2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析理

第一节平面向量的概念及线性运算
[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
平行四边形法则
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [常用结论]
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点
的向量，即A 1A 2→
＋A 2A 3→
＋A 3A 4→
＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →
，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量
和为零向量．
2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →
)．
3.OA →＝xOB →＋yOC →
(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1. 4．△ABC 中，PA →＋PB →＋PC →
＝0⇔点P 为△ABC 的重心．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .
( )
(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件． ( ) (4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →
)．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )
A.EF →＝CD →
B.AB →与DE →
共线 C.BD →与CD →
是相反向量
D.AE →＝12
|AC →|
D [选项D 中，A
E →＝12
AC →
，故D 错误．]
3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [由a ＋b ＝0得a ＝－b ，根据向量共线定理知a∥b ，但a∥b a ＋b ＝0，故选A.]
4．(教材改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →
为( )
A.12a ＋1
2b B.12a －12b C ．－12a －12
b
D ．－12a ＋12
b
D [MD →＝12BD →＝12⎝⎛⎭⎫AD →－AB →＝1
2()b －a ＝－12a ＋12b ，故选D.]
5．(教材改编)化简：
(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →
＝________. (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →
＝________.
(1)AB → (2)0 [(1)原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →. (2)原式＝NP →＋PN →
＝0.]
1①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →
，则ABCD 为平行四边形； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a∥b ；
④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
A [①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．
③是错误的，当a∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
④是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．]
2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]
向量定义的关键是方向和长度非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制相等向量的关键是方向相同且长度相等单位向量是长度都是一个单位长度的向量零向量的关键是方向没有限制，长度是
【例1】 (1)在四边形ABCD 中，BC →＝AD →
，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )
A.AF →＝13AC →＋23BD →
B.AF →＝23AC →＋13BD →
C.AF →＝14AC →＋23
BD →
D.AF →＝23AC →＋14
BD →
(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
(1)B (2)1
2 [(1)在四边形ABCD 中，如图所示，因为BC →＝AD →，所以四边形ABCD 为平行
四边形．由已知得DE →＝13EB →，由题意知△DEF ∽△BEA ，则DF →＝13AB →，所以CF →＝23CD →＝2
3⎝⎛⎭⎫
OD →－OC →＝
23×BD →－AC →2＝BD →－AC →3，所以AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋BD →－AC →
3＝23AC →＋13
BD →
，故选B.
(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即
λ1＋λ2＝1
2
.]
(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( )
A.AD →＝－13AB →＋43AC →
B.AD →＝13AB →－43AC →
C.AD →＝43AB →＋13
AC →
D.AD →＝43AB →－13
AC →
(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________；y ＝________.
(1)A (2)12 －1
6 [(1)因为BC →＝3CD →，
所以CD →＝13
BC →
，
所以AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43
AC →
.故选A.
(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →
，所
以x ＝12，y ＝－1
6
.]
【例2】 (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →
. ∴AB →，BD →
共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，
∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，
∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2
－1＝0，∴k ＝±1.
(1)已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( )
A ．A ，
B ，
C 三点共线 B ．A ，B ，
D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线
D ．B ，C ，D 三点共线
(2)(2019·黄山模拟)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )
A ．－4
B ．－1
4
C.14
D ．4
(1)B (2)B [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →
共线，又有公共点
B ，
∴A ，B ，D 三点共线．故选B.
(2)由题意知m ＝k n ，即4a ＋b ＝k (a －λb )．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝4，－k λ＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
k ＝4，λ＝－1
4，故选B.]
1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →
＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →
C.34AB →＋14
AC → D.14AB →＋34
AC → A [由题可得EB →＝EA →＋AB →＝－14(AB →＋AC →
)＋AB →＝34AB →－14
AC →，故选A.]
2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( ) A.BC → B.12AD → C.AD →
D.12
BC → C [如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →
＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)
＝1
2
·2AD →＝AD →.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.
1
2
[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝t ，
1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1
2，t ＝1
2.
]
自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________
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