2019广西中考数学复习集训(第4讲：分式)含答案

第4讲 分式
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
【易错提示】 分式运算的结果一定要化成最简分式．
1．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．
2．在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式先分解因式再约分．
命题点1 分式有(无)意义、值为零的条件
(1)(2019·南宁)要使分式1
x －1有意义，则字母x 的取值范围是________；
(2)(2019·崇左)若分式x －2
x
的值是0，则x 的值为________．
解决本题的关键是弄清分式有意义、分式的值为0的条件，解决分式的值为0的题目时易忽略分母不为0这个条件．解题时应引起注意．
1．(2019·贺州)分式
2
x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠1 B ．x ＝1 C ．x ≠－1
D ．x ＝－1
2．(2019·南宁)若分式x －2
x ＋1
的值为0，则x 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．－1或2
3．(2019·钦州)当x ＝________时，分式3
x －2无意义．
4．若分式x －6
x 的值为0，则x ＝________.
命题点2 分式的运算
(2019·贵港)已知|a ＋1|＋(b －3)2
＝0，求代数式(1b －1a )÷a 2
－2ab ＋b
2
2ab
的值．
【思路点拨】 利用非负数的性质求出a 与b 的值，将原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，
将a 与b 的值代入计算即可求出代数式的值．
【解答】
分式的运算是中考常见题型，一般的解法有：
(1)分子或分母能分解因式的可先分解因式，再按运算法则化简求值；(2)当括号外的因式与括号内的因式可约分时，可先去括号，再化简求值．注意不要把分式的运算和分式方程变形相混淆，随意将分母去掉．
1．(2019·百色)化简
2x x 2
＋2x －x －6
x 2－4
的结果为( ) A.1x 2
－4
B.1
x 2
＋2x
C.1
x －2
D.
x －6
x －2
2．(2019·钦州)当m ＝2 015时，计算：m 2
m ＋2－4
m ＋2＝________.
3．(2019·柳州)计算：a －1a ＋1
a
.
4．(2019·玉林)先化简，再求值：2x x 2－1－1
x －1
，其中x ＝2－1.
5．(2019·百色)当a ＝2 014时，求a 2
＋2a a －1÷(a ＋a
a －1
)的值．
1．(2019·百色)下列三个分式
12x 2、
5x －14（m －n ）、3
x 的最简公分母是( ) A ．4(m －n)x B ．2(m －n)x 2
C.
1
4x 2
（m －n ）
D ．4(m －n)x 2
2．(2019·金华)要使分式1
x ＋2
有意义，则x 的取值应满足( )
A ．x ＝－2
B ．x<－2
C ．x>－2
D ．x ≠－2
3．(2019·丽水)分式－1
1－x
可变形为( )
A ．－1
x －1
B.11＋x C ．－1
1＋x
D.1x －1
4．计算1x －1
x －y
的结果是( )
A ．－y
x （x －y ）
B.2x ＋y
x （x －y ）
C.
2x －y
x （x －y ）
D.
y
x （x －y ）
5．如果把5x
x ＋y
的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值( )
A ．不变
B ．扩大50倍
C ．扩大10倍
D ．缩小到原来的1
10
6．(2019·凉山)分式
|x|－3
x ＋3
的值为零，则x 的值为( ) A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．任意实数
7．已知两个分式：A ＝4x 2－4，B ＝1x ＋2＋1
2－x ，其中x≠±2，则A 与B 的关系是( )
A ．相等
B ．互为倒数
C ．互为相反数
D ．A 大于B 8．下列计算错误的是( )
A.0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －b
B.x 3y 2
x 2y 3＝x y C.
a －b
b －a
＝－1
D.1c ＋2c ＝3c
9．(2019·河池)计算：m m －1－1
m －1＝________.
10．(2019·崇左)化简：a 2
b ＋ab
2
2a 2b
2＝________.
11．已知分式x －3
x 2－5x ＋a ，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝________.
12．(2019·崇左)化简：(a 2
＋2a a －1)÷a 2
－1
2
.
13．(2019·桂林)先化简，再求值：x 2
－6x ＋9x 2－9÷x －3
2
，其中x ＝2－3.
14．(2019·达州)化简求值：(1＋1a )÷a 2－1a －2a －2
a 2－2a ＋1
，a 取－1、0、1、2中的一个数．
15．(2019·重庆B 卷)先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x 2
＋4x ＋4x ＋1，其中x 是方程x －12－x －2
5
＝0的解．
16．(2019·凉山)先化简，再求值：a －33a 2－6a ÷(a ＋2－5a －2
)，其中a 2
＋3a －1＝0.
