(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：
根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论:①A1车型销量比B1车型销量多；
②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；
③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；
④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率．
其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
2．观察下列一组数据
12
a=
246
a=+
381012
a=++
414161820
a=+++
…
则20
a从左到右第三个数是（）
A．380B．382C．384D．386
3．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（）
A．第404组B．第405组C．第808组D．第809组
4．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相
等．设由椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状
的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．24
3
a b π B ．243
ab π C ．22a b π
D ．22ab π
5．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()y f x =在
()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间
[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，
其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---=
==---.若令10x =，2π2
x =，3πx =，请依据上述
算法，估算2π
sin 5
的近似值是（ ） A ．
2425
B ．
1725
C ．
1625
D ．
35
6．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则
2019=（ ）
A ．(24,36)
B ．(28,42)
C ．(32,49)
D ．(36,24)
7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
将三角形数1，3， 6，10
记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的
顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225
B ．1275
C ．2017
D ．2018
8．观察下面数阵，
则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545
B ．547
C ．549
D ．551
9．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证
23b ac a -<”索的因应是（ ）
A ．0a b ->
B ．0a c ->
C ．()>0)(a b a c --
D ．()<0)(a b a c --
10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有
=⨯大吕黄钟太簇()2
3⨯大吕黄钟夹钟()2
3⨯太簇黄钟夹钟数列{}n a 中，k a =（ ）
A ．11n k n n a a --+⋅
B ．11n k n n a a --+⋅
C ．111n k k n a a ---⋅
D ．111k n k n a a ---⋅11．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
12．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．无法预测
二、填空题
13．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:
甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；
丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.
已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________. 14．若数列{}n a 是等差数列，则数列()*
1n n m
n a a b m N m
+++
+=
∈也为等差数列，类比
上述性质，相应地，若正项数列{}n c 是等比数列，则数列n d = _________也是等比数列. 15．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记
n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n
n b
⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前2020项和
为________.
16．设,a b 是两个实数，给出下列条件：
①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >. 其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________． 17．对于下列数排成的数阵：
它的第10行所有数的和为 ________
18．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy 平面内，若函数
1,[1,0]()1,(0,1]
x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方
向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.
图一 图二 19．已知111
()1......23f n n
=+
+++,(n ∈+N )经计算得()()35(2),42,822f f f =>>,()()7
163,322
f f >>，由此可推得一般性结论为
______________．
20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式
20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不
等式
20a b
c x x
++>的解集为_____. 三、解答题
21．已知0a b >>，求证： （1）322a b ab a b ++>
++；
（2）1212a a b b +-+>+-+.
22．△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 求证：
113
a b b c a b c
+=++++. 23．已知正三角形ABC 的边长是a ，若O 是ABC △内任意一点，那么O 到三角形三边的距离之和是定值
3
2
a .这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设O 到三边的距离分别是OD 、OE 、OF ，则
111222S a OD a OE a OF =
⋅+⋅+⋅=11
()22
a OD OE OF a h ⋅++=⋅,h 为正三角形ABC 的高
3a ，即3
OD OE OF a ++=.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.
24．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒； ②22sin 15cos 45sin15cos 45︒+︒+︒︒； ③22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒； ④22sin (18)cos 12sin(18)cos12-︒+︒+-︒︒； ⑤22sin (25)cos 5sin(25)cos5-︒+︒+-︒︒.
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
25．用综合法或分析法证明： （1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg
22
a b a b
++≥； （2）610232+>+．
26．下面（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形：
（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；
（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想
,,E F G 之间的数量关系（不要求证明）.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论，分析正误即可． 【详解】
解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：
对于①，A 1车型销量增长率比B 1车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误； 对于②，A 品牌三种车型中增长率最高为14.70%， 所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，②错误； 对于③，B 品牌三款车型中有销量增长率为13.25%， 所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确； 对于④，由题意知A 品牌三种车型总销量环比增长率， 也可能小于B 品牌三种车型总销量环比增长率，④正确； 综上所述，其中正确的结论序号是③④． 故选B ． 【点睛】
本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是基础题．
2．D
解析：D 【分析】
先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第三个数． 【详解】
由题意可知，n a 可表示为n 个连续的偶数相加，从1a 到19a 共有()119191902
+⨯=个偶
数，
所以20a 从左到右第一个数是第191个偶数，第n 个偶数为2n ， 所以第191个偶数为2191382⨯=，20a 从左到右第三个数为386. 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
3．B
解析：B 【分析】
求出2021为第1011个正奇数，再根据题中的规则分析组数的规律可得答案. 【详解】
正奇数数列1,3,5,7,9...的通项公式为21,n a n =- 则2021为第1011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，共20251010⨯=个数，共2022404⨯=组. 故原数列中的2021位于分组序列中第405组 故选：B. 【点睛】
本题考查了与数列有关的推理问题，需要分析数字的总数，再分析组数.属中档题.
