特殊三角形(八上第二章)

性质：
AB=AC ∠B=∠C AD⊥BC,BD=DC,∠1=∠2
底角
腰
底角
B
D 底边
C
判定:
定义：两条边相等。(AB=AC) 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 (∠B= ∠C) 等腰三角形是轴对称图形
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定义：
三条边都相等的三角形
A
性质：
AB=AC＝BC ∠B=∠C=∠A=60° 三个三线合一
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AB2 2、如图已知四边形ABCD中，∠A=60°∠B=∠D=90°，BC=3，CD=2，求 的值 解：延长AD、BC交于E ∵ ∠A=60°，∠B=∠D=90° ∵ ∠ C=30° 1 1 _ _ ∴AB= AE， CD= CE，CD=2
A
D E
∴CE=4，又BC=3 ∴BE=7，由勾股定理得 AB2 + BE 2 = 4 AB 2
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1 、满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是：（C ） A、b2=a2-c2 B、 ∠C=∠A-∠B C、∠A：∠B：∠C=3：4：5 D、a:b:c=12:9:15
A 2 、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是：（ ） A、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、斜边和一个锐角对应相等
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3、如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，
这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米。
那么梯足将滑（ C ）
（A）15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米
4、如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁上的某 车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个商店C，使之与 该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为（ A ） （A）875米（B）3125米（C）3500米（D）3275米 C
(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴.
(4)重要线段：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合。(等腰三角形三线合一性质)
2.判定
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
(在同一个三角形中,等角对等边)
3.等边三角形: (1) 三个角都相等的三角形是等边三角形。 (2) 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
• 用代数方法，通过设未知数，列出方程 进行几何的计算与证明，是解决几何题 的一个非常重要的数学方法，方程思想 的应用，可以简捷、清晰地表示出几何 量之间的关系。
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课堂练习
1、满足下列条件的三角形不一定 是等边三角形的是（ D ） （A）在△ABC中，AB=BC=AC （B）在△ABC中，∠A=∠B=60° （C）在△ABC中，AB=BC，∠A=60° （D）在△ABC中，∠A=60°
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1、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°AB=4， BC=3,AD=12，DC=13 ， 求四边形ABCD的面积
解: 连接AC ∵∠B=90°,AB=4,BC=3 ∴AC=5 ∵AD=12,DC=13 AC2 + AD2 = CD2 ∴∠CAD=90°
D
A B C
1 _ 1 S四边形ABCD= _ ×3×4＋ ×5×12=36 2 2
特殊三角形的定义、 性质、判定（重点） 角平分线
等腰 等边 直角
选择题
填空题
证明题
证明题一般解法
等腰三角形
等腰三角形 等边三角形 直角三角形 直角三角形
等边三角形
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易 中 难
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归纳梳理
定义：
有两条边相等的三角形.
A
2 1 顶角
AE CD A C AF CE
B A E
D
C
∴△AEF≌△CDE（SAS） ∴EF=DE 同理可证EF=DF ∴EF=DE=DF ∴△DEF是等边三角形
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小结
• • • • 说明： 证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的等腰 三角形。 • 具体问题中可利用不同的方式进行 思考求解。
（2）证明线段或角相等
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角平分线的性质定理及逆定理
• 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离
相等。
• 逆定理：到角两边距离相等的点在角的平分
线上。
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线段的垂直平分线的性质定理及逆定理
• 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条
线段的两个端点的距离相等
• 逆定理：到一条线段的两个端点的距离相等
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解题技巧 例3. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长 分成2:1两部分，已知三角形底边长为5，求腰长？
Ａ
x 2x
Ｄ
解：如图，令CD＝x，则AD＝x， AB＝2x ∵底边BC＝5
x
∴BC＋CD＝5＋x
AB＋AD＝3x
Ｃ
Ｂ
5
∴(5+x)：3x＝2:1
或3x：(5+x)=2:1
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小结
B D M
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C
E
A
总结
1、等腰三角形的有关概念。 2、等腰三角形的识别。 3、应用等腰三角形的性质定理 和三线合一性质解决有关问题。 4、通过习题，能总结代数法求 几何角的大小、线段长度的方法。
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1。如图，设A城市气象台测得台风中心，在A城正西方向300千 米的B处，正向北偏东600的BF方向移动，距台风中心200千米 的范围内是受台风影响的区域，那么A城是否受到这次台风的 影响？为什么？如果你是气象员，请你算一算。 解：作AD ⊥ BF ∵由已知可得： 0 ∠ FBA=30 ∴ AD=1/2AB=150KM 而 150＜200 所以A城会受到台风 的影响 北
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课堂练习 2、已知一个三角形的三个内角之比为1：1：2，求 这个三角形的三个内角的度数，并说明是什么形 状的三角形。
C
A
B
等腰直角三角形
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3.已知△ABC中，∠ACB=Rt. CD⊥AB, BC=5，CE是斜边AB上的中线，CE=
60 13 12 则AB=________, AC=________,CD=________. 13
• 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。 连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。
证明：连结CM ∵∠C=90°，BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点 ∴CM平分∠BCA （等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） ∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45° ∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB BD CE （在同一个三角形中等角对等边） B MCE 在△BDE和△CEM中 BM CM ∴△BDM≌△CEM（SAS） ∴MD=ME ∴△MDE是等腰三角形
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难点
等腰三角形性质与判定的应用
• （1）计算角的度数 • • ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设 法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知 数的方程或方程组） 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和 定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的 重要应用。
E B 1
M 2
D C
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小结
说明：
本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可 以证明，但过程较复杂，应当多加强等 腰三角形的性质和判定定理的应用。
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解题技巧 例2.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE， 请说明△DEF也是等边三角形的理由.