17．(2019·广州)已知A ＝x 2
＋2x ＋1x 2
－1－x
x －1
. (1)化简A ；
(2)当x 满足不等式⎩
⎪⎨⎪⎧x －1≥0，
x －3<0，且x 为整数时，求A 的值．
参考答案
考点解读
①字母 ②公因式 ③基本性质 ④同分母 各个击破
例1 (1)x≠1 (2)2
题组训练 1.A 2.C 3.2 4.6
例2 ∵|a＋1|＋(b －3)2
＝0， ∴a ＋1＝0，b －3＝0， 即a ＝－1，b ＝3. 则原式＝a －b ab ÷（a －b ）
2
2ab
＝a －b ab ·2ab
（a －b ）2
＝2
a －b
＝2
－1－3
＝－1
2
.
题组训练 1.C 2.2 013 3.原式＝a －1＋1
a
＝1. 4.原式＝
2x （x ＋1）（x －1）－x ＋1
（x ＋1）（x －1）
＝x －1
（x ＋1）（x －1）
＝1
x ＋1
.
当x ＝2－1时，原式＝
12－1＋1
＝2
2
. 5.原式＝
a （a ＋2）a －1÷a （a －1）＋a
a －1
＝a （a ＋2）a －1·a －1
a 2
＝a ＋2
a
.
当a ＝2 014时，原式＝2 014＋22 014＝1 008
1 007.
整合集训
1.D
2.D
3.D
4.A
5.A
6.A
7.C
8.A
9.1 10.a ＋b
2ab 11.6
12.原式＝a 2
＋2a －a a ·2
a 2－1
＝a 2＋a a ·2
（a ＋1）（a －1）
＝a （a ＋1）a ·2
（a ＋1）（a －1）
＝2
a －1
.
13.原式＝（x －3）2
（x ＋3）（x －3）·2x －3＝2
x ＋3.
∴当x ＝2－3时，原式＝2
2－3＋3＝ 2.
原式＝
a ＋1a ·a （a －1）（a ＋1）－2a －2
（a －1）
2 ＝1a －1－2a －2
（a －1）2
＝1－a
（a －1）2
＝1
1－a
.
∵a 不能取－1，0，1，
∴当a ＝2时，原式＝1
1－2
＝－1.
14.原式＝x 2
－1－3x ＋1·x ＋1
（x ＋2）2
＝（x ＋2）（x －2）
（x ＋2）2
＝x －2
x ＋2.
解方程
x －12－x －25＝0，得x ＝1
3
. 当x ＝13时，原式＝x －2x ＋2＝－5
7
.
15.原式＝a －33a （a －2）÷[（a ＋2）（a －2）a －2－5a －2]
＝a －33a （a －2）÷a 2
－4－5
a －2
＝a －33a （a －2）·a －2
（a ＋3）（a －3）
＝1
3a （a ＋3）
＝1
3（a 2
＋3a ）
. ∵a 2＋3a －1＝0，∴a 2
＋3a ＝1.∴原式＝13.
16.(1)A ＝x 2
＋2x ＋1x 2－1－x
x －1
＝（x ＋1）2
（x －1）（x ＋1）－x
x －1
＝x ＋1x －1－x
x －1
＝1
x －1
.
(2)解不等式⎩
⎪⎨⎪⎧x －1≥0
x －3<0，得1≤x＜3.
又∵x 为整数且x≠1，
因此可得x ＝2，代入可得A ＝1
x －1
＝1.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．把二次函数y ＝（2x ﹣1）2
+3的图象，先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，平移后的二次函数解析式为（ ） A ．y ＝2x 2+4
B ．y ＝4x 2+4x+5
C ．y ＝4x 2﹣4x+5
D ．y ＝4x 2+4x+4
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A. B. C. D.