4．A
解析：A 【分析】
先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积． 【详解】
椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，
先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积为:
()2221
4
2233
V V V a b a b a b πππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥，
故选：A.
【点睛】
本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要注重方法的类比，属基础题.
5．A
解析：A 【分析】
直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论． 【详解】
解：函数()sin y f x x ==在0x =，π
2
x =
，πx =处的函数值分别为 1(0)0y f ==，2π
()12
y f ==，3(π)0y f ==，
故211212y y k x x π-=
=-，32322y y k x x π-==--，122314
k k k x x π
-==--， 故2222
4
44
()()2f x x x x x x ππ
πππ
=
-
-=-+， 即22
4
4
sin x x x ππ≈-+
，
∴222424224sin
()55525ππ
πππ≈-⨯+⨯=， 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题．
6．C
解析：C 【分析】
由等差数列求和公式及进行简单的合情推理可得：2019为第1010个正奇数，设2019在第n 组中，则有()2
11010n -<，21010n ≥，解得：n =32，又前31组共有961个奇数，则2019为第32组的第1010-961=49个数，得解． 【详解】
由已知有第n 组有2n -1个连续的奇数， 则前n 组共有
()2121=2
n n n +-个连续的奇数，
又2019为第1010个正奇数， 设2019在第n 组中，
则有()2
11010n -<，21010n ≥， 解得：n =32，
又前31组共有961个奇数，
则2019为第32组的第1010-961=49个数， 即2019=（32，49）， 故选：C ． 【点睛】
本题考查归纳推理，解题的关键是根据等差数列求和公式分析出规律，再结合数列的性质求解，属于中等题.
7．A
解析：A 【分析】
通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】
根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12
n a n n +=
由14254556
,,22
b b a a ⨯⨯==
== 394109101011,22
b b a a ⨯⨯==
== …
可得()215512
k k k b --=
所以()
19510510112252
b ⨯⨯⨯-==
故选：A 【点睛】
本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，
8．C
解析：C 【分析】
观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有12m -个数，可求出前m 行共有21m -个数，根据以上特征，即可求解. 【详解】
由题意可得该数阵中第m 行有12m -个数，
所以前m 行共有21m -个数，所以前8行共255个数.
因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行， 从左往右数的第20个数是()127512549+-⨯=. 故选:C. 【点睛】
本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前n 项和，认真审题，注意观察找出规律是解题的关键，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可. 【详解】
由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.
< 只要证2
2
()3a c ac a ---< 即证2220a ac a c -+-> 即证()()()0a a c a c a c -++-> 即证()()0a a c b a c ---> 即证()()0a c a b -->
故求证”索的因应是()()0a c a b -->. 故选：C .
【点睛】
本题主要考查了分析法，属于中档题.
10．C
解析：C 【分析】
根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，
因为1
1n n a a q -=
，所以=q
所以1
1=k k a a -⎛ ⎝
11
11=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭
11
1
1
=n k k n n n
a a ----
⋅=
故选：C. 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.
11．B
解析：B 【分析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选B. 【点睛】
本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.
