辽宁省五校高二数学上学期期末考试试题文

2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对于常数m n 、，“0mn >”是“方程221mx ny -=的曲线是双曲线“的”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若0a b <<，则下列不等式中错误．．的是（ ） A ．
11a b a >- B ．11
a b
> C.a b > D ．22a b > 3.下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．3log 4log 3x y x =+ B ．4x x y e e -=+
C. ()4sin 0sin y x x x π=+
<< D ．4
y x x
=+ 4.已知实数,x y 满足223y x
y x x ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
，则目标函数2z x y =-的最小值是（ ）
A ．9-
B ．15 C. 0 D ．10- 5.下列命题中，说法错误．．
的是（ ） A.“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”
B.“p q ∧是真命题”是“p q ∨是真命题”的充分不必要条件
C.“22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃≤-≤ ”
D.“若0b =，则()2f x ax bx c =++是偶函数”的逆命题是真命题 6.设0,0a b >>
3a 与23b 的等比中项，则21
a b
+的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C. 7 D ．8
7.已知12,F F 分别是椭圆22
221x y a b +=的左、右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与该椭圆的一个交
点，且12212PF F PF F ∠=∠，则这个椭圆的离心率是（ ） A
1 B
．2
8.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则 8
4
S S =（ ） A ．
1716 B ．1
2
C. 2 D ．17 9.在等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，1082108S S
-=，则11S =（ ）
A ．11
B ．11- C. 10 D ．10-
10.设12,F F 分别是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，点(),M a b .若
1230MF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
3
2
B
11.设{}n a 为等差数列，若11101a
a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时
的n 值为（ ）
A ．18
B ．19 C. 20 D ．21
12.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时，()f x 满足，()()()2f x xf x xf x '+<，则()f x 在R 上的零点个数为（ ）
A ．5
B ．3 C. 1或3 D ．1
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数()3223
32
f x x x x =-+-的递增区间为 ．
14.在数列{}n a 中，2337
,23a a ==，且数列{}1n na +是等比数列，则n a = ．
15.已知函数()()x e a
f x a R x -=∈，若函数()f x 在区间[]2,4上是单调增函数，则实数a 的取
值范围是 ．
16.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足
120AFB ∠=︒,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
MN AB
的最大值为
．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若数列{}n a 满足()
*111,21,2n n a a a n N n -=-=-∈≥.
（1）求证：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()2log 1n n b a =-，若数列()*
11n n n N b b +⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：1n T <.
18. 已知函数()()()2110f x ax a x a =-++≠.
（1）若()2f x ≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <.
19.已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线()2:20G x py p =>相交于,B C 两点.当直线l 的斜率是
1
2
时，4AC AB =. （1）求抛物线G 的方程；
（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围. 20.已知数列{}{},n n a b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214,22n n a b S a ==-，
()()2*11n n nb n b n n n N +-+=+∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列.
（3）若数列{}n c 的通项公式为,2
,4
n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令212n n n p c c -=+.n T 为{}n p 的前n 项的
和，求n T .
21.已知椭圆22
143x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,B C 两点.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设直线AB 和AC 分别与直线4x =交于点,M N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得
MP NP ⊥？乳品存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
22.已知函数()()()2ln ,f x b x g x ax x a R ==-∈
（1）若曲线()f x 与()g x 在公共点()1,0A 处有相同的切线，求实数,a b 的值； （2）若0,1a b >=，且曲线()f x 与()g x 总存在公共的切线，求正数a 的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5: CABAC 6-10: DAABC 11、12：CD 二、填空题
13.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
14.21n n - 15.)
2
,e ⎡-+∞⎣
三、解答题
17. 解：（1)证明：∵121n n a a -=-
∴()1121n n a a --=-，又∵11a =-，∴112a -=- ∴数列{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列 ∴()11222n n n a --=-⋅=- ∴12n n a =-
（2）由（1）知：∴()22log 1log 2n n n b a n =-== ∴
()11111
11
n n b b n n n n +==-
++，所以 1111
11111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+-=-=< ⎪ ⎪
⎪
+++
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 18.解：（1）∵()2f x ≤在R 上恒成立，即()2110ax a x -+-≤在R 上恒成立，
所以()2
33140
a a a a <⎧⎪⇒--≤-+⎨++≤⎪⎩ （2）()()20110f x ax a x <⇔-++<()()()110*ax x ⇔--< 当01a <<时，()*式等价于()11101x x x a a ⎛
⎫--<⇔<< ⎪⎝
⎭；
当1a =时，()*式等价于()2
10x x -<⇒∈∅；
当1a >时，()*式等价于()11101x x x a a ⎛
⎫--<⇔<< ⎪⎝
⎭；
当0a <时，()*式等价于()1110x x x a a ⎛
⎫-->⇔< ⎪⎝⎭或1x >
综上，当01a <<时，()0f x <的解集为11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
；
当1a =时，()0f x <的解集为∅；
当1a >时，()0f x <的解集为1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
；
当0a <时，()0f x <的解集为()1,1,a ⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭.