3．下列计算正确的是（ ） A ．224a a a += B ．()2
326a a =
C ．(
)2
3
5
33a a
a -=-g
D ．623422a a a ÷=
4．一蓄水池有水40m 3,按一定的速度放水，水池里的水量y (m 3)与放水时间t(分)有如下关系：
下列结论中正确的是 A ．y 随t 的增加而增大 B ．放水时间为15分钟时，水池中水量为8m 3
C ．每分钟的放水量是2m 3
D ．y 与t 之间的关系式为y=38-2t
5．已知|a|＝3，b 2
＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a ﹣b 的值为（ ） A ．1或7
B ．1或﹣7
C ．﹣1或﹣7
D ．±1或±7
6．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB ，再把以AB 的中点O 为顶点的平角AOB ∠三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是( )
A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
7．如图，在热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，热气球C 的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）
A ．200米
B ．米
C ．
D ．1001)米
8．下列运算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6
B ．（a 2）3＝a 5
C ．a 6÷a 2＝a 4
D ．（2b 2）3＝8b 5
9．如图，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE 交CD 于点F ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A ．
CF CE
CD BC
= B ．
CE EF
AD AF
= C ．
EF CE
CF AD
= D ．
AF CF
BC DF
= 10．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
11．如图，将直线y=x 向下平移b 个单位长度后得到直线l ，l 与反比例函数2
y x
=（x ＞0）的图像相交于点A ，与x 轴相交于点B ，则22OA OB -的值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，点E 是AB 边的中点，点M 是线段OB 上的一动点，点N 在线段OA 上，且∠MEN ＝90°，则cos ∠MNE 为（ ）
A ．
35
B ．
45
C D ．
5
二、填空题 13．分式方程
3512
x x =++的解为_____．
14．计算：2(=_____．
15．如图，直线a ，b 与直线c ，d 相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4的度数为________．
16．计算20180(1)2)--＝_____．
17．如图，正方形ABCD 中，点,E F 分别在线段,BC CD 上运动，且满足045EAF ∠=，,AE AF 分别与BD 相交于点,M N ，下列说法中：①BE DF EF +=；②点A 到线段EF 的距离一定等于正方形的边长；③若1tan 2BAE ∠=
，则1
tan 3
DAF ∠=；④若2BE =，3DF =，则15AEF S ∆=．其中结论正确的是___________；（将正确的序号填写在横线上）
18．如图，在矩形ABCD 中，过点B 作对角线AC 的垂线，交AD 于点E ，若AB ＝2，BC ＝4，则AE ＝_____．
三、解答题
19．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，经过点O 的直线交AB 于E ，交CD 于F ． 求证：OE ＝OF ．
20．完成下列表格，并回答下列问题，
（1）当锐角α逐渐增大时，sin α的值逐渐 ，cos α的值逐渐 ，tan α的值逐渐 ． （2）sin30°＝cos ，sin ＝cos60°； （3）sin 230°+cos 230°＝ ；
（4）sin 30tan cos 30︒︒
= ；
（5）若sin α＝cos α，则锐角α＝ ．
21．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于24米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°． （1）求AB 的长（结果保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时1.5秒，这辆校车是否超速？
说明理由．≈1.4）
22．在平面直角坐标系中，对于点P （a ，b ），若点P′的坐标为（b
a k
+，ka b +）（其中k 为常数，且k≠0），则称点P′为点P 的“k 关联点”．
（1）点P （﹣3，4）的“2关联点”P′的坐标是_______________;
（2）若a 、b 为正整数，点P 的“k 关联点”P′的坐标为（3，9），请直接．．写出k 的值及点P 的坐标；
（3）如图，点Q 的坐标为（0，2 ），点A 在函数(0)y x x
=-
<的图象上运动，且点A 是点B 的“﹣
关联点”，求线段BQ 的最小值．
23．为减少雾霾对人体的伤害，某企业计划购进一批防霾口罩免费发放给市民使用，现甲、乙两个口罩厂有相同的防霾口罩可供选择，其具体销售方案如下表.
