高三数学高考最后30天冲刺练习三角解答

2010高考数学最后30天冲刺练习：三角解答
例1、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3
c
o s c o s 5
a B
b A
c -=
． （Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5
a B
b A
c -= 可得3333
sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555
A B B A C A B A B A B -=
=+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>
2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤3
4
当且仅当
14t a n c o t ,t a n ,t a n 22B B B A ===时，等号成立
，故当1
t a n 2,t a n 2A B ==时，t a n ()A B -的最大值为3
4
.
例2、已知函数2
π()sin
sin 2
f x x x x ωωω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
解
：
（
Ⅰ
）
1cos 2()22x f x x ωω-=
+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1
()s i n 262
f x x ⎛
⎫=-
+ ⎪⎝
⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤， 所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛
⎫-+ ⎪
⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，． 例3、已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为
.2π（Ⅰ）求f （8
π
）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f (x )
的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.
解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21
)sin(232ϕωϕωx x ＝2sin(ϕω+x -
6
π
) 因为 f (x )为偶函数，所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，因此 sin （-ϕω+x -6
π
）＝sin(ϕω+x -
6
π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6
π
),
整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （ϕ-6
π
）＝0.
又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2
π
)=2cos x ω.
由题意得
.
2,2
22　＝ 所以 ωπ
ω
π
⋅
=故 f (x )=2cos2x .因为
.24
cos 2)8(==π
πf
（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个
6
π个单位后，得到)6(π
-x f 的图象，再将所得图象横坐
标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)6
4(π
π-f 的图象.
).
32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当2k π≤3
2
π
π
-
≤2 k π+ π (k ∈Z),即4k π＋≤
32π≤x ≤4k π+3
8π
(k ∈Z)时，g (x )单调递减.
因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
++384,324ππππk k (k ∈Z)
例4、在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边的边长分别为a c 、b 、且a c 、b 、成等比数
列.
(1) 求角B 的取值范围;(2) 若关于B 的不等式
0)2
4cos()24
sin(
42cos >+++
-m B
B B ππ
恒成立，求m 的取值范围.
解：（1）
2
b a
c = 2222221
cos 2222
a c
b a
c b ac ac B ac ac ac +---∴=
≥==当且仅当a b c ==时，1cos 2B =
故03
B π
<≤ （
2
）
m B
B B +++-)2
4c o s ()24s
i n (42c o s ππ＝
m B B ++-)2sin(
22cos π
213
2(cos )22
B m =-+- 1cos 12B ≤< [2133
2(cos ),1)222
B m m m ∴-+-∈--故原不等式恒成立，即302m ->得3
2
m >
∴m 的取值范围为3
(,)2
+∞.
例5、设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，且1
cos 2b C a c =-.
（1）求角B 的大小；（2）若1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围.
解：（1）方法一：在ABC ∆中，有sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+
由正弦定理得：c o s c o s a b C c B =+又1cos ,2b C a c =-
1
cos 02
B c ∴-=，即1
c o s 2
B =
， 又B 为ABC ∆的内角，3
B π
∴=
方法二：由1cos ,2b C a c =-
得1
sin cos sin sin sin cos cos sin 2
B C A A B C B C +==+ 即：11sin cos sin ,sin 0,cos 22C B C C B =≠∴= 3
B π∴=
（
2
）由正弦定理得：sin sin ,sin sin b A b C a A c C B B =
=
==
]1sin )1sin sin()l a b c A C A A B ∴=++=+
+=+
+
11sin )
21
12cos 22A A A A A =+⎤=++⎥
⎣⎦
12sin()6
A π
=++
25,0,,,33666B A A π
π
πππ⎛⎫
⎛⎫=
∴∈∴+∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭1sin(),162A π⎛⎫
∴+∈ ⎪
⎝⎭
于是
(]12sin()2,36
l A π
=++∈
故ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3。