19.解：（1）设()()1122,,,B x y C x y ，当直线l 的斜率是
12时，l 的方程为()1
42
y x =+， 即24x y =-，由2224
x py
x y ⎧=⎨=-⎩得：()22880y p y -++=
∴()()2
864160p p p ∆=+-=+>， 124y y =①，1282
p
y y ++=
②， 又∵4AC AB =，∴214y y =③，
由①②③及0p >得：2p =，得抛物线G 的方程为24x y =. （2）设():4l y k x =+，BC 的中点坐标为()00,x y ，
由()
244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24160x kx k --=④ ∴()20002,4242
C B
x x x k y k x k k +=
==+=+. ∴线段BC 的中垂线方程为()21
242y k k x k k
--=-
-， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：()2
224221b k k k =++=+ 对于方程④，由216640k k ∆=+>得0k >或4k <-，∴()2,b ∈+∞. 20.解：（1）当1n >时，11
122
2222n n n n n n n S a a a a S a ---=-⎧⇒=-⎨
=-⎩12n n a a -⇒= 当1n =时，111222S a a =-⇒=，
综上，{}n a 是公比为2,首项为2的等比数列，2n n a =. （2）∵214a b =，∴11b =，∵()211n n nb n b n n +-+=+，∴111n n
b b n n
+-=+ 综上，n b n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差为1，首项为1的等差数列.
（3）由（2)知：211n n b
n b n n
=+-⇒=
∴212n n n p c c -=+
()
()
()()2
2
21
2221212224124142
4
n n
n n n n n n ----⋅⋅=-
+
=-⋅=-⋅ ()01213474114414n n T n -=⨯+⨯+⨯+
+-
∴()()123143474114454414n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-⋅
两式相减得：
()0121334444444414n n n T n --=⨯+⨯+⨯+
+⋅--
∴()()141433441414
n n n T n ---=+⨯--⋅-
∴7127499
n n n T -=
+⋅. 21.解：（1
）由椭圆方程可得2,a b ==
，从而椭圆的半焦距1c =. 所以椭圆的离心率为1
2
c e a =
=. （2）依题意，直,BC 的斜率不为0，设其方程为1x ty =+.
将其代入22
143
x y +=，整理得()
2243690t y ty ++-=
设()()1122,,,B x y C x y ，则1212
22
69
,4343t y y y y t t --+==++. 易知直线AB 的方程是()1122
y
y x x =++，
从而可得1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得2264,2y N x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
.
假设x 轴上存在定点(),0P p 使得MP NP ⊥，则有0PM PN ⋅=. 所以()()()
2
12
12364022y y p x x -+
=++.
将11221,1x ty x ty =+=+代入上式，整理得：()()2
12
21212364039
y y p t y y t y y -+=+++
所以()()
()()()
2
2
2
36940936943p t
t t t
⋅--+
=-+-++，
即()2
490p --=，解得1p =或7p =.
所以x 轴上存在定点()1,0P 或()7,0P ，使得MP NP ⊥.
22.解：（1)依据题意:()()()()101
10111f a g b f g =⎧=⎪⎧=⇒⎨⎨
=⎩⎪''=⎩
（2）当0,1a b >=时，()ln f x x =，()()1
f x f x x
'=
⇒在点(),ln t t 处的切线方程为：()1ln y t x t t -=
-，即1
ln 1y x t t
=+- 由21ln 1y x t t
y ax x
⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩
得：2()11ln 10ax x t t -+-+=① ∵()(),f x g x 总存在公切线，∴①的()2
114ln 10a t t ⎛⎫
∆=+--+= ⎪⎝⎭，
即关于t 的方程()()2
114ln 10a t t t ⎛⎫
+=-+> ⎪⎝⎭
②总有解.
∵左边0,0a >>，∴1ln 00t t e ->⇒<<，于是，②式()
()
()2
21401ln t a t e t t +⇔=<<-
令()()
()()2
2101ln t h t t e t t +=<<-，则()()()()
()23
12ln 101ln t t t h t t e t t ++-'=<<- 当()0,1t ∈时，()0h t '<；当()1,t e ∈时，()0h t '>，∴()h t 在()0,1递减，()1,e 递增. ∴()()min 14h t h ==，∴要使②有解，须44a ≥，即1a ≥， 故min 1a =.。