深圳市南山二外中考数学期末二次函数和几何综合汇编

深圳市南山二外中考数学期末二次函数和几何综合汇编
一、二次函数压轴题
1．探究：已知二次函数y ＝ax 2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)． (1)求该函数的表达式；
(2)如图所示，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ，连接AC ，PA ，PC ．
①求△ACP 的面积S 关于t 的函数关系式；
②求△ACP 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
拓展：在平面直角坐标系中，点M 的坐标为(﹣1，3)，N 的坐标为(3，1)，若抛物线y ＝ax 2﹣2x+3(a ＜0)与线段MN 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．
2．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）交直线AC ：4
43
y x =--于点A ，点C 两点，且
过点()4,0B ，连接AC ，BC .
（1）求此抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q .设点P 的横坐标为m ，试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
3．某数学兴趣小组在探究函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣
12
12
1 2 3 … y
…
6
3
2
2
3
6
…
（2）描点并在图中画出函数的大致图象；
（3）根据函数图象，完成以下问题：
①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有（填写正确的序号）
A．对称轴是直线x＝1；
B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；
D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到．
②结合图象探究发现，当m满足时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解．
③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣
2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．
4．在正方形ABCD中，AB＝4cm，AC为对角线，AC上有一动点P，M是AB边的中点，连接PM、PB，设A、P两点间的距离为xcm，PM＋PB长度为ycm.
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：
x/cm012345
y/cm 6.0 4.8 4.5 6.07.4
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.
（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM＋PB的长度最小值约为______cm.
5．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，x＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）下列关于该函数图像的性质正确的是；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图像关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图像不经过第三象限．
（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图像；
②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图像，直接写出c的取值范围是；
＜[a]≤2，则b的取值范围是．（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图像上，且﹣1
2
6．综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D，交直线AC于点E，连接BE．
（1）求直线AC 的表达式；
（2）在点P 运动过程中，运动时间为何值时，EC ＝ED ？
（3）在点P 运动过程中，△EBP 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；
（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物
线()2
30y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．
（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由； （2）求常数a 与b 的值：
（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状． 9．综合与探究
如图，已知直线y mx n =+与抛物线2y x bx c =++分别相交于A 、B 两点，1,0A ，
()0,3B -，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）．
（1）求抛物线的解析式及直线y mx n =+的解析式； （2）求ABC 的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使ABM 周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标．
（4）如果对称轴上有一动点H ，在平面内是否存在点N ，使A 、B 、H 、N 四点构成矩形？若存在，直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由
10．如图，抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y =kx +n 与y 轴交于点C ，与抛物线y =﹣x 2+bx +c 的另一个交点为D ，已知A (﹣1，0)，D (5，﹣6)，P 点为抛物线y =﹣x 2+bx +c 上一动点(不与A 、D 重合)． （1）直接写出抛物线和直线l 的解析式；
（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，连接PA 、PD ， ①当△PAD 的面积最大时，P 点的坐标是 ； ②当AB 平分∠DAP 时，求线段PA 的长．
（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
二、中考几何压轴题
11．综合与实践——探究特殊三角形中的相关问题 问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转α(090)α︒<<︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，AMC 是等腰三角形； （2）深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．请帮他们证明； （3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角30α=︒时，求ABC 与AFE △重叠的面积； （4）拓展延伸：
在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
12．（1）问题情境：如图1，已知等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，E 是AC 上的一点，且2CE =，过E 作ED BC ⊥于D ，取AE 中点F ，连接BF ，则BF 的长为_______（请直接写出答案） 小明采用如下的做法：
延长AB 到H ，使AB BH =，连接EH ，
B 为AH 中点，F 为AE 的中点，
BF ∴是AEH ∆的中位线……
请你根据小明的思路完成上面填空；