设购买防霾口罩x个，到两家口罩厂购买所需费用分别为y甲(元)，y乙(元)．
（1）该企业发现若从两厂分别购买防霾口罩各2500个共花费9750元，若从两厂分别购买防霾口罩各3000个共花费11600元，请求出m，n的值；
（2）请直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该企业的负责人，你认为到哪家口罩厂购买防霾口罩才合算，为什么？
24．已知二次函数y1＝m（x﹣1）（x+3）（m≠0）的图象经过点
3 (0,)
2
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x取a，b（a≠b）时函数值相等，求x取a+b时的函数值；
（3）若反比例函数y2＝k
x
（k＞0，x＞0）的图象与（1）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A，
点A的横坐标x满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．
25．如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．
（1）如图2，已知抛物线L3：y=2x2-8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物y=a1（x-m）2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x-h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题 13．
12
14．3 15．110° 16．0 17．①②③④ 18．1 三、解答题 19．见解析. 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA ＝OC ，AB ∥CD ，又由∠AOE ＝∠COF ，易证得△OAE ≌△OCF ，则可得OE ＝OF ． 【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD ， ∴∠OAE ＝∠OCF ， ∵在△OAE 和△OCF 中，
AOE COF OA OC
OAE OCF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAE ≌△OCF （ASA ）， ∴OE ＝OF ． 【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．填表见解析；（1）增大，减少，增大．60゜，30゜；（2）1；（3）30°；（4）45°． 【解析】 【分析】
根据特殊角的三角函数值填写即可；
（1）根据锐角三角函数的增减性，同角三角函数的关系填写；
（2）根据两个角互余，则sinα=cosβ，cosα=sinβ填写。

（3）根据同角三角函数的关系解答；
（4）根据同角三角函数的关系解答；
（5）45°角的正弦和余弦相等．
【详解】
解：填表如下：
（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°＝cos 60゜，sin 30゜＝cos60°；
（3）sin230°+cos230°＝1；
（4）sin30
tan30 cos30
︒
︒
︒
=；
（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝45°．
故答案为：增大，减少，增大．60゜，30゜；1；30°；45°．
【点睛】
考查了三角函数，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
21．(1)此校车在AB路段超速，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD和BD的长度，计算结果，即可。

（2）在第一问的基础上，结合时间关系，计算速度，判断，即可。

【详解】
解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，tan30°＝＝，
解得AD＝24．
在 Rt△BDC 中，tan60°＝＝，
解得BD＝8
所以AB ＝AD ﹣BD ＝24﹣8＝16（米）．
（2）汽车从A 到B 用时1.5秒，所以速度为16
÷1.5≈18.1（米/秒），
因为18.1（米/秒）＝65.2千米/时＞45千米/时， 所以此校车在AB 路段超速． 【点睛】
考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等。

22．（1）(-1,-2)； （2）3k =， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ
【解析】 【分析】
（1）根据题中的新定义求出点P （-3，4）的“2关联点”P′的坐标即可； （2）根据题中的新定义求出a 与b 的关系式即可； （3）设点B 的坐标为（m ，n ），从而表示出点A 的坐标（
m+n ），由点
A 在函数(0)y x x
=-
<的图象上可得到m 、
n 之间的关系n=4+m ．然后将BQ 2用m 的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BQ 最小值． 【详解】 （1）∵x=-3+
4
2
=-1，y=2×（-3）+4=-2， ∴P′（-1，-2）；
（2）设P （a ，b ），则P′（b
a k
+
，ka+b ） ∴39
b a k ka b ⎧
+⎪⎨⎪+⎩＝＝， ∴k=3， ∴3a+b=9． ∵a 、b 为正整数 ∴P′（1，6）、（2，3）； （3）设点B 的坐标为（m ，n ）， ∵点A
是点B 关联点”， ∴点A
的坐标为（
m+n ），
∵点A 在函数(0)y x x
=-
<的图象上，
∴（
（
m+n ）
，且＜0．
整理得：（
2=8．
∵
＜0，
∴
∴m．
∴点B的坐标为（m，m）．
过点B作BH⊥OQ，垂足为H，如图所示．
∵点Q的坐标为（0，2），
∴QH2=（m）2=（m）2，BH2=m2．∴BQ2=BH2+QH2
=m2+（m）2
=3m2m+4
=3（2+4 3
∵3＞0，
∴当BQ2最小，即BQ2 =4
3
．
∴．
【点睛】
本题考查了反比例图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识，考查了新定义下的阅读理解能力，有一定的综合性．
23．（1）m的值是1.9，n的值是1.8；（2）y甲＝
2(01000)
1.9100(1000)
x x
x x
≤≤
⎧
⎨
+>
⎩
，y乙＝
2(02000)
1.8400(2000)
x x
x x
≤≤
⎧
⎨
+>
⎩
；
