x '<b x a >()g x 0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
()()()31h x f x x =-+()2cos 31x x h x '=
+-+0x ≥(]20,21
x ∈+[]cos 1,1x ∈-()0h x '≤()h x [)0,+∞()()()()3100h x f x x h =-+≤=()31f x x ≤+1a b ==()1ln g x x x =--()()min 10g x g ==()1ln 0g x x x =--≥1ln x x ≥+
当时，，，
则， 即，
又， 所以，
即.
33、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数．
(1)当时，设函数的最小值为，证明：；
(2)若函数有两个极值点，证明：． 【解析】（1），令，解得，
当时，，当时，，
，， 令，则，
令，解得，
当时，，当时，， ，，
当时，；
（2），， 令，则， 令，解得，
当时，，当时，，
，
1x >-()210x +>()2
sin 1e 0x x +>()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥()()2
2sin sin 22e 1e x x x x x ++>+()()2sin 22e 2ln 1sin 1x x x x x ++>+++()()2sin 22e x f x x x <++()x f x e ax =-0a >()f x ()g a ()1g a ≤()()212h x f x x =-
()1212,x x x x <()()122h x h x +>()()0x f x e a a '=->()0f x '=ln x a =ln x a >()0f x '>ln x a <()0f x '<()()min ln ln f x f a a a a ∴==-()()ln 0g a a a a a ∴=->()()ln 0g x x x x x =->()ln g x x '=-()0g x '=1x =∴()0,1x ∈()0g x '>()1x ∈+∞，()0g x '<()()max 11g x g ∴==()1g x ∴≤∴0a >()1g a ≤()212
x h x e ax x =--()x h x e a x '=--()x
x e a x ϕ=--()1x x e ϕ'=-()0x ϕ'=0x =0x >()0x ϕ'>0x <()0x ϕ'<()()min 01x a ϕϕ∴==-
又函数有两个极值点，则，
，且，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，， 又，，
，
令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递增，， ，，即， ．
()h x 10a -<1a ∴>120x x <<∴()1x x ∈-∞，()h x ()10x x ∈，()h x ∴()0x ∈-∞，
()()1h x h x ≤()2,0x -∈-∞()()21h x h x ∴-≤()()()()22212222x x h x h x h x h x e e x -∴+≥-+=+-()()20x x m x e e x x -=+-≥()12x x m x e x e '=-
-()()n x m x '=()120x x
n x e e '=+-≥()n x ∴[)0,+∞()()()00m x n x n '∴=≥=()m x ∴[)0,+∞()()02m x m ∴≥=20x >()222222x x m x e e x -∴=+->()()222h x h x -+>()()122h x h x ∴+>。