（2）迁移应用：将图1中的CDE ∆绕点C 作顺时针旋转，当CE AC ⊥时，试探究BF 、AC 、CE 的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当A 、C 、D 三点共线时，直接写出线段BF 的长． 13．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ．AE ＜AB ，连接BE 与DG ，请判断线段BE 与线段DG 之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ，AE ＜AB ，AB ＝10，将正方形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，当∠ABE ＝15°，且点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出AE 的长 ；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A 的两个矩形ABCD 和矩形AEFG ，AD ＝413，AB ＝439，AG ＝4，AE ＝43，将矩形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，连接BD ，DE ，点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，连接MN ，当点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出MN 的长
14．爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM 、BN 是△ABC 的中线，AM ⊥BN 于点P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a ，AC=b ，AB=c ．
（特例研究）
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=42时，a=b= ；
（归纳证明）
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论；
（拓展证明）
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相较于点G，AD=35，AB=3，求AF的长．15．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一点，将AD绕点A顺时针旋转α°，得到线段AE，连接BE．
（1）（特例感知）如图1，若α=90，则BD+BE与AB的数量关系是．
（2）（类比探究）如图2，若α=120，试探究BD+BE与AB的数量关系，并证明．
（3）（拓展延伸）如图3，若α=120，AB=AC=4，BD=33
2
，Q为BA延长线上的一点，将QD绕点Q顺时针旋转120°，得到线段QE，DE⊥BC，求AQ的长．
16．在矩形ABCD中，AD
k
AB
（k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重
合），将射线PA绕点P逆时针旋转90°与射线CB交于点E，连接AE．
（1）特例发现：如图1，当k=1时，将点P移动到对角线交点处，可发现点E与点B重
合，则PA
PE
=，∠AEP=；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小
（填“改变”或“不变”）；
（2）类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，请探究∠AEP的大小是否会随着点P的移动而发生变化，并说明理由；
（3）拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，若PC⊥BD，//
AE PC，PC=2，求AP的长．
17．将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝1
a
x．
（概念与理解）
将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：
_____________；C2：____________．
（猜想与证明）
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．
（1）填空：当x=1时，AB
CD
=______；当x=2时，
AB
CD
=_______；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．
（探究与应用）
①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为；
②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
（联想与拓展）
若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D．过点A 作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F．对于x轴上任取一点P，均有△PAE与△PDF面积的比值1:3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是______．
18．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，
DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：
GF
AE
的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，
BC
AB
＝k （k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当k ＝23时，若tan ∠CGP ＝3
4
，GF ＝210，求CP 的长．
19．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重合，连接AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．
（观察猜想）
（1）CM 与BE 的数量关系是________；CM 与BE 的位置关系是________； （探究证明）
（2）如图2所示，把三角板BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由； （拓展延伸）
（3）若旋转角45α=，且2NBE ABE ∠=∠，求BC
BN
的值． 20．综合与实践 动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点
A 与点
B 重合，点
C 与点
D 重合，折痕为MN ．
思考探索
（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．
①点B '在以点E 为圆心，_________的长为半径的圆上；
②B M '=_________；
③DB C '为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．
①ABB '面积的最大值为____________；
②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接,PQ AQP AB E '∠=∠，则2B C PQ '+的最小值为____________．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、二次函数压轴题
1．探究：（1）223y x x =--+；（2）①S =23922
t t =--，②ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315(,)24
-，拓展：2a ≤-. 【分析】
（1）由待定系数法易求解析式；
（2）过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设点P 的坐标为()
2,23t t t --+，由PQC PQA S S S ∆∆=+可得关于t 的二次函数，进而可求最大值.
（3）根据抛物线与MN 的位置关系可知当抛物线经过M 点时，a 取最大值.
【详解】
探究：（1）∵抛物线223y ax x =-+经过点()3,0A -，
∴()()2
03233a =--⨯-+，解得1a =-. ∴抛物线的表达式为223y x x =--+.
（2）①过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .
设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，
将()3,0A -、()0,3C 代入y kx b =+，
303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：13k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的解析式为3y x =+.
