八年级整式的乘法与因式分解单元培优测试卷

八年级整式的乘法与因式分解单元培优测试卷
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）.
A ．3
B ．-3
C ．5
D ．-5
【答案】A
【解析】
【分析】
观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决．
【详解】
∵m 2-m-1=0，
∴m 2-m=1，
∴m 4-m 3-m+2=m 2 (m 2-m)-m+2=m 2-m+2=1+2=3，
故选A ．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m 2-m 作为一个整体出现，逐次降低m 的次数.
2．()()()()242212121......21n ++++=（ ）
A ．421n -
B ．421n +
C ．441n -
D ．441n + 【答案】A
【解析】
【分析】 先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.
【详解】
()()()()242n 212121......21++++
=（2-1）()()()()
242n 212121......21++++ =24n -1.
故选A.
【点睛】
本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.
3．已知4821-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A ．1、3
B ．3、5
C ．6、8
D ．7、9
【答案】D
【解析】
248－1=(224+1)(224－1)= (224+1)(212+1)(212－1)= (224+1)(212+1)(26+1)(26－1)=
(224+1)(212+1)(26+1)(23+1) (23－1) , 23+1=9, 23－1=7,所以这两个数是7、9.
故选D.
点睛：平方差公式：a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）.
4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a =b =c ，即可解决问题．
【详解】
∵a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）=0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0；
∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣c ）2≥0，∴a ﹣b =0，b ﹣c =0，∴a =b =c ，∴△ABC 为等边三角形． 故选B ．
【点睛】
本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．
5．下列各式中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ）
A ．(21)(12)x x --+
B ．(1)(1)ab ab -+
C ．(2)(2)
x y x y ---
D ．(5)(5)a a -+--
【答案】A
【解析】
【分析】
运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【详解】
A. 中不存在互为相反数的项，
B. C. D 中均存在相同和相反的项，
故选A.
【点睛】
此题考查平方差公式，解题关键在于掌握平方差公式结构特征.
6．边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b +ab 2的值为（ ）
A ．120
B ．60
C ．80
D ．40
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．
【详解】
解：∵边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，
∴a +b ＝6，ab ＝10，
则a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝10×6＝60．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7．如图将4个长、宽分别均为a ，b 的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A ．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2
B ．a 2﹣2ab+b 2=（a ﹣b ）2
C ．4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2
D ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】
∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，
∴（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2=4ab ，即4ab=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2．
故选C ．
8．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为()2a b +，则宽为（ ）
A ．12
B ．1
C ．()12a b +
D ．+a b
【答案】C
【解析】
【分析】
用长方形的面积除以长可得.
【详解】
宽为:()()()()22222a ab ab b
a b a b a b +++÷+=+÷+= ()12
a b + 故选：C
【点睛】
考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.
9．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A ．()()2224x x x +-=-
B ．2222()a ab b a b -+=-
C ．()11am bm m a b +-=+-
D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭
【答案】B
【解析】
【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
【详解】
A ．属于整式的乘法运算，不合题意；
B ．符合因式分解的定义，符合题意；
C ．右边不是乘积的形式，不合题意；
D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．
10．将多项式241x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）
A ．4x
B ．4x -4
C ．4x 4
D ．4x -
【答案】B
【解析】
【分析】
完全平方公式：()2
22=2a b a ab b +++，此题为开放性题目．
【详解】
设这个单项式为Q ，
如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故Q=±4x ；
如果这里首末两项是Q 和1,则乘积项是22422x x =⋅,所以Q=44x ；
如果该式只有24x 项，它也是完全平方式，所以Q=−1；
如果加上单项式44x -，它不是完全平方式
故选B.
【点睛】
此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方式的基本形式.
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
11．（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×________.
【答案】（a-b+x-y ）
【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2运用提取公因式法因式分解（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×（a-b+x-y ）. 故答案为：（a-b+x-y ）.
点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.
12．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22
x y +=__________.
【答案】40
【解析】
【分析】
根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.
【详解】
∵22x y xy 96+=，
∴xy(x+y)=96，
∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，
∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24
当xy(x+y)= 4⨯24时，无解，
当xy(x+y)= 6⨯16时，无解，
当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，
解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，
∴x 2+y 2=22+62=40.
故答案为：40
【点睛】
本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.
13．已知（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，则（a ﹣2017）2的值是 .
【答案】9
【解析】（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，（a ﹣2016）2+（a －2018）2=20，
令t =a －2017，∴（t +1）2+（t －1）2=20,2t 2=18，t 2=9，∴（a ﹣2017）2=9.
故答案为9.
点睛：掌握用换元法解方程的方法.
14．因式分解：3222x x y xy +=﹣
__________． 【答案】()2x x y -
【解析】
【分析】
先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：原式()()2
222x x xy y x x y =-+=-， 故答案为：()2
x x y -
【点睛】
本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
15．若()2
242x ax x ++=-，则a =_____．
【答案】-4
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式得出a 的值．
【详解】
解：∵()2242x ax x ++=-，
∴4a =-
故答案为：4-
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
16．已知16x x +
=，则221x x
+=______ 【答案】34
【解析】 ∵16x x +=，∴221x x +=2
2126236234x x ⎛⎫+-=-=-= ⎪⎝⎭
， 故答案为34.
17．若21x x +=，则433331x x x +++的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【详解】
∵21x x +=，
∴()
43222233313313313()1314x x x x
x x x x x x x +++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
18．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．
【答案】a 2+2ab+b 2=（a+b ）2
【解析】
试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，
所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．
点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
19．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.
【答案】31-．
【解析】
首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可
算出a+3b 的值：
∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．
20．因式分解34x x -= ．
【答案】()()x x 2x 2-+-
【解析】
试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：
()
()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-．。