数理统计第四次

1、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X L 是来自总体的简单随机样本。

指出{}()2
12551,max ,15,2,i X X X i X p X X +≤≤+-之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
答：15
21251max
,
,()i i X X X X X ≤≤+-都是统计量，52,X p +不是统计量，因p 是未知参
数。

2、设总体X 服从参数为（N ，p ）的二项分布，其中（N ，p ）为未知参数，12,,,n X X X L 为来自总体X 的一个样本，求（N ，p ）的矩法估计。

3、设12,,,n X X X L 是取自正态总体()2
,N μσ的一个样本，试问()22
1
11n i
i S X X n ==--∑是2
σ的相合估计吗？
4、设连续型总体X 的概率密度为()()2
2,0
,00, 0x
x e x p x x θθθθ-⎧⎪>=>⎨⎪≤⎩
, 12,,,n X X X L 来自总
体X 的一个样本，求未知参数θ的极大似然估计量ˆθ，并讨论ˆθ的无偏性。

5、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。

若已知σ=0.01（厘米），试求总体均值μ的0.9的置信区间。

（0.95 1.65u =）
6、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布()211,N μσ与()
2
22,N μσ，
为比较两台机床的加工精度有无显著差异。

从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，
（()()0.9750.9756,7 5.12,7,6 5.70.F F ==）
7、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列：
假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为0.05，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？
答：以记服药前后血压的差值，则服从，其中均未知，这些资料中
可以得出的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2
待检验的假设为
这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t检验法当
时，接受原假设，反之，拒绝原假设。

依次计算有
由于T的观察值的绝对值。

所以拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显著变化。

1、 解：{}()2
1251,max ,15,i X X X i X X +≤≤-都是统计量，52X p +不是统计量，因p
是未知参数。

2、 解：因为()
()()2
2
2
,1EX Np EX DX EX Np p Np ==+=-+，只需以2
1
1,n i i X X n =∑分
别代2
,EX EX 解方程组得2
2
2
ˆˆ,1n n S X N
p X S X
==--。

3、解：由于
()2
2
1n S σ
- 服从自由度为
n-1的2χ-分布，故
()
()()4
4
2
2
2
2
2,2111ES DS n n n σσσ==⨯-=--， 从而根据车贝晓夫不等式有
(
)
()2
422
2
2
2001n DS P S n σσεεε
→∞
≤-≥≤
=−−−→-，所以()22111n i i S X X n ==--∑是2σ的相合估计。

4解：似然函数为
()()2
2
1
2
1
1
221
1
,ln ln ln ,
2n
i i i n
n
x x i
i
n
n
i
i i i n
i i x
x
x L e
e
L n x θ
θ
θθθθ
θ
θ
=--====∑==
=-+-
∏∑∏
∏()2
12ln 2n
i
i x
d L n d θθθθ==-+∑，令()ln 0d L d θθ
=，得21
ˆ2n
i
i X
n
θ==∑.由于
()22
222
2
21
220011ˆ222222n
x x i
i EX
x x x E EX x e dx e d n
θθθ
θθθθθθ
--∞∞======Γ=∑⎰⎰，
因此θ的极大似然估计量ˆθ是θ的无偏估计量。

5、 解：()2
2
1
0.01, 2.14 2.10 2.11 2.12516
x σ==
+++=L ，置信度0.9，即α=0.1，查正态分布数值表，知()()1/21.650.95u α-Φ=Φ=, 即()
1.6510.90P U α≤=-=,从而1/20.95 1.65u u α-==
1/2 1.650.004α-=
=，所以总体均值μ的0.9的置信区间为
[][]1/21/2, 2.1250.004,2.1250.004 2.121,2.129x x αα--⎡⎤+=-+=⎢
⎥⎣⎦
.
6、解：首先建立假设：
2222
012112:,:H H σσσσ=≠
在n=8，m=7, α=0.05时,
()()
()0.0250.9750.97511
7,60.195,7,6 5.70.6,7 5.12
F F F =
=
== 故拒绝域为{}0.195, 5.70F or F <>, 现由样本求得21s =0.2164，2
2
s =0.2729，从而F=0.793，未落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。

7、、解：以X 记服药后与服药前血压的差值，则X 服从()
2,N μσ，其中2,μσ均未知，这
些资料中可以得出X 的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2 待检验的假设为 01:0,:0H H μμ=≠
这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t 检验法
当
()1/21T t n α-=
≤-时，接受原假设，反之，拒绝原假设。

依次计算有
()()()()
22
2116872 3.1,6 3.12 3.117.655610101x s =
++++==-++-=-L L ，
2.3228t ==，
由于()1/20.97519 2.2622t n t α--==， T 的观察值的绝对值 2.3228 2.2622t =>. 所以
拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显著变化。