∵点P 在抛物线223y x x =--+上，点Q 在直线AC 上，
∴点P 的坐标为()
2,23t t t --+，点Q 的坐标为(),3t t +， ∴()2233P Q PQ y y t t t =-=--+-+ 23t t =--， ∴()
21332PQC PQA S S S t t ∆∆=+=--⋅ 23922t t =--. ②∵23922
S t t =--， ∴当9
323222t =-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，2max 33932722228S ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当32t =-时，2
331523224p y ⎛⎫⎛⎫=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
. [拓展]：抛物线y=ax 2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN 有交点，
当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M 点或下方时，抛物线左边边一定与MN 有交点， 即a+5≤3；
∴2a ≤-；
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a 点的求值范围．
2．A
解析：（1）顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）存在， ()11,3Q -，2Q ⎝⎭
；（3）
14F ⎫⎪⎪⎝⎭或24F ⎫⎪⎪⎝⎭
或()31,4F -. 【分析】
（1）根据一次函数解析式求出A 、C 两点的坐标，把A 、B 、C 三点代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化为顶点式可求得结果.
（2）先求出BC 所在直线的解析式，设出P 、Q 两点的坐标，根据勾股定理求出AC ，根据以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形可分类讨论，分为AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ 三种情况.
（3）分两种情况讨论，一是F 在抛物线上方，过点F 作FH x ⊥轴，可得FH=4，设
211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得2114433n n --=，求出n 代入即可；二是F 在抛物线下方，可得2114-433
--=n n ，求出n 的值即可，最后的结果综合两个结果即可. 【详解】
解：（1）443
y x =-- ∵当0y =时，4403
--=x , ∴3x =-;
∴()30A -,
，()0,4C -; 二次函数过点A 、B ，设()()34y a x x =+-;
∵过点()0,4C -,
∴124a -=-; ∴13
a =; ∴()()1343
y x x =+- 211433
x x =--; ∵2
11493212
y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）存在.
设BC y kx b =+过B 、C ,
440b k b =-⎧⎨+=⎩
;
设解得：14k b =⎧⎨=-⎩
; ∴4BC y x =-; 设21)1,433(P w m m --、(),4Q m m -; 在Rt AOC ∆中，解得5AC =;
①当AQ AC =时; ()()2
22345m m ++--=⎡⎤⎣⎦; 解得：10m =（不合题意舍去），21m =;
∴()11,3Q -;
②当CQ AC =时;
()2
22445m m +---=⎡⎤⎣⎦; 解得：1522m =，2522
m =-（不合题意舍去）; ∴252528,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
; ③当AQ CQ =时;
()()()22
223444m m m m ++--=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦; 解得：2542
m =>（不合题意舍去）; ∴()11,3Q -，252528,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
; （3）当F 在抛物线上方时，//BC EF ，BC EF =时;
过点F 作FH x ⊥轴，FEH ∆与BCOQ ∆全等;
则4FH =;
设211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
; 则2114433
n n --=; 解得；1197n +=2197n -=
1197,42F ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或2197,42F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
; 当F 在抛物线下方时，2114433
n n --=-; 30n =（不合题意舍去），41n =;
∴()31,4F -;
∴1197,42F ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或2197,42F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
或()31,4F -. 【点睛】
本题主要考查了二次函数综合应用，准确分析题目条件，利用了等腰三角形、直角三角形的性质进行求解.
