北师大版高中数学必修5双基限时练：第三章+不等式(11

双基限时练(二十四)
一、选择题
1．已知x >1，则( ) A ．x ＋1
x －1>3
B ．x ＋1
x －1≥3
C ．x ＋1
x －1
<3
D ．x ＋1
x －1
≤3
解析 x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥3，当且仅当x －1＝1
x －1，即x ＝2
时等号成立．
答案 B
2．下列求最值的过程中正确的是( ) A ．若0<x <π，则y ＝sin x ＋2
sin x ≥2
sin x ·2sin x ＝22，y min ＝2 2
B ．若0<x <π，则y ＝sin x ＋2
sin x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x －2sin x 2＋22≥22，y min ＝2 2 C ．若x >0，则y ＝2＋x ＋4
x ≥2＋2 x ·4x ＝6，
y min ＝6
D ．当0<x <1时，y ＝x (4－x )≤⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋4－x 22
＝4， y max ＝4
解析 A 、B 、D 中等号成立的条件不具备． 答案 C
3．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4
x
B ．y ＝sin x ＋4
sin x (0<x <π)
C ．y ＝e x ＋4e －x
D ．y ＝log 3x ＋log x 81
解析 ∵e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4.
当且仅当e x ＝4e －x ，即e x ＝2时等号成立，故选C. 答案 C
4．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋1
3y 的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4
D ．2 3
解析 由题可知2x
·8y
＝2，即x ＋3y ＝1，又1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2
＋x 3y ＋3y
x ≥2＋2
x 3y ·3y x ＝4.
答案 C
5．已知m >0，n >0，m 、n 的等差中项为12，x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1
n ，则x ＋y 的最小值是( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析 由题意得m ＋n ＝1≥2mn ，∴1
mn ≥4. ∴x ＋y ＝1＋1m ＋1n ＝1＋1
mn ≥5. 答案 B
6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋a y ≥9，对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数
a 的最小值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
解析 由(x ＋y )⎝
⎛⎭
⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax
y ≥1＋a ＋2a ≥9，得a ≥2，∴
a ≥4.
答案 C 二、填空题
7．已知a 、b 、c ∈R ＋，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＋b ＋1c 的最小值是____． 解析 (a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋b ＋1c ＝[(a ＋b )＋c ]·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
1a ＋b ＋1c ≥4. 答案 4
8．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x
＋b 的图像过点(0,1)，则1a ＋1
b 的
最小值是________．
解析 由题意得2a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (2a ＋b )＝3＋2a b ＋b
a ≥3＋22
(当且仅当2a b ＝b
a 即
b ＝2a 时等号成立)．
答案 3＋2 2
9．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值是________．
解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3
x －1＋2，∵x >1，∴y ≥2
＋23(当且仅当x －1＝
3
x －1
，即x ＝1＋3时取等号)． 答案 2＋2 3 三、解答题
10．求下列函数的最大值．
(1)y ＝x (1－2x )⎝ ⎛
⎭⎪⎫0<x <12；
(2)y ＝x 3－x 2()0<x <3. 解 (1)∵0<x <1
2，∴1－2x >0. ∴x (1－2x )≤12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18. 当且仅当2x ＝1－2x 即x ＝1
4时等号成立． 即当x ＝14时y ＝x (1－2x )取得最大值1
8. (2)∵0<x <3，∴x 3－x 2
≤x 2＋3－x 22
＝3
2. 当且仅当x 2＝3－x 2，即x ＝6
2时等号成立． ∴当x ＝62时，函数取得最大值3
2.
11．已知x >0，y >0，且1x ＋9
y ＝1，求x ＋y 的最小值．
解 ∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x
y ≥10＋2
y x ·9x
y ＝16.
当且仅当y x ＝9x
y 即x ＝4，y ＝12时等号成立，∴x ＋y 的最小值为16. 12．已知直角三角形的周长为定值L ，求它的面积的最大值． 解 设直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，则斜边为a 2＋b 2，由题意得a ＋b ＋a 2＋b 2＝L .
∵a 、b 均为正数，∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时等号成立)．
∴L ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab . 即ab ≤L 2＋2，故ab ≤L 2
6＋42
.
又S △ABC ＝12ab ，∴12ab ≤L 2
12＋82＝3－224L 2.
∴当a ＝b 时，S △ABC 取得最大值S max ＝3－224L 2
.
思 维 探 究
13．已知正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3， (1)求a ＋b 的最小值； (2)求ab 的取值范围．
解 (1)∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，
∴ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
， 又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b )2
4，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，∴a ＋b ≥6或a ＋b ≥－2(舍)．∴a ＋b 的最小值为6.
(2)∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ≥2ab ＋3，得ab ≥3或ab ≤－1(舍)
由ab ≥3，得ab ≥9，∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．。