12．A
解析：A 【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错
误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次．
【详解】
若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名．
因此，第三名是甲，故选A．
【点睛】
本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题．
二、填空题
13．丙【分析】列出表格用√表示已选的用×表示未选的课程逐个将每门课程所选的人确定下来即可得知选击剑的人是谁【详解】在如下图中用√表示该门课程被选择用×表示该门课程未选且每行每列只有一个勾太极拳足球
解析：丙
【分析】
列出表格，用√表示已选的，用×表示未选的课程，逐个将每门课程所选的人确定下来，即可得知选击剑的人是谁．
【详解】
在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，
丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑．故答案为丙．【点睛】
本题考查合情推理，充分利用假设法去进行论证，考查推理论证能力，属于中等题．14．【分析】利用类比推理分析若数列是各项均为正数的等比数列则当时数列也是等比数列【详解】由数列是等差数列则当时数列也是等差数列类比上述性
质若数列是各项均为正数的等比数列则当时数列也是等比数列故答案为【点
【分析】
利用类比推理分析，若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当
n d =时，数列{}n d 也是等比数列．
【详解】
由数列{}n c 是等差数列，则当()*
1n n m
n a a b m N m +++
+
=
∈时，数列{}n
b 也是等差数
列．类比上述性质，若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当
n d
=时，数列{}n d 也是等比数列．
【点睛】
类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
15．【分析】根据数阵求得设前和为即可求得根据裂项求和即可求得答案【详解】数列的通项公式为将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵记为数阵从左至右的列从上到下的行共个数的和设前和为故答案为：【点睛】本题的解题
解析：
1010
2021. 【分析】
根据数阵,求得2
n n b n a =⋅,设n n n
c b
=
,前n 和为n S ,即可求得2020S ,根据裂项求和,即可求得答案. 【详解】
数列{}n a 的通项公式为22n a n =+,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵. 记n b 为数阵从左至右的n 列,从上到下的n 行共2n 个数的和
∴11b a =
2123224b a a a a =++=
31234532329b a a a a a a =++++=
......
2n n b n a =⋅
设n n n
c b
=
,前n 和为n S ()2111111(22)2121n n n n n c b n a n n n n n n ⎛⎫=
==-⋅=- ⎪⋅⋅+++⎝⎭
202022020111111
11+2122020202123
⎛⎫
=++
=-+-+
⋅+
- ⎪⎝⎭
c c c S 202011101020212021
12⎛⎫=-=
⎪⎝⎭S 故答案为：1010
2021
【点睛】
本题的解题关键是掌握裂项相消求数列的前n 和的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
16．③【分析】对于①②④⑤分别用举例的方法进行判断对③用反证法进行证明并判断【详解】若则但故①推不出；若则故②推不出；若则故④推不出；若则故⑤推不出；对于③即则中至少有一个大于1反证法：假设且则与矛盾因
解析：③. 【分析】
对于①②④⑤分别用举例的方法进行判断，对③用反证法进行证明并判断. 【详解】 若12
,23
a b =
=，则1a b +>，但1,1a b <<，故①推不出； 若1a b ==，则2a b +=，故②推不出； 若2,3a b =-=-，则222a b +>，故④推不出； 若2,3a b =-=-，则1ab >，故⑤推不出； 对于③，即2a b +>，则,a b 中至少有一个大于1， 反证法：假设1a ≤且1b ≤， 则2a b +≤与2a b +>矛盾，
因此假设不成立，,a b 中至少有一个大于1. 故答案为：③. 【点睛】
本题考查用反证法、举例判断的方法判断命题是否成立，难度一般.反证法的证明步骤：先假设结论不成立，然后利用假设的结论推导出与题意矛盾的条件，即可完成证明.
17．【分析】由题意得第10行的第一个数的绝对值为第10行的最后一个数的绝对值为再根据奇数为负数偶数为正数得到第10行的各个数由此能求出第10行所有数的和【详解】第1行1个数第2行2个数则第9行9个数故第 解析：505-
【分析】
由题意得第10行的第一个数的绝对值为2
2(19)9(1)462
+⨯+
=，第10行的最后一个数的
绝对值为22(4510)55+=，再根据奇数为负数，偶数为正数，得到第10行的各个数，由此能求出第10行所有数的和． 【详解】
第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数的绝对值为
2
2(19)9(1)462
+⨯+
=， 第10行的最后一个数的绝对值为2
2
(4510)55+=， 且奇数为负数，偶数为正数，
故第10行所有数的和为222222222246474849505152535455-+-+-+-+-
(46474849505152535455)505=-+++++++++=-，
故答案为505-． 【点睛】
本题以数阵为背景，观察数列中项的特点，求数列通项和前n 项和，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意等差数列性质的合理运用．
18．【分析】先利用定积分计算底面面积再用体积公式得到答案【详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【点睛】本题考查了体积的计算意在考查学生解决问题的能力
解析：7
3
【分析】
先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案. 【详解】
[1,0]()1,(0,1]
x f x x x ∈-=-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A
1
3
221
012
17(1)(1)(1)10326A S x dx x x -=+-=+--=-⎰
77
263A V S h ==⨯=
故答案为
73
【点睛】
本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.