解：∵△ABC是等边三角形 ∴AC=BC，∠A=∠C ∵CE=BD ∴BC－BD=AC－CE 即∴CD=AE F 在△AEF和△CDE中
13 2
,
13 2
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• 1. 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出 已知和求作并构思整个作图过程…… A
已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h 作法： 1、作PQ⊥MN，垂足为D 2、在DM上截取DA=h B 3、以点A为圆心，以a为半径作弧， 交PQ于点B、C 4、连结AB、AC 则△ABC为所求的三角形。
AB 2 =
2
2
B
49 — 3
C
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解题技巧 例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC 于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。 A 求证：BM=CM。
证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB （在同一个三角形 中等边对等角） ∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90°， ∠2+∠ABC=90° （直角三角形两个锐角互余） ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴BM=CM （在同一个三角形中等角对等边）
B C
判定：
AB=AC＝BC ∠B=∠C=∠A=60°
有一个角是60°的等腰三角形。
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归纳梳理
A
定义：有一个角是直角的三角形 性质：
角的方面：两锐角互余，即∠A+∠B=90° 边的方面：
C
b
D c a
B
①直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。
1 CD AD BD AB 2
②直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B D
C
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典型例题
如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延 长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由.
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例题解析
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例题解析
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在 △GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。 说明 本题易明显得出DG和EG 所在的△DBG和△ECG不全等， 故要构造三角形的全等，本题 的另一种证法是过E作EF∥BD， 交BC的延长线于F，证明 △DBG≌△EFG，同学们不妨 试一试。
的点，在这条线段的垂直平分线上。
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典型例题 选择题：浙江省2009年初中毕业生学业考试(宁波卷)（3分） 等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A、30° B、45° C、60° D、90°
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例题解析
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例题解析
• 解析：等腰直角三角形三内角分别是： 45°，45°，90°。 答案：B
特殊三角形
（八上第二章）
制作人：汪天宝
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0d58b4b8 剑动山河 /read/4/4078/
今天我们用经纬建模立体法+智能学习平台来学习
特殊三角形
分值比例
归纳梳理 典型例题 解题流程 小结 互动练习 总结 学期考试 中考
（难点）
教学目标 线段的垂直平 分线（要点）
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更多典型例题
55 ° 1.在△ABC中,AB=BC, ∠B=70°,那么∠C=______. 2.等腰三角形两边长为4、6， 14或16 。 这个三角形周长为___________ 3.在△ABC中,AC=AB, AD是△ABC的角平 3.5 分线,已知BC=7, ∠B=63°.则BD=______, 90° ∠BAC=______. 54° ∠ADB=______,
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D
A
典型例题
• 填空题：选自源清中学
1、等腰三角形顶角和一个底角之和为100°， 则顶角度数为_____________。
2、Rt△ABC中,∠C=Rt∠，∠A: ∠B=1:2, 则∠A=______. ∠B=______.
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例题解析
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例题解析
• 1.20° • 2.30°，60°
a
h
h a A M P D NFra bibliotekDC
B
C
Q
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2. 如图，线段OD的一个端点O在直线a 上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另 一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形 能画多少个? Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
Ｃ
Ｅ
Ｆ a
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3、如图，D是正△ABC边AC上的中点，E是 BC延长线上一点，且CE=CD，请说明BD=DE 的理由. A
a b c
2 2
2
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归纳梳理
A
两种特殊直角三角形
1.30°直角三角形 30°角所对直角边是斜边的一半 三边之比为1：根号3: 2
b
D c a
C
B
2.等腰直角三角形 又称45°直角三角形 两条直角边相等 三边之比为1: 1：根号2
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重点
1.性质
等腰三角形的性质与判定
(1)边：等腰三角形的两腰相等。 (2)角：等腰三角形的两个底角相等。(在同一个三角形中,等边对等角)
解:∵ △ABC是正三角形 ∴ ∠ABC= ∠ACB=600 （ ） ∵ D是AC边上的中点
1 ∴∠1= ∠ABC=300（ 2
D
B
1
）
2
C
E
∵CE=CD ∴∠2= ∠E（ ） ∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600（ ∴ ∠E=300， ∴ ∠1= ∠E ∴BD=DE（ ）
）
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4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别 在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形.