3．B
解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B 、D 、E ；②2＜m ＜3；③n ＝2或6．
【分析】
（1）把x ＝﹣12，0，12
分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y ＝n 处于直线m 或m ′的位置时，由此即可求解．
【详解】
（1）把x ＝﹣12，0，12
分别代入函数表达式得：y ＝94，3，94； 故答案为94，3，94
； （2）描点确定函数图象如下：
（3）①A ．对称轴是直线x ＝0，故错误；
B ．函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正
确；
C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；
D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；
故答案为：B、D、E；
②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；
③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，
点P和图象上的点构成等腰直角三角形，
即n＝2或6．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键．
4．H
解析：（1）5.0；（2）见解析；（3）x＝2时，函数有最小值y＝4.5
【分析】
（1）通过作辅助线，应用三角函数可求得HM+HN的值即为x=2时，y的值；
（2）可在网格图中直接画出函数图象；
（3）由函数图象可知函数的最小值．
【详解】
（1）当点P运动到点H时，AH=3，作HN⊥AB于点N．
∵在正方形ABCD中，AB=4cm，AC为对角线，AC上有一动点P，M是AB边的中点，
∴∠HAN=45°，∴AN=HN=AH•sin45°=3232
=，∴HM22
=+-
HN AN AM
()
HB22
=+-
HN AB AN
()
∴HM +HN =222232323232()(2)()(4)2222
+-++-=136225122-+-≈4.5168.032+≈2.125+2.834≈5.0．
故答案为：5.0；
（2）
（3）根据函数图象可知，当x =2时，函数有最小值y =4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
5．（1）③④；（2）①见解析；②1c >或21c -<-；（3）43b -<-或
2333b <-
【分析】
（1）画出图象，根据函数的性质即可判断．
（2）①根据题意列表、描点、连线即可．
②将2x c +看成是一次函数2y x c =+，此函数与y 轴的交点是c ，因此要与[]x 图像有两个交点，则需要分情况讨论．当1c >时，满足两个交点的要求；当11c -<≤时，与图像没有两个交点；当1c -≥时，可以有两个交点，此种情况要代入221x c x +=-，根据根的判别式求出c 的范围即可．
（3）因为1[]22a -<≤，所以根据分段函数的图像，求解取值在12
-到2之间的自变量的范
围，分情况讨论即可．再根据点(,)a b 在函数3y x =-图象上，则3b a =-，即3a b =+，代入到a 的取值范围中求解即可．
【详解】
解：（1）画出图象，根据图象可知，
①当0x 时，y 随x 的增大而增大，故错误；
②该函数图象关于y 轴不对称，故错误；
③当0x =时，函数有最小值为1-，正确；
④该函数图象不经过第三象限，正确；
故答案为：③④．
（2）①在平面直角坐标系xOy 中画出该函数图象，
②关于x 的方程2[]x c x +=有两个互不相等的实数根，
∴可以看成是[]y x =和2y x c =+有两个交点．
2y x c =+是一次函数，与y 轴的交点为c ，
∴当1c >时，满足两个交点的条件．
若将2y x c =+向下平移与图像有两个交点，则1c -．
∴方程为221x c x +=-，即22(1)0x x c --+=．
∴△44(1)0c =++>，
2c ∴>-，
21c ∴-<-．
故答案为：1c >或21c -<-．
（3）1[]22a -<，
∴当0a <时，1[]2a <，112a <-+，解出10a -<．
当0a 时，1[]22a -<，21122a -<-23a ．
10a ∴-<23a <．
点(,)a b 在函数3y x =-图象上，
3b a ∴=-，
3a b ∴=+，
43b ∴-<-333b <-．
故答案为：43b -<-333b -<-． 【点睛】
此题考查的是分段函数，用数形结合的思想是解此题的关键．
6．A
解析：（1）直线AC 的表达式为y ＝x +4；（2）运动时间为0或（4EC ＝ED ；（3）3(,0)2
P -
【分析】
（1）由抛物线的解析式中x ，y 分别为0，求出A ，C 的坐标，再利用待定系数法确定直线AC 的解析式；
（2）设出运动时间为t 秒，然后用t 表示线段OP ，CE ，AP ，DE 的长度，利用已知列出方程即可求解；
（3）利用等量代换求出△EBP 的周长为AB +BE ，由于AB 为定值，BE 最小时，△EBP 的周长最小，根据垂线段最短，确定点E 的位置，解直角三角形求出OP ，点P 坐标可求．
【详解】
解：（1）∵ 抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于A ，B ，交y 轴于点C ，
∴ 当x ＝0时，y ＝4．
∴ C （0，4）．
当y ＝0时，﹣x 2﹣3x +4＝0，
∴ x 1＝﹣4，x 2＝1，