. 例6、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足27
4cos cos2()22
A B C -+= （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3b c +=，求a 的最小值． 解
：
（
Ⅰ
）
A B C π
++=，
2
27
4cos cos2()2(1cos )cos22cos 2cos 322
A B C A A A A ∴-+=+-=-++=， 212cos 2cos 02A A ∴-+=． 1
cos 2
A ∴=，0A π<<， 60o A ∴=．
（Ⅱ）由余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，得
222bc b c a =+-．2229()39393()24b c a b c bc bc +∴=+-=-≥-=， 3
2
a ∴≥．所以a 的
最小值为32，当且仅当3
2b c ==时取等号．
例7、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设k k A A ⋅>==且),1)(1,4(),2cos ,(sin 的最大值是5，求k 的值.
解：（I ）∵(2a－c)cosB=bcosC ，∴（2sinA －sinC ）cosB=sinBcosC 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，又∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=21 ∵0<B<π，∴B=3
π
. （II ）⋅=4ksinA+cos2A =－2sin 2A+4ksinA+1，A∈（0，
3
2π） 设sinA=t ，则t∈]1,0(.则⋅=－2t 2
+4kt+1=－2(t －k)2
+1+2k 2
,t∈]1,0(
∵k>1，∴t=1时，n m ⋅取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k=23. 例8、已知：(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==，122)(-+⋅=m b a x f
（R m x ∈,）.
(Ⅰ) 求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 若]2
,0[π
∈x 时，()f x 的
最小值为5，求m 的值.
解：(Ⅰ) 2()cos 2cos 21f x x x x m =++-……2分2cos22x x m =++
2sin(2)26
x m π
=+
+. ()f x ∴的最小正周期是π.
(Ⅱ) ∵]2,
0[π
∈x ，∴]67,
6[
62π
ππ
∈+
x . ∴当6762ππ
=
+
x 即2
π
=x 时，函数()f x 取得最小值是12-m . ∵512=-m ，∴3=m .
例9、已知sin(2)3sin ,tan ,tan ,(),x y y f x αββαβ+====设记
（1）()f x 求的解析表达式；（2）若α角是一个三角形的最小内角，试求函数()f x 的值域． 【
解
】
（
1
）
由
ββαs i n
3)2s
i n (=+，得])s i n [(
3])s i n [(αβααβα-+=++，…………………………2分 αβααβααβααβαsin )cos(3cos )sin(3sin )cos(cos )sin(+-+=+++， αβααβαsin )cos(cos )sin(+=+∴， αβαtan 2)tan(=+∴，
于是αβαβαt a n 2t a n t a n 1t a n t a n =-+， x xy
y x 21=-+即，∴221x x
y +=，即
()f x 2
12x
x =
+．…………………………7分
（2）∵α角是一个三角形的最小内角，∴0<α≤
3
π
,0x <≤分
设()12g x x x =+,则()1
2g x x x =+≥2
x =时取=）,………12分
故函数()f x 的值域为0,4⎛ ⎝⎦
．………………………………14分
例10、已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π
2π2
，）
，且a ⊥b ．
（1）求tan α的值； （2）求cos(
π
23
α
+
)的值． 【解】（1）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0．而a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，
故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2
α＝0．……………………………………2分 由于cos α≠0，∴6tan 2
α＋5tan α－4 ＝0．解之，得tan α＝－
4
3
，或tan α＝1
2
．…………6分 ∵α∈（3π
2π2，）
，tan α＜0，故tan α＝12（舍去）．∴tan α＝－43
．…………7分 （2）∵α∈（3π
2π2，），∴3ππ24α∈（，）
．由tan α＝－43，求得1tan 22α=-，tan 2
α＝2（舍去）．
∴sin cos 2
2α
α=
=，…………………………………………………………12分
cos(
π3
α
+
)＝ππcos
cos sin sin 2323
α
α-＝12 ＝
． ………………………14分
例11、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
c
a
b b a
c a -=++， （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为7，且A C sin 2sin =，求最小边长．
【解】（Ⅰ）由c
a
b b a
c a -=++整理得))(()(b a a b c c a +-=+，即222a b c ac -=+，------2分
∴2
1
22cos 222-=-=-+=
ac ac ac b c a B ， -------5分 ∵π<<B 0，∴3
2π
=B 。

-------7分 （Ⅱ）∵3
2π
=
B ,∴最长边为b ， --------8分 ∵A
C sin 2sin =，∴a c 2=， --------10分
∴a 为最小边，由余弦定理得)2
1(2247222
-⋅⋅-+=a a a a ，解得12
=a ，
∴1=a ，即最小边长为1 --------13分
例12、已知点(1cos2,1),(12)(,,),M x N x a x R a R a ++∈∈是常数设
y OM ON =⋅（O 为坐标 原点）
（1）求(),()y x y f x f x =关于的函数关系式并求的最小正周期;
（2）若[0,]()4,()[0,]22
x f x a f x ππ
∈时，的最大值为求的值，并求在
上的最小值。

解：（1）依题意得：(1cos2,1),(1,3sin 2)OM x ON x a =+=+
1cos 222sin(2)16
y x x a x a π
∴=++=++……………………3分
()f x π∴的最小正周期为。

