高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第03节 变量间的相关性0014 21

高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节变量间的相关性
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是()
(A)都可以分析出两个变量的关系
(B)都可以用一条直线近似地表示两者的关系
(C)都可以作出散点图
(D)都可以用确定的表达式表示两者的关系
【答案】C
【解析】给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,但不一定能分析出两个变量的关系,更不一定符合线性相关或函数关系,故选C.
2.下面两个变量间的关系不是函数关系的是()
(A)正方体的棱长与体积
(B)角的度数与它的正弦值
(C)单位产量为常数时,土地面积与粮食总产量
(D)日照时间与水稻亩产量
【答案】D
而D项是相关关系.
3.【高考数学复习二轮】根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析存在线性相关关系，求得其回归方程y＝0.85x－85.7，则在样本点(165，57)处的残差为()
A．54.55 B．2.45 C．3.45 D．111.55
【答案】B
【解析】把x ＝165代入回归方程得y ＝0.85×165－85.7＝54.55，所以残差为57－54.55＝2.45. 4. 【高考前30天数学保温训练】对于相关系数r 下列描述正确的是（ ） A ．r ＞0表明两个变量线性相关性很强 B ．r ＜0表明两个变量无关
C ．|r|越接近1，表明两个变量线性相关性越强
D ．r 越小，表明两个变量线性相关性越弱 【答案】C
5.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程=+x 中,回归系数( ) (A)不能小于0 (B)不能大于0 (C)不能等于0 (D)只能小于0 【答案】C
【解析】∵=0时,相关系数r=0,这时不具有线性相关关系,但能大于0也能小于0.
6.【改编自高三十三校第二次联考】已知下列表格所示的数据的回归直线方程为ˆ4y
x a =+，则a 的值为（ ）．
A ．240
B ．246
C ．274
D ．278 【答案】B
【解析】由已知得，2345645x ++++=
=，251254257262266
2625
y ++++==，又因为回归直
线必过样本点中心(4,262) ，则26244a =⨯+，解得246a =,选B.
7.【教学合作高三10月联考】某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：
现已求得上表数据的回归方程^^^y b x a =+中的^
b 的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工90个零件所需要的加工时间约为（ ）
A ．93分钟
B ．94分钟
C ．95分钟
D ．96分钟 【答案】A
8.某商品的销售量y （件）与销售价格x （元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据
(,)(1,2,)i i x y i n =…,，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ10200,y
x =-+则下列结论正确的是（ ） （A ）y 与x 具有正的线性相关关系
（B ）若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则10r =- （C ）当销售价格为10元时，销售量为100件 （D ）当销售价格为10元时，销售量为100件左右 【答案】D
9. 小明同学根据右表记录的产量x （吨）与能耗y （吨标准煤）对应的四组数据，用最小二乘法求出了y
关于x 的线性回归方程a x y
+=7.0ˆ，据此模型预报产量为7万吨时能耗为（ ） A. 5 B. 25.5 C . 5.5 D. 75.5
【答案】B
10.【龙岩市高三上学期期末】已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为^
y ＝－3＋bx ，若
10
10
1
1
17,4,i
i i i x
y ====∑∑则b 的值为( )
A. 2
B. 1
C. －2
D.－1 【答案】A
【解析】依题意知，17 1.710x ==，4
0.410
y ==，而直线3y bx ∧=-+一定经过点(,)x y ，
所以3 1.70.4b ∧-+⨯=，解得2b ∧
=.
11.【江西新余市高三上学期期末质量检测】某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程，
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )
A ．75
B ．62
C ．68
D ．81 【答案】C
12.【高考数学（二轮专题复习）假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的，若10个学生初一(x)和初二(y)数学分数如下：
x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y
76
75
71
70
76
79
65
77
62
72
则初一和初二数学分数间的回归方程是 ( )． A. y ＝1.218 2x －14.192 B. y ＝14.192x ＋1.218 2 C. y ＝1.218 2x ＋14.192 D. y ＝14.192x －1.218 2
【答案】A
二、
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13.【烟台市高三5月适应性训练一】如果在一次试验中，测得(,x y )的四组数值分别是
x
1 2 3 4 y
3
3.8
5.2
6
根据上表可得回归方程ˆˆ1.04y
x a =+，据此模型预报当x 为5时，y 的值为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.04 D ．7.2 【答案】B
14.【高考数学人教版评估检测】在元旦期间,某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11
10
8
6
5
通过分析,发现销售量y 与商品的价格x 具有线性相关关系,则销售量y 关于商品的价格x 的线性回归方程为__________.