∴ A （﹣4，0），B （1，0）．
设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴ -404k b b +=⎧⎨=⎩
解得：14
k b =⎧⎨=⎩ ∴ 直线AC 的表达式为y ＝x +4．
（2）设点P 的运动时间为t 秒，
∵点P 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，
∴ OP ＝t ．
∴ P （﹣t ，0）．
∵ A （﹣4，0），C （0，4），
∴ OA ＝OC ＝4．
∴ Rt △AOC 为等腰直角三角形．
∴ ∠CAO ＝∠ACO ＝45°，AC
＝．
∵ DP ⊥x 轴，
在Rt △APE 中，∠CAP ＝45°，
∴ AP ＝PE ＝4﹣t ，AE
AP 4﹣t ）．
∴ EC ＝AC ﹣AE
．
∵ E ，P 的横坐标相同，
∴ E （﹣t ，﹣t +4），D （﹣t ，﹣t 2+3t +4）．
∴ DE ＝（﹣t 2+3t +4）﹣（﹣t +4）＝﹣t 2+4t ．
∵ EC ＝DE ，
∴﹣t 2
+4t ．
解得：t ＝0或t ＝4
∴ 当运动时间为0或（4）秒时，EC ＝ED ．
（3）存在．P 的坐标为（﹣32
，0）． 在Rt △AEP 中，∠OAC ＝45°，
∴ AP ＝EP ．
∴ △AEB 的周长为EP +BP +BE ＝AP +BP +BE ＝AB +BE ．
∵ AB ＝5，
∴ 当BE 最小时，△AEB 的周长最小．
当BE ⊥AC 时，BE 最小．
在Rt △AEB 中，
∵∠AEB ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝5，BE ⊥AC ，
∴ PB ＝12AB ＝52
． ∴ OP ＝PB ﹣OB ＝32
． ∴ P （﹣32
，0）． 【点睛】
本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 7．A
解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为
18)Q ，21722(,)77
Q ． 【分析】
(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；
(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．
【详解】
(1)当0y =，2280x x --=，
解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，
x ＝0时，y ＝﹣8，
∴(0,8)C -；
(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，
把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，
设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），
当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，
解得，1m =2m =
∴Q 8)， 当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5
=（舍去），m 2＝0（舍去）； 当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =
， ∴Q 1722(,)77
-．
综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77
Q -． 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．
8．A
解析：（1）点A 、B 在抛物线上，理由见解析；（2）1a =，2b =；（3）等腰直角三角形
【分析】
（1）BC y ∥轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，算出AC 的解析式，交y 轴于点()0,3，抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求，由此解答即可；
（2）把A 、B 点的坐标代入解析式，由此解答即可；
（3）由平移可得新的解析式，代入()1,4得出D 点的坐标，再判断三角形的形状．
【详解】
（1）∵BC y ∥轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，
∵:3AC y x =+，交y 轴于点()0,3．
且抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求．
∴点A 、B 在抛物线上
（2）代入A 、B 到23y ax bx =++．
1a =，2b =
∴223y x x =++
（3）()2
12y x =++
()()210y x t t =+-> ∴()1,0D t -
代入()1,4到()21y x t =+-，10t =（舍），24t =，
∴()3,0D ∴25AD =，210BD =，25AB =
∴AD AB =，222AD AB BD +=，
∴90BAD ∠=︒．
∴ABD △是等腰直角三角形
【点睛】
本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．
9．A
解析：（1）33y x =-，223y x x =+-；（2）6；（3）存在点M 使ABM 周长最短，其