（3）当0≤x≤1000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当1000＜x＜3000时，在甲口罩厂购买防霾口
罩才合算，当x ＝3000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当x ＞3000时，在乙口罩厂购买防霾口罩才合算． 【解析】 【分析】
（1）根据题目中的数据和表格中的数据可以列出关于m 、n 的二元一次方程组，从而可以求得m 、n 的值；（2）根据（1）中的m 、n 的值和题意，可以分别求出y 甲，y 乙与x 之间的函数关系式；（3）设y 甲与y 乙的差为y ，可分段得出y 与x 的关系式，先求出y 甲=y 乙时x 的值，再根据一次函数的性质解答即可. 【详解】
（1）由题意可得，10002(25001000)20002(25002000)9750
10002(30001000)20002(30002000)1160m n m n ⨯+-+⨯+-=⎧⎨
⨯+-+⨯+-=⎩
，
解得， 1.9
1.8m n =⎧⎨=⎩
，即m 的值是1.9，n 的值是1.8；
（2）由题意可得，y 甲与x 之间的函数关系式是：当0≤x≤1000时，y 甲＝2x ，当x ＞1000时，y 甲＝1000×2+ （x ﹣1000）×1.9＝1.9x+100，
y 乙与x 之间的函数关系式是：当0≤x≤2000时，y 乙＝2x ，当x ＞2000 时，y 乙＝2000×2+ （x ﹣2000）×1.8＝1.8x+400，
由上可得，y 甲与x 之间的函数关系式是：y 甲＝2(01000)
1.9100(1000)x x x x ≤≤⎧⎨+>⎩
，
y 乙与x 之间的函数关系式是：y 乙＝2(02000)
1.8400(2000)
x x x x ≤≤⎧⎨+>⎩；
（3）设y 甲与y 乙的差为y ，
当0≤x≤1000时，y=2x-2x=0，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，
当1000＜x≤2000时，y=1.9x+100-2x=-0.1x+100<0，在甲口罩厂购买防霾口罩合算， 当x>2000时，y=1.9x+100-1.8x-400=0.1x-300,
令0.1x-300=0解得，x ＝3000，在两家口罩厂购买防霾口罩一样， ∵0.1>0，
∴y 随x 的增大而增大，
∴2000<x<3000时，y<0，在甲口罩厂购买防霾口罩合算，x>3000时，y>0，在乙口罩厂购买防霾口罩合算． 综上所述：当0≤x≤1000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当1000＜x ＜3000时，在甲口罩厂购买防霾口罩合算，当x ＝3000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当x ＞3000时，在乙口罩厂购买防霾口罩合算． 【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用方程的思想、函数的性质解答． 24．(1) 21322y x x =+-; (2) x 取a+b 时的函数值为3
2
-; (3) k 的取值范围为5＜k ＜18． 【解析】 【分析】
（1）直接利用待定系数法求函数的解析式即可．
（2）首先根据解析式求得对称轴x ＝﹣1，因为当x 取a ，b （a≠b）时函数值相等，则2
a b
+＝﹣1，即可求出a+b 的值；再将x ＝a+b 代入即可求得函数值；
（3）点A 的横坐标x 0满足2＜x 0＜3，可通过x ＝2，x ＝3两个点上抛物线与反比例函数的大小关系即可求出k 的取值范围． 【详解】 （1）将点（0，-
3
2）代入y ＝m （x ﹣1）（x+3），解得m ＝12
． ∴抛物线解析式为213
22
y x x =
+-． （2）由抛物线y 1＝m （x ﹣1）（x+3）（m≠0）可知抛物线与x 轴的交点为（1，0），（﹣3，0）， ∴对称轴为直线x ＝
13
2
-＝﹣1， ∵当x 取a ，b （a≠b）时函数值相等， ∴
2
a b
+＝﹣1， ∴a+b ＝﹣2． ∴y 1＝
12
（﹣2﹣1）（﹣2+3）＝﹣32，
x 取a+b 时的函数值为﹣
32
． （3）当2＜x ＜3时，函数y 1＝12
x 2+x ﹣32，y 1随着x 增大而增大，对y 2＝k
x （k ＞0），y 2随着x 的增大而
减小．
∵A （x 0，y 0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点， ∴当x 0＝2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y 2＞y 1， 即
213
22222k >⨯+-，解得k ＞5． 当x 0＝3时，二次函数数图象在反比例上方得y 1＞y 2， 即
21333223
k
⨯+->，解得k ＜18． 所以k 的取值范围为5＜k ＜18． 【点睛】
该题主要考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，（3）中，通过图示找出与题相关的不等式是突破题目的关键，因此在平常的解题过程中，要注意数形结合思想的合理运用． 25．（1）（4，4）；（2）2≤x≤4；（3）a 1=-a 2，理由如下：见解析 【解析】 【分析】
（1）设x ＝0，求出y 的值，即可得到C 的坐标，把抛物线L 3：y ＝2x 2−8x ＋4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标；
（2）由（1）可知点D 的坐标为（4，4），再由条件以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，可求出L 4的解析式，进而可求出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得：（a 1＋a 2）（m −h ）2
＝0，可得a 1＝−a 2. 【详解】
解：（1）∵抛物线L 3：y=2x 2-8x+4， ∴y=2（x-2）2-4，
∴顶点为（2，4），对称轴为x=2， 设x=0，则y=4， ∴C （0，4），
∴点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为：（4，4）； （2）∵以点D （4，4）为顶点的抛物线L 4过点（2，-4）， 设L 4的解析式2
(4)4y a x =-+， 将点（2，-4）代入L 4可得，a=-2， ∴L 4的解析式为y=-2（x-4）2+4，
L 3与L 4的两个交点分别为（4，4）和（2，-4）
∴L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围是：2≤x≤4时； （3）a 1=-a 2， 理由如下：
∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，
∴可以列出两个方程222
1()()n a m h k k a h m n ⎧=-+⎨=-+⎩
①②， ①+②得：（a 1+a 2）（m-h ）2
=0， ∴a 1=-a 2． 【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得
A. B.
C.
D.
2．下列命题，是真命题的是( ) A ．菱形的对角线相等 B ．若|a|＝|b|，那么a ＝b C ．同位角一定相等 D ．函数y ＝
1
1
x +的自变量的取值范围是x≠﹣1 3．如图，▱ABCD 中，点A 在反比例函数y=(0)k
k x
≠的图像上，点D 在y 轴上，点B 、点C 在x 轴上．若▱ABCD 的面积为10，则k 的值是（ ）
A ．5
B ．5-
C ．10
D ．10-
4．人体中红细胞的直径约为0.0000075m ，用科学记数法表示这个数为（ ） A ．7.5×106
B ．75×10﹣7
C ．7.5×10﹣6
D ．0.75×10﹣5
5．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t＜5
C ．﹣4≤t＜0
D ．t≥﹣4
6．如图，ABC ∆为
O 的内接三角形，1tan 2
ACB ∠=，且2AB =，则O 的半径为（ ）
A B C ．D ．7．如图，4张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，若S 2＝2S 1，则a ，b 满足（ ）
A.a ＝32b
B.a ＝2b
C.a ＝52b
D.a ＝3b
8．如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15º，再前进10m ，再右转15º，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了多少米（ ）
A ．120米
B ．240米
C ．360米
D ．480米
9．如图1，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，点Q 是BC 边的中点，点P 为AB 边上的一个动点，设AP ＝x ，图1中线段PQ 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的面积为( )
A ．
B ．
C ．
D ．12
10．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ＞AB ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，连接CE ，若平行四边形ABCD 的周长为20，则△CDE 的周长是（ ）
A.10
B.11
C.12
D.13
11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝6，将AD 边绕点A 顺时针旋转，使点D 恰好落在BC 边上的点D′处，则阴影部分的扇形面积为( )
A ．9
B ．3π
C ．9π
D ．18
12．下列式子中，计算正确的是（ ）
A ．224x x x +＝
B ．()222a b a b －＝－
C ．()326a a -＝-
D ．3412x x x ⋅=
二、填空题
13．因式分解：a 3－ab 2＝______________．
14．已知点A （a ，b ）为直线23421y x m m =+-+与直线2225y x m m =---- 的交点， 且1b a -=，则m 的值为_______.
15．已知线段AB ＝2，经过点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝
12
AB ；连接DA ，在DA 上截取DE ＝DB ；在AB 上截取AC ＝AE ，则BC ＝_____．
16．如图，反比例函数图象经过点A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，若△OAB 的面积为3，则该反比例函数的解析式是_____．
17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1﹣S 2为_____．
18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 、E 、F 是三边的中点，则△DEF 的周长是_____．
三、解答题
19．一张圆形纸片如图，请你至少设计出两种方法找出它的圆心（不必写作法，但要有作图痕迹）．
20．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于
点E．
（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．
（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是．
（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，如图3，若
1
,
3
AF
AD
= CM＝2，则线
段DG＝．
21．在△ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A、C且与边AB、BC分别交于点D、E，点F是AC上一点，»»
DE AF
=，连接CF、AF、AE．
（1）求证：△ACF≌△BAE；
（2）若AC为⊙O的直径，请填空：
①连接OE、DE，当△ABC的形状为时，四边形OADE为菱形；
②当△ABC的形状为时，四边形AECF为正方形．
22．观察下面的变形规律：
11
=1
122
-
⨯
；
111
=
2323
-
⨯
；
111
=
3434
-
⨯
；…．
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
1
(1)
n n+
＝；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
1
12
⨯
+
1
23
⨯
+
1
34
⨯
+…+
1
20092010
⨯
.