19．【解析】分析：根据已知中的等式：我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系归纳推断后即可得到答案详解：观察已知中等式：得f （4）＞2f （16）＞3…则f （2n ）≥（n ∈N*）故答案为：f （2n ）
解析：2
(2)2
n
n f +≥
【解析】
分析：根据已知中的等式：()()()352,42,822f f f =
>>,()()7
163,322
f f >>我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案． 详解：观察已知中等式：
得 ()322
f =
， f （4）＞2，
()582
f >
， f （16）＞3， …， 则f （2n ）≥
2
2
n +（n ∈N *） 故答案为：f （2n ）≥
2
2
n +（n ∈N *） 点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主
解析：114⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
. 【分析】
关于x 的不等式
20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x
代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解. 【详解】
若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a b
c x x
++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1
x
代入得来， 则可得，114x
<< 解得，
1
14
x <<. 故答案为：1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】
(1) 因为0a b >>，所以()()()()2342a b a b a b ++=+++++
>2）利用分析法证明不等式
>
【详解】
（1）因为0a b >>，
所以()()()()2342a b a b a b ++=+++++ >
所以3a b ++>
.
（2>
>
又即证明
2
2
>成立，
即证明()()12a b ++++()()12b a >++++
即证明()()()()1212a b b a ++>++成立， 即证明2222ab a b ab a b +++>+++成立， 即证明a b >成立. 故不等式成立得证. 【点睛】
本题主要考查综合法和分析法证明不等式，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．证明见解析 【分析】
利用分析法，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，结合余弦定理得证. 【详解】 证明：要证113a b b c a b c
+=++++， 即证
113a b b c a b c +=++++也就是1c a a b b c +=++， 只需证c （b ＋c ）＋a （a ＋b ）＝（a ＋b ）（b ＋c ）， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，
又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2accos 60°，
即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立. 于是原等式成立. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．
23．正四面体中任意一点到四个面的距离之和为定值3
，证明见解析 【解析】 【分析】
利用等体积法求解，把正四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等建立等量关系. 【详解】
设正四面体的边长为a ，则正四面体中任意一点到四个面的距离之和为定值3
a ，（即正 面体的高.）
证明：设O 为正四面体ABCD 内任意一点，O 到四个面的距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，正四面体高为h ，各面面积为S ，则有123411111
33333
V S h S h S h S h S h =⋅+⋅+⋅+⋅=⋅， 所以1234h h h h h +++=，
正四面体的边长为a ，所以高3h a ==，
即O 到各面的距离之和为定值3
a . 【点睛】
本题主要考查类比推理，把平面几何结论类比到空间，要抓住类比的核心要点. 24．（Ⅰ）34 ;(Ⅱ) 223sin cos sin cos 664
ππαααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析. 【分析】
（Ⅰ）选 ，直接利用特殊角的三角函数求解即可；（Ⅱ）根据所给等式，根据归纳推理，找到共同规律，可得到恒等式2
2
3
sin cos sin cos 664
ππαααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的余弦公式展开cos 6πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，根据同角三角函数的关系化简即可得结果，化简过程注意避免出现计算错误. 【详解】
(Ⅰ)2
2
2211113sin 30cos 60sin30cos6022224
⎛⎫⎛⎫︒+︒+︒︒=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
（Ⅱ）三角恒等式为：22
3
sin cos sin cos 664
ππαααα⎛⎫⎛⎫++++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22sin cos sin cos 66ππαααα⎛⎫⎛⎫
++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
211
sin sin sin sin 22αααααα⎫⎫=+-+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2222311sin cos cos sin cos sin 442
αααααααα=++-
223
sin cos )4αα=+（ 34
= 【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数、两角和的余弦公式以及归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 25．(1)见证明；(2)见证明 【分析】
（1）利用基本不等式，结合y=lgx 在（0，+∞）上增函数即可证明；
（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止． 【详解】
证明：（1）当a ，b ＞0时，有2
a b
+＞0， ∴lg
2
a b
+ ∴lg 2a b +≥12lg （ab ）=2lga lgb
+． ∴lg
2a b +≥2
lga lgb +；
（2+，
+）2＞（）2，
即，显然成立的， 所以，原不等式成立． 【点睛】
本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题． 26．（1）见解析；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）本题给出平面图形的交点数、边数、区域数，只需数出结果填入表格即
E F G，根据归可；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,
E F G之间的等量关系.
纳推理即可猜想,,
试题
（1）
E F G，
（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,
+-=+-=+-=，可猜想,,
4581,58121,245 1...
E F G之间的数量关系为
+-=.
1
E G F
【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.。