重庆一中09-10学年高二上学期期末考试(数学理)

重庆一中09-10学年
高二上学期期末考试
(数学理)
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2010年重庆一中高2011级期末考试
数 学 试 题 卷(理科) 2010.1
数学试题共3页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题.(共10小题,每小题5分,共50分,每题均有A 、B 、C 、D 四个选项,只有一个选项正确)
1. 若直线20ax y +=平行直线1x y +=，则a =（ ） A.1a =
B. 1a =-
C.2a =
D. 2a =-
2. 若直线a α，直线b α⊂，则直线a 与b 的位置关系是（ ）
A.相交
B.异面
C.平行
D.异面或平行 3. 椭圆2233x y +=的一条准线为（ ）
A.2
x =-
B.2y =-
C.3x =-
D. 3
y =- 4.已知三棱锥的侧棱都相等,那么三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5.若长方体1111ABCD A B C D -的对角线长为2, 底面矩形的长、宽分别为2、1, 则长方体1111ABCD A B C D -的表面积为( )。

A. 1
B. 1
C. 2
D. 2
6. ，则正三棱锥的高为（ ）
A.
3
B. 3
C. 33
7. 若,a b 为不重合直线,,αβ为不重合平面,给出下列四个命题:
①////a b b a αα⊂⎫⇒⎬⎭;②//a b a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭;③////a b a b αβα=⎫⇒⎬⎭;④//a b a b αα⊥⎫
⇒⎬⊥⎭; 其中真命题的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
8. 设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率e ⎤∈⎦，则两条渐近线的夹角θ的取值范围是
A.,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B.,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.2, 33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
9.已知正方体ABCD --1111A B C D 中，M 为AB 中点，棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，且满足条件13PD PM =，则动点P 在底面ABCD 上形成的轨迹是（ ）
A. 抛物线
B.椭圆
C.双曲线
D. 圆
10.在四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为梯形,AB//DC,2AB=3DC,E 为SA 中点,则三棱锥S —BCE 的体积与四棱锥S —ABCD 的体积之比为（ ） A. 3∶10 B. 1∶5 C. 3∶5 D. 2∶5
二.填空题.(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷相应位置上.)
11.已知222460x y ax y +-+-=的圆心在直线210x y ++=上,那么实数a 等于 .
D
A
A
B
C
B
D
C
12.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD 1与CC 1之间的距离是 .
13.如图,正三角形ABC 按中线AD 折叠，使得二面角B AD C --的大小为60，则BAC ∠的余弦值为 .
14.已知双曲线22
16436
x y -
=上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左准线距离是 .
15.已知,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，球面被正方体的侧面1111,BCC B ABB A 截得的两段弧分别为,GF FE （如图所示），则这两段弧的长度之和等于_________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 、AB 、AD 两两互相垂直，BC ∥AD ，且AB=AD=2BC ，E ，F 分别是PB 、PD 的中点。

（1）证明：EF ∥平面ABCD ；
（2）若PA=AB ，求PC 与平面PAB 所成的角.
17.(本小题满分13分）
如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2
2，侧棱长为4，
E、F分别是棱AB，BC的中点，EF与BD相交于
(1)求证：平面EFB1⊥平面BDD1B1；
(2)求点B到平面B1EF的距离.
18.（本题满分13分）
已知过点(2,0)作直线l交椭圆
2
21
4
y
x
+=于点,A B.
(1)若AB的中点C在4(0)
y x x
=≠上，求直线l的方程；
(2)设椭圆中心为O，问是否存在直线l，使得OA OB
⊥若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，说明理由.
S
C
B
A
D
19.（本小题满分12分）
如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，且11BA AC ⊥.
(1)求证：1AC ⊥平面1A BC ； (2)求多面体11B C ABC 的体积；
20. (本小题满分12分）
如图，四棱锥S ABCD -中，平面SCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，
32=AD ，且39==SD SA ，二面角
B AD S --大小为 120. (1) 求AD
C ∠的大小；
(2)求异面直线SA 与BD 所成角； (3)求二面角A SD C --的大小；
21. （本小题满分12分）
已知直线:2l x =-的方向向量为a 及定点(2,0)F ，动点,,M N G 满足
0MN a ⋅=，2MN MF MG +=，()0MG MN MF ⋅-=,其中点N 在直线l 上.
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
姓名 顺序号 考号 — — — — — — — —封 — — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — — —
(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同动点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若αβθ+=为定值(0)θπ<<，试问直线AB 是否恒过定点，若AB 恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB 不恒过定点，请说明理由.
2010年重庆一中高2011级期末考试
数 学 试 题 答 卷(理科) 2010.1
二.填空题.(每题5分,共25分)
题号 11
12
13
14
15
答案
三.解答题.(共75分)
16.(13分)
17.(13分)
18.(13分)
S
C
B
A
D
19.(12分)
20.(12分)
21.(12分)
2010年重庆一中高2011级期末考试(本部)
数学试题参考答案(理科) 2010.1
一．选择题 CDAAD CBBDA 二．填空题： 11. 3 12. 1 13. 78 14. 965 15.
65π
三．解答题：
16.（1）证明：连结BD ，∵在ΔPBD 中，E ，F 分别为PB 、PD 中点，∴EF ∥BD-----4分
又EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD----------7分
（2）解：∵AB ⊥AD ，AP ⊥AD ，AP∩A B=A ，∴AD ⊥平面PAB -------------------9分
AD ∥BC,∴BC ⊥平面PAB
∴∠BPC 是PC 与平面PAD 所成的角-----------11分 设PA=2a ，则AB=2 a ，BC= a, AC=5a ， ∴PB=22PA AB +=22a
在RTΔP AB 中，tan ∠
BPC=
CB PB ==
∴∠
GPC= arctan
4
即PC 与平面PAD 所成的角是
arctan
4
-----------13分
17.证：（1）EF//AC ，EF ⊥BD ，EF ⊥BB 1,可知EF ⊥平面BDD 1B 1，…………3分
又EF ⊂面B 1EF ，111B BDD EFB 面面⊥∴…………7分
（2）可知111B BDD EFB 面面⊥∴，在平面BDD 1B 1中，作BH ⊥B 1G 于为H ，
111EFB BDD B ⊥面面，1
111EFB BDD B B G =面面
∴BH ⊥面B 1EF ，BH 就是点B 到平面B 1EF 的距离…………11分
在11111,4,1,17
BG BB Rt B B B BG BH B G BH B G ⋅∆==⊥⇒=
=
BG 中…………13分 18. 解：(1)设点1122(,),(,)A x y B x y ，中点为00(,)C x y ，则有：
………2分 0000401
14x y x
k k y ⇒+⨯=⇒=-=-………4分
∴直线l 的方程为2y x =-+.........6分，经检验2y x =-+适合题意。