坐标为()1,2--；（4）存在，10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，()2,1-，()2,2- 【分析】
（1）把A 、B 两点的坐标分别代入抛物线2y x bx c =++和直线y mx n =+中，解之即可； （2）由图可知，12
ABC S AC OB =⋅，所以只需求出AC ，OB 的长即可，因为C 点为抛物线与x 轴的一个交点，令y=0即可求出C 点坐标，根据已知可得A 点坐标，从而得到AC 的长，根据已知得到B 点坐标，可得OB 的长，从而求出ABC 的面积；
（3）由题意知，A 、C 关于对称轴对称，则可知MA MC =，故当B 、M 、C 三点在同一条直线上时MB MC +最小，此时ABM 的周长最小，连接BC 交对称轴于点M ，则M 即为满足条件的点，设直线BC 的解析式为y kx m =+，将B ，C 的坐标代入即可求出该解析式，令x=-1，即可求出点M 的坐标；
（4）在平面内是否存在点N ，使A 、B 、H 、N 四点构成矩形，求N 点坐标时，需分情况讨论，当HB ⊥AB 时，根据互相垂直的两直线的斜率之积为-1，互相平行的两直线的斜率相等求出直线HB ，直线HN ，直线AN 的解析式，根据N 点为直线HN 和直线AN 的交点，联立方程组解之即可；同理可得当HA ⊥AB 时，N 点的坐标；而当AB 为对角线时，可得HA ⊥AB ，从而可求出直线AH 的解析式，设H 点坐标为()1,y -，根据△AHB 为直角三角形，利用勾股定理求出H 点的坐标，然后在利用互相垂直的两直线的斜率之积为-1，互相平行的两直线的斜率相等求出N 点的坐标．
【详解】
解：（1）把A 、B 两点的坐标分别代入2y x bx c =++得103b c c ++=⎧⎨=-⎩
， 解得23
b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =+-．
把A 、B 两点的坐标分别代入y mx n =+得03
m n n +=⎧⎨=-⎩， 解得33m n =⎧⎨=-⎩
， ∴直线y mx n =+的解析式为33y x =-．
（2）由（1）得，抛物线解析式为223y x x =+-，
令0y =得2023x x =+-，
解得11x =，23x =-，
()3,0C ∴-，
∵1,0A ，
∴4AC =，
∵()0,3B -，
∴OB=3， 1143622
ABC S AC OB ∴=⋅=⨯⨯=； （3）()222314y x x x =+-=+-，
∴抛物线的对称轴为1x =-，
A 、C 关于对称轴对称，
MA MC ∴=，
MB MA MB MC ∴+=+，
∴当B 、M 、C 三点在同一条直线上时MB MC +最小，此时ABM 的周长最小 ∴连接BC 交对称轴于点M ，则M 即为满足条件的点，
设直线BC 的解析式为y kx m =+，
直线BC 过点()0,3B -，()3,0C -，
303k m m -+=⎧∴⎨=-⎩，解得13k m =-⎧⎨=-⎩
， ∴直线BC 的解析式3y x =--，
当1x =-时，2y =-，
()1,2M ∴--，
∴存在点M 使ABM 周长最短，其坐标为()1,2--．
（4）存在，
①当HB ⊥AB 时，如图所示
由（1）得直线AB 的解析式为33y x =-，
∵HB ⊥AB ，
∴设直线HB 的解析式为13
y x b =-+，将B(0,-3)代入得 3b =-，
∴直线HB 的解析式为133y x =--， 当x=-1时，y=13-×(-1)-3=83
-， ∴H 点的坐标为81,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∵四边形ABHN 为矩形，
∴HN ∥AB ，AN ∥HB ，
∴设直线HN 的解析式为y=3x+m ，把H 点坐标代入，得3×(-1)+m=83
-， 解得m=13
, ∴直线HN 的解析式为y=3x+13
, ∴设直线AN 的解析式为13y x n =-+，把A 点坐标代入，得103
n -+=， 解得n=13
, ∴设直线AN 的解析式为1133
y x =-+， ∵N 点为直线HN 和直线AN 的交点，
∴1331133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
解得013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
， ∴N 点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
． ②当HA ⊥AB 时，如图
由（1）得直线AB 的解析式为33y x =-，
∵HA ⊥AB ，
∴设直线HA 的解析式为13y x b =-+，将A(1，0)代入得13
-+b=0， 解得b=13
， ∴直线HA 的解析式为1133
y x =-+， 当x=-1时，()1121333
y =-⨯-+=， ∴H 点的坐标为21,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭， ∵四边形ABNH 是矩形，
∴AB ∥NH ，BN ∥AH ，
∴设直线HN 的解析式为y=3x+m ，把H 点坐标代入，得
()2313m =⨯-+， 解得m=113
， ∴设直线HN 的解析式为y=3x+
113， ∴设直线BN 的解析式为13
y x n =-+，把B 点坐标代入，得 n=-3，
∴设直线BN 的解析式为133
y x =--， ∵N 点为直线HN 和直线BN 的交点， ∴1133133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