【答案】 3.240.x =-+
【解析】
392,i i x y ==10,=8,
=502.5,
代入公式,得= 3.2,=-
所以,=
=40,故线性回归方程为 3.240.x =-+
15.【高考数学全程总复习课时提升】为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y 之间的关系:
时间x 1 2 3 4 5 命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为. 【答案】0.50.53.，
16.【揭阳市高三4月第二次模拟】某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：
x 6
8 10 12
y
2
3
5
6
根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+中的b 的值为0.7，则记忆力为14的同学的判断力约为.
（附：线性回归方程y bx a =+中，a y bx =-，其中x 、y 为样本平均值) 【答案】7.5.
四、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.【宽甸二中高三最后一模】在一段时间内，某种商品价格x （万元）和需求量)(t y 之间的一组数据为： 价
格
x
1.4 1.6 1.8 2
2.2 需求量y
12
10
7
5
3
（1）进行相关性检验；
（2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当价格定为1.9万元，需求量大约是多少？（精确到0.01t ）
参考公式及数据：2
1
2
1
ˆx
n x y
x n y
x b
n i i n
i i
i -⋅-=∑∑==，)
)((2
1
2
2
1
2
1
y n y x n x y
x n y
x r n
i i n
i i n
i i
i --⋅-=
∑∑∑===，61.428.21≈
相关性检验的临界值表： n2 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小概率0.01
1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708
【答案】（1）从而有99%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系（2）x y
5.111.28ˆ-=，当价格定为9.1万元时，需求量大约为t 25.6
【解析】】（1）①作统计假设：x 与y 不具有线性相关关系。

1分 ②由小概率0.01与32=-n 在附表中查得：959.001.0=r 2分
④959.0998.0>=r ，即01.0r r >
从而有99%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，去求回归直线方程是有意义的. 8分
（2）回归系数 5.114
.06
.4ˆ-=-=b
，1.288.15.114.7ˆ=⨯+=a
∴y 对x 的回归直线方程是x y
5.111.28ˆ-= 当9.1=x 时，25.69.15.111.28ˆ=⨯-=y
. 这说明当价格定为9.1万元时，需求量大约为t 25.6. 12分
18.改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村到五年间每年考入大学的人数，为了方便计算，编号为1,编号为2，……，编号为5，数据如下： 年份（x ） 1 2 3 4 5 人数（y ）
3
5
8
11
13
（1）从这5年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于10人的概率.
（2）根据这5年的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程∧
∧
∧
+=a x b y ，并计算第8年的估计值。

参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式1
2
2
1
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y bx x
nx
==-⋅=
=--∑∑
【答案】（1
）
10
7
；（2）21． 19.【山西忻州一中等四校高三上学期第二次联考】某年青教师近五年内所带班级的数学平均成绩统计数据如下：
年份x 年 平均成绩y 分
97
98
103
108
109
（1）利用所给数据，求出平均分与年份之间的回归直线方程ˆy
bx a =+，并判断它们之间是正相关还是负相关。

（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该教师所带班级的数学平均成绩.