23．先化简再求值：22211221
x x x x x x x ++--÷++-,其中x=()011260-20162π--︒++- 24．世界500强H 公司决定购买某演唱会门票奖励部分优秀员工，演唱会的购票方式有以下两种， 方式一：若单位赞助广告费10万元，则该单位所购门票的价格为每张0.02万元（其中总费用＝广告赞助费+门票费）；
方式二：如图所示，设购买门票x 张，总费用为y 万元
（1）求用购票“方式一”时y 与x 的函数关系式；
（2）若H 、A 两家公司分别釆用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张，且A 公司购买超过100张，两公司共花费27.2万元，求H 、A 两公司各购买门票多少张？
25．先化简，再求值221212121
--⎛⎫-+÷+ ⎪+++⎝⎭m m m m m m ，其中m 是使得一次函数y ＝（m ﹣3）x+m+1不经过第三象限的整数值．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．a （a+b ）（a ﹣b ）
14．-1或3
15．3
16．6y x =
17．13124
π-
18．6
三、解答题
19．见解析
【解析】
【分析】
方法一：作两个顶点在圆上的直角，连接两个直角与圆的交点，两条连线的交点即是所求的圆心.
方法二：作弦AB，BC，再作出线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，则O点即为所求．
【详解】
方法一：利用直角作出圆的两条直角AB，CD，AB与CD的交点O即为圆心．
方法二：在圆上取A，B，C三点，作线段AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为圆心．
【点睛】
本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知垂径定理和圆周角定理是解答此题的关键．90°的圆周角所对的弦是直径；弦的垂直平分线经过圆心.
20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.
【解析】
【分析】
（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；
（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；
（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，
根据BM＝DN，列出方程求出AB的长度，根据DF∥BM，得到
4
1
3,
43
DF DG
BM BG
===即可求解.
【详解】
解：（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°，
∵PM ∥CD ，
∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°，
∴△BPM 是等腰直角三角形，
∴PM ＝BM
，PB =
，
∵BM ＝DN ，
∴PM ＝DN ，
在△EPM 和△EDN 中， ,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EPM ≌△EDN （AAS ），
∴EP ＝ED ，
∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，
根据勾股定理得：BP =
，
即2BD DE -=；
（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，
∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°，
∵∠CBD ＝45°，
∴△BMP是等腰直角三角形，
∴BM＝PM＝DN，
与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），∴EP＝ED，
∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，
根据勾股定理得：BP BM，
即BD+2DE＝BP BM，
故答案为：BD+2DE BM；
（3）如图3，∵AB∥CD，
∴AB∥DN，
∴△ABF∽△DNF，
∴AF：FD＝AB：ND，
∵AF：FD＝1：2，
∴AB：ND＝1：2，
设AB＝x，则DN＝2x，
∵BM＝DN，
∴x+2＝2x，x＝2，
∴AB＝AD＝2，DF＝4
3
，
∴BD=
∵DF∥BM，
∴
4
1
3,
43 DF DG
BM BG
===
∴
1
4
DG=⨯=
故答案为：
2
【点睛】 本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．
21．（1）详见解析；（2）①等边三角形；②当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形AECF 为正方形.