……………………………………5分
（2）若71[0,],(2)[,
],sin(2)1266626
x x x πππππ
∈+∈∴-≤+≤则…………7分 此时max 2141,y a a =++=∴=……………11分 min 1111y =-++=………………………………13分
例13、函数R x Z k x
k x x f ∈∈-++-=,,)2
214cos(
)2cos()(π。

（1）求)(x f 的周期；（2）解析式及)(x f 在),0[π上的减区间；
（3）若=)(αf 5
10
2，)2,0(πα∈，求)42tan(πα+的值。

解
：
（
1
）
)
2
22cos(2cos )2214cos()2cos()(x
k x x k x x f -++=-++-=πππ)4
2(sin 22cos 2sin π
+=+=x x x ，（Z k ∈）所以，)(x f 的周期
2412T π
π=
=。

…… 4分 （2）由Z k k x k ∈+≤+≤+,2234222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+,42
5
42ππππ。

又),0[π∈x ，令0=k ，得ππ252≤≤x ；令1-=k ，得ππ2327-≤≤-x （舍去）
∴ )(x f 在),0[π上的减区间是),2
[
ππ。

…… 8分
（3）由=
)(αf 5
10
2，得51022cos 2sin =+αα，∴ 58sin 1=+α， ∴53sin =α
又)2
,
0(π
α∈，∴5
4
2591sin 1cos 2=-
=-=αα ∴ 43cos sin tan ==ααα，∴72416
9143
2tan 1tan 22tan 2=-⨯
=
-=ααα ∴)42tan(πα+17
317
24117244tan 2tan 14tan
2tan -=-
+=-+=παπ
α。

……12分
例14、已知向量)sin ,(cos αα=a
, )sin ,(cos ββ=b , 5
52||=-b a .
（Ⅰ）求cos()αβ-的值; （Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5
sin 13
β=-, 求
sin α.
解：（Ⅰ）
(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,
()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，. ……………2分
-=
a b ,
=
, ………3分 即 ()422cos 5αβ--=, ………5分 ()3
cos 5αβ∴-=. ……………6分 （Ⅱ）
0,0,022
π
π
αβαβπ<<
-
<<∴<-<, ……………7分
()3cos 5αβ-=, 5sin 13β=-()4sin 5αβ∴-=， 12
cos 13
β=……………9分
()()()sin sin sin cos cos sin 11ααββαββαββ∴=-+=-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦分
4123533
51351365
⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ……………12分 例16、
已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
1-，x R ∈．
（１）求()f x 的最值和最小正周期；
（２）设:p ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，:q ()3f x m -<，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围
解：
（１）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+-=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π2sin 23x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭． …４分x R ∈∵max min ()2()2f x f x ==-∴，;T=π． …6分
（２）由题意可知: ()3f x m -<在ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立
ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∵，ππ2π2633x -∴≤≤
，即π12sin 223x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()2()1f x f x ==∴，． (9)
分
()3()3()3f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，max ()3m f x >-∴且
min ()3m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． (12)
例17、
cos 40sin 50︒+
2cos(6010)cos 40sin 50︒-︒︒+︒⋅
sin100cos 40︒
︒+
2
例18、已知函数f (x )＝3a sin ωx －a cos ωx (a ＞0，ω＞0)的图象上两相邻最高点的
坐标分别为(π3，2)和(4π
3，2)．(1) 求a 与ω的值；(2) 在△ABC 中，a 、b 、c 分别
是角A 、B 、C 的对边，且f (A )＝2，求
b －2c
a cos(600＋C )
的值．
解（1）f (x )＝3a sin ωx －a cos ωx ＝2a sin(ωx －π6)由已知知周期T ＝4π3－π
3
＝π， 故a ＝1，ω＝2；……6分
(2)由f (A )＝2，即sin(2A －π
6
)＝1，0,A π<<∴－π
6
＜2A －π6
＜
11π
6
， 则2A －
π6＝π2，解得A ＝π3＝600
…8分故b －2c a cos(600＋C )＝sin B －2sin C sin A cos(600＋C )
＝sin(1200
－C )－2sin C
sin600cos(600
＋C )
＝32cos C ＋1
2sin C －2sin C 32(12cos C －3
2
sin C )＝
32cos C －3
2
sin C 12(32cos C －3
2
sin C )＝2．……12分
例19、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且.5
4
cos =A （1）求A C
B 2cos 2
sin
2
++的值；（2）若a S ABC b 求的面积,3,2=∆=的值。