(7)
分
(2) 设点1122(,),(,)A x y B x y ，则由题意可设直线l 的方程为：(2)y k x =-
2
21
1121212122
2221()()4
()()041
4y
x y y y y x x x x y x ⎧+=⎪-+⎪⇒+-+=⎨⎪+=⎪⎩
2222
22(2)(4)444044y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⇒⎨+=⎩21222
1224444
4k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
………9分 222121212120(1)2()40OA OB x x y y k x x k x x k ⊥⇒+=⇒+-++=
12k =±,………12分，经检验1
(2)2y x =±-适合题意………13分
19.(1)证明：1A 在底面ABC 上的射影AC 上
,AD ABC AD BC AC BC ⇒⊥⇒⊥⊥平面，
∴11BC A C CA ⊥平面…3分
111AC AC CA ⊂平面，∴1BC AC ⊥，11BA AC ⊥，1A B
BC B =，∴1AC ⊥平面1A BC ………6分
（2）由（1）可知：1111A C AC ACC A ⊥⇒是棱形；………8分 ∵2AC =点D 为中点，AD BC ⊥，∴1A AC 为正三角形，∴3AD =………10分
∴111111111412214343332A B C ABC A A B C A B C ABC B C ABC V V V V ---=-==⨯⨯=多面体 (12)
分
20.方法1：（1）过点S 作SO CD ⊥与CD 的延长线交于点O ， ∵平面SCD ⊥底面ABCD ，∴SO ⊥平面ABCD ，………1分 设AD 的中点为E ，连结OE,SO, ∵ 39==SD SA ，∴SE ⊥AD,
∴OE ⊥AD, ∴∠SEO 是二面角B AD S --的平面角的补角，为60………3分 ∵32=AD ， 39==SD SA ，SE ⊥AD, ∴SE=6, ∴OE=3,SO=33在Rt OED 中，OE ⊥AD ，OE=3，3∴∠EDO=60，
∴ADC ∠=120………4分
(2)连结OA ，∵,OD AB OD AB =，∴OABD 是平行四边形，∴OA BD , ∴SAO ∠是异面直线SA 与BD 所成的角。

………6分
S
C
B
A
D
O
E
F N
在Rt AOS 中，
33313
sin 39
SO SAO SA ∠=
==
∴SA 与BD 所成的角313
arcsin
13
……8分 （3）∴SO ⊥平面ABCD ，SO ⊂平面SOC 故平面ABCD SOC ⊥,过A 作OD AF ⊥，∴AF ⊥平面SOD ，SD AN ⊥， 连结FN ,∴FN SD ⊥,∴FNA ∠为二面角A SD O --的平面角………10分
而360sin 32== AF
应用等面积：326213921⨯⨯=⨯⨯AN ，1233913
AN ==
∵413
13
123sin =
==
∠AN AF ANF ，故题中二面角为)413arcsin (-π………12分 方法2：（1）同上 （3）建立直角坐标系
平面SDC 法向量为)0,0,1(1=n ，)33,0,0(S ，
)0,32,0(D ，)0,3,
3(A ，设平面SAD 法
向量),,(000z y x n = 0320330
00000=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅z y z y x n SD ， 取20=z ，30=y ，30-=x ∴)2,3,3(-= ∴4
3
|
|||cos 11-=
⋅=
n n θ ∴二面角为)413arcsin (-π 21.解：（I ）由题意知：,MN l ⊥MF MN =，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()2,0F 为焦点，2x =-为准线，所以轨迹方程为
28y x =；………4分
（II ）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠,所
以AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然22
12
12,88
y y x x ==，将y kx b =+与28y x =消去x ，得2880ky y b -+=,由韦达定理知
121288,b
y y y y k k
+=
⋅=
①……6分 （1）当2
πθ=
时，即2
παβ+=
时，tan tan 1αβ⋅=,所以
121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，22
1212064y y y y -=所以1264y y =，由①知：864b
k
=，所以8.b k =因此直线AB 的方程可表示为8y kx k =+，即(8)0k x y +-=所以直线
AB 恒过定点()8,0-………8分 （2）当2
πθ≠
时，由αβθ+=，得
tan tan()θαβ=+=
tan tan 1tan tan αβαβ+-=12128()
64
y y y y +-,………10分
将①式代入上式整理化简可得：8tan 8b k θ=-，所以8
8tan b k θ
=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+
88tan k θ+,即8(8)0tan k x y θ⎛
⎫
+--
= ⎪⎝
⎭
所以直线AB 恒过定点88,
tan θ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
当2
πθ=
时，AB 恒过定点()8,0-，当2
πθ≠
时,.AB 恒过定点
88,tan θ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
.………12分。