【解析】
【分析】
（1）由圆的内接四边形性质可得CFA AEB ∠∠＝，由“AAS ”可证ACF BAE ∆∆≌；
（2）① 四边形OADE 为菱形，可得OA OE DE AD ＝＝＝，可得AOD DOE ∆∆， 都是等边三角形，可求
120AOE ∠︒＝，可得60ACB ∠︒＝，
即可求解；② 四边形AECF 为正方形，90FCE FAE F AF CF ∠︒∠∠＝＝＝，＝，可证ACF BAE ∆∆≌，可得45EAD FCA ∠∠︒＝＝，可得
90CAB ∠︒＝，
即可求解. 【详解】
证明：（1）∵四边形AECF 是圆内接四边形
CFA AEB ∴∠∠＝
DE AF =
ACF DAE CFA AEB AB AC ∴∠∠∠∠＝，且＝，＝
ACF BAE AAS ∴∆∆≌（）
（2）①如图：
若四边形OADE 为菱形；
OA OE DE AD ∴＝＝＝
OA OD AD OE OD DE ∴＝＝，＝＝
AOD DOE ∴∆∆， 都是等边三角形
60AOD DOE ∴∠∠︒＝＝
120AOE ∴∠︒＝
2AOE ACB ∠∠＝
60ACB AC AB ∴∠︒＝，且＝
∴△ABC 是等边三角形，
∴当△ABC 是等边三角形时，四边形OADE 为菱形；
故答案为：等边三角形
②若四边形AECF为正方形，
90
FCE FAE F AF CF
∴∠︒∠∠
＝＝＝，＝
45
FAC FCA CAE
∴∠∠︒∠
＝＝＝
ACF BAE
∆∆
≌
45
EAD FCA
∴∠∠︒
＝＝
90
CAB AC AB
∴∠︒
＝，且＝，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形AECF为正方形，
【点睛】
本题主要考查了圆的综合，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，正方形的性质，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是解题关键.
22．（1）
111
=
(1)1
n n n n
-
++
；（2）见解析；（3）
2009
2010
．
【解析】【分析】
（1）观察规律可得：
111 (1)1
n n n n
=-
++
；
（2）根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性；
（3）利用上面的结论，首先原式可化为：
1111111
1
2233420092010
-+-+-++-继而可求得答案．
【详解】
（1）由
111111111
;;
121223233434
=-=-=-
⨯⨯⨯
，…则：
111
(1)1
n n n n
=-
++
；
（2）11111
1(1)(1)(1)(1)
n n n n
n n n n n n n n n n
++-
-=-==
+++++
；
（3）
1111 12233420092010 ++++
⨯⨯⨯⨯
＝
1111111 1
2233420092010 -+-+-+-
＝1﹣
1 2010
＝20092010
． 【点睛】 此题考查了分式的加减运算法则，解题的关键是仔细观察，得到规律：111(1)1
n n n n =-++，然后利用规律求解．
23．12
x -+,-1 【解析】
【分析】
先把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，再按分式的加减法化简，然后把x 化简后代入计算即可.
【详解】
22211221
x x x x x x x ++--÷++- =()()()
2112211x x x x x x x +--⨯++-+ =
122
x x x x +-++ =12
x x x --+ =12x -+，
x=()011260-20162
π--︒++-
=11122
+ =-1，
当x=-1时，
原式=1=112
---+. 【点睛】
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的混合运算.
24．（1）y ＝10+0.02x ；（2）H 、A 两公司购买门票分别为270张和130张
【解析】
【分析】
（1）方式一中，总费用＝广告赞助费10+门票单价0.02×票的张数；
（2）方式二中，当x ＞100时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得相应的函数解析式；
设A公司购买了a张门票，则H公司购买了（400﹣a）张门票，进而根据（1）得A公司的总费用，再根据两公司共花费27.2万元，列出方程解答便可．
【详解】
解：（1）方式一：单位赞助广告费10万元，该单位所购门票的价格为每张0.02万元，则y＝10+0.02x；（2）方式二：当x＞100时，设解析式为y＝kx+b．
将（100，10），（200，16）代入，
得
10010 20016
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
k0.06 b4
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以y＝0.06x+4．
设A公司购买了a张门票，则H公司购买了（400﹣a）张门票，根据题意得：
0,06a+4+[10+0.02（400﹣a）]＝27.2，
解得：a＝130，
∴400﹣a＝270，
答：H、A两公司购买门票分别为270张和130张．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，及一元一次方程解决实际问题的运用，在解答的过程中求出一次函数的解析式y＝0.06x+4．是解答的关键，根据自变量不同的取值，对总门票费分情况进行探讨是解决本题的易错点．
25．2或0或﹣4
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解确定出m的值，代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝
2
2
2
m(m2)m2m(m2)(m1)
22m m2 m1(n1)m1m2
---+
-=+=-⋅+=--+ +++-
，
∵m是使得一次函数y＝（m﹣3）x+m+1不经过第三象限的整数，
∴m﹣3＜0①，m+1≥0②
由①得：m＜3；
由②得：m≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤m＜3，即整数解为m＝﹣1，0，1，2，
则原式的值为：2或0或﹣4．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，一次函数的性质以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。