解得273x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
， ∴N 点坐标为72,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭． ③当AB 为对角线时，如图
设H 点坐标为()1,y -，
∵四边形AHBN 为矩形，
∴△AHB 为直角三角形，∠AHB=90°，
∴AH 2+BH 2=AB 2，
即()()()222
2111313y y --+++--=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得121,2y y =-=-，
∴H 点坐标为(-1,-1)，(-1,-2)，
（a ）当H 点坐标为(-1,-1)时，
设直线AH 的解析式为y=kx+b ，把A ，H 点坐标代入，得
01k b k b +=⎧⎨-+=-⎩
解得121
2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴直线AH 的解析式为1122
y x =
-， ∵AH ∥BN ， ∴设直线BN 的解析式为1
2y x b =+，把B 点坐标代入，得
b=-3，
∴直线BN 的解析式为132
y x =-，
∵AN ⊥BN ，
∴设直线AN 的解析式为y=-2x+m ，把A 点坐标代入，得-2+m=0，
解得m=2，
∴直线AN 的解析式为y=-2x+2，
∵N 点为直线AN 与BN 的交点，
∴22132y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩
解得22x y =⎧⎨=-⎩
， ∴N 点坐标为(2,-2);
（b ）当H 点坐标为(-1,-2)时，
设直线AH 的解析式为y=kx+b ，把A ，H 点坐标代入，得
02
k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线AH 的解析式为y=x-1，
∵AH ∥BN ，
∴设直线BN 的解析式为y=x+n ，把B 点坐标代入，得
n=-3，
∴直线BN 的解析式为y=x-3，
∵AN ⊥BN ，
∴设直线AN 的解析式为y=-x+m ，把A 点坐标代入，得-1+m=0，
解得m=1，
∴直线AN 的解析式为y=-x+1，
∵N 点为直线AN 与BN 的交点，
∴13
y x y x =-+⎧⎨=-⎩ 解得21x y =⎧⎨=-⎩
， ∴N 点坐标为(2,-1)．
综上所述，存在点N ，使A 、B 、H 、N 四点构成矩形，N 点坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 72,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭ ()2,1- ()2,2-．
【点睛】
本题为二次函数的综合运用，涉及待定系数法，轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积等知识．在（2）中求得点C 是解题的关键，在（3）中确定出M 点是解题的关键，在（4）中分情况讨论是解题的关键．
10．A
解析：（1）y =﹣x ﹣1，y =﹣x 2+3x +4；（2）①(2，6)；②PA
；（3）点M 的坐标为：
3
或(2
或(4，﹣5)或(﹣4，3．
【分析】
（1）将点A 、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2）①当△PAD 的面积最大时，P 点到直线AD 的距离就最大．即当直线y=-x+m 与抛物线只有一个交点时满足条件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案； ②过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，证明△PEA 是等腰直角三角形，得出PE=EA ，设P 点坐标为（m ，n ），由题意得，m+1=-m 2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性质可得出答案； （3）分NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】
（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11
k n =-⎧⎨=-⎩， 故直线l 的表达式为：y =﹣x ﹣1，
将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：y =﹣x 2+3x +4；
（2）①当△PAD 的面积最大时，P 点到直线AD 的距离就最大，
所以P 点在与直线AD 平行并且与抛物线相切的直线上，即P 点是这两个图像的唯一交点．
设P 点坐标为(x ，y )，依题意有：234
y x m y x x =-+⎧⎨=-++⎩， ∴x 2-4x +m -4=0
∵直线y =-x +m 与抛物线相切，即只有一个交点，
∴42+4(m -4)=0
∴m =8，
∴x 2-4x +4=0，
∴x 1=x 2=2
∴y =6
由此得P 点坐标为(2，6)
②过P 作PE ⊥x 轴于E 点，
由直线AC 的解析式y =﹣x ﹣1，可得A (-1，0)C (0，-1)，∴OA =OC
∵∠AOC =90°∴∠DAB =45°，
∴当AB 平分∠DAP 时，∠BAP =∠DAB ，则∠BAP =45°，
∴△PEA 是等腰直角三角形，∴PE =EA
设P 点坐标为(m ，n )，依题意有m +1=﹣m 2+3m +4，
∴m 1=3，m 2=-1(舍去)，
∴PE =EA =4，。