(()(
)()
2
1
21
1
2
1
x
n x
y x n y
x x
x
y
y x x
b n
i i
n
i i
i
n
i i
n
i i i
--=
---=
∑∑∑∑====x b y a -=)
【答案】（1）ˆ 3.46734.4y
x =-；（2）平均成绩为113.2分. 【解析】（1）解：2011x =103y = 2分
22222
(2)(6)(1)(5)001526
3.4(2)1012
b --+--+⨯+⨯+⨯=
=-++++ 4分 103 3.420116734.4a =-⨯=- 6分
∵0b >
∴成绩与年份成正相关关系
∴ˆ 3.46734.4y
x =- 8分
（2） 3.46734.4 3.420146734.4113.2y x =-=⨯-= 所以预测该班的数学平均成绩为113.2分 12分
20. 一家商场为了确定营销策略，进行了投入促销费用x 和商场实际销售额y 的试验，得到如下四组数据．
投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际营销额y(万元)
100
200
300
400
(1)在下面的直角坐标系中，画出上述数据的散点图，并据此判断两个变量是否具有较好的线性相关性；
(2)求出x ，y 之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ；
(3)若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？ 【答案】(1)
(2)y ＝70x －30.(3)9万元
【解析】(1)如图所示，从散点图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性．
(2)因为x ＝
23564＋＋＋＝4，y ＝100200300400
4
＋＋＋＝250， 则
411410=+++=，
()()()()()(2150150150215070)0i i x x y y ⨯⨯⨯⨯－－＝－－＋－－＋＋＝，
所以b ＝
＝
700
10
＝70， a y ＝－b 25070430.x ⨯＝－＝－
故所求的回归直线方程为y 7030x ＝－. (3)由题意得7030600x ≥－，即x ≥
60030
70
＋9＝，所以若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用．高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式． 【重点知识梳理】
1.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V ＝13Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V ＝1
3(S 上＋S 下＋
S 上S 下)h
球
S ＝4πR2
V ＝43πR3
【高频考点突破】 题型一 几何体的表面积
例1、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．180
B ．200
C ．220
D ．240
【变式探究】四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是点A ，其三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的表面积为________．
题型二几何体的体积
例2、(1)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F －ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．
【变式探究】
如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.
题型三 球的表面积与体积
例3、已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．
【变式探究】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π
B ．43π
C ．46π
D ．63π
题型四 多面体与球有关的切、接问题
例4、如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.32π B ．3π C.2
3π D ．2π
【变式探究】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π
2，则正方体的棱长为________．
【真题感悟】
1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（） A ．83cm B ．123cm C ．
3233cm D ．403
3cm
2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
123π+ (B)
136π (C) 73π (D) 52
π
3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+
4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )
（A ）1（B ）2 （C ）4（D ）8
5.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
1
11
2
A ．822+
B ．1122+
C ．1422+
D ．15
6.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转
一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
（A ）
223
π（B ）
423
π（）
22π
（）
42π
7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22
8.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为3m .
9.【高考四川，文14】在三棱住ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B1C1的中点，则三棱锥P －A1MN 的体积是______.
10．（·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )
图1-2
A.233
B.47
6 C ．6 D ．7
11．（·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
图1-2
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．（·陕西卷）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
13．（·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π
4 B ．16π C ．9π D.27π
4
14．（·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H.
图1-4
(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．
15．（·天津卷） 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π
2，则正方体的棱长为________．
16．（·新课标全国卷Ⅱ）已知正四棱锥O －ABCD 的体积为3 22，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．
17．（·湖北卷）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
18．（·新课标全国卷Ⅰ）已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．
【押题专练】
1.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )
A.11π
2 B.11π2＋6
C ．11π
D.11π
2＋33
2.已知正三棱锥P －ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A ．4π
B ．12π C.16π3
D.64π3
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．32
B ．18
C ．16
D ．10
4. SC 为球O 的直径，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝π
4，若棱锥A －SBC 的体积为43
3，则球O 的体积为( )
A.4π3
B.32π
3 C ．27π D ．43π
5．已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( ) A. 6 B. 2 C. 3 D.2
6.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为________m2.
7．将边长为a 的正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的体积为________．
8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为________．
9.一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为
3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
10.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．
11．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC
折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC 上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．23-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上
的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.4515-
B.2515
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,
2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．23<a
C ．13<<-a 或2
3>a D ．3-<a 或231<<a 2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-或35-
B ．32-或23-
C ．54-或45-
D ．43-或34
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （ ）
A. 3
B. 2
21 C. 22 D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是。