答案：解：（1）A C B 2cos 2sin
2++A C B 2cos 2
)cos(1++-=………………2分 1cos 22)cos(12-+--=A A π1cos 22
cos 12-++=A A (4)
分
1)5
4(2254
12-⨯++
=
5059=……………………6分 （2）π<<=A A 054cos 且 53cos 1sin 2
=-=∴A A ……………………8分
由5
3
2213sin 21⨯⨯==∆c A bc S ABC 得5=∴c ……………………10分
A bc c b a cos 2222-+=∴135
4
522254=⨯⨯⨯-+=13=∴a (12)
分
例20、已知函数)12
(cos )(,cos sin 1)(2
π
+
=+=x x g x x x f
（1）设0x x =是函数)(x f y =的图象上一条对称轴，求)(0x g 的值。

（2）求使函数)0(),2
(
)2
(
)(>+=ωωωx
g x
f x h ，在区间]3
,32[π
π-
上是增函数的ω的最大值。

答案：（1）0,2sin 2
1
1cos sin 1)(x x x x x x f ==
++=是函数)(x f y =图象的一条对称轴， ),(2
20Z k k x ∈+
=∴π
π
.
43
)(,,
41
)()]32cos(1[21)]6
2cos(1[21)12(cos )(000020===++=++=+
=x g k x ，g k k x x x g 为奇数时当为偶函数时当ππππ
（
2
）
)]6cos(1[212sin 211)(πω++++=x x x h )
sin 2
1
(sin 21x x ωω-=2
3)3sin(2123++=+πωx 当]33,332[3,]3,32[πωππωππωππ++-∈+-
∈x x 时]3
,32[)(ππ-∈x x h 在 上是增函数，
且0>ω2
1
,21],2,2[]33,332[最大值为ωωπππωππωπ≤-⊆++-
∴ 例21、已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).
23,
2(
π
πα∈（I ）若|,|||=求角α的值；
（
II
）
若
α
α
αt a
n
12s i n
s
i n
2,12
++-=⋅求
BC AC 的
值
.
【解】（1）
)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα ，…………2分
αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴AC ，
)4(sin 610)3(sin cos ||22分 ααα-=-+=
由||||=得ααcos sin =. 又4
5),2
3,2(
π
απ
πα=
∴∈ .…………6分 （2）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+-=⋅αααα得
.3
2
cos sin =+∴αα①………………7分
又
.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222ααα
αα
ααααα=+
+=++………………9分 由
①
式
两
分
平
方
得
,94cos sin 21=+αα.9
5
tan 12sin sin 2.
9
5
cos sin 22-=++∴-=∴ααααα (12)
分
例22、若向量在函数),0)(sin ,(cos ),0,sin 3(>-==ωωωωx x n x m
t n m m x f ++⋅=)()(的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为]3
,0[,4π
π
∈x 且当
时，)(x f 的最大值为1。

（1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的单调递增区间。

【解】由题意得)sin ,cos sin 3(x x x n m ωωω-+=+
t n m m x f ++⋅=)()(t x x x x +-+⋅=)sin ,cos sin 3()0,sin 3(ωωωω
t
x x x ++=)cos sin 3(sin 3ωωωt
x x x +⋅+=ωωωcos sin 3sin 32t x x ++-=
ωω2sin 2
3
2cos 2323 t x ++
-
=2
3
)3
2sin(3π
ω （4分） （1）∵对称中心到对称轴的最小距离为
4
π
∴)(x f 的最小正周期T=π∴
,22πωπ
=∴ω=1（6分） ∴,23)3
2sin(3)(t x x f ++
-
=
π
当,]3,0[时π∈x ],2
3,23[)32sin(-∈-πx ∴],3,[)(t t x f +∈∵,1)(max =x f ∴3+t=1∴t=－2∴2
1
)3
2sin(3)(-
-
=
π
x x f （8分） （2）z k k x k ∈+
≤-
≤-
,2
23
22
2π
ππ
π
π（10分）πππ
π6
5
2222+≤≤-
k x k πππ
π12
5
12+
≤≤-
k x k ∴函数)
(x f 的单调递增区间为
)](12
5
,12[z k k k ∈+-ππππ（12分）
例23、已知函数)0(2
sin 2)sin(3)(2
>+-=
ωωωm x
x x f 的最小正周期为π3，且当
)(,],0[x f x 函数时π∈的最小值为0。

（I ）求函数)(x f 的表达式； （II ）在△ABC，若A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2求且-+==的值。

【解】（I ）.1)6
sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅
-=
π
ωωω…2分
依题意函数.3
2
,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f 所以.1)6
32sin(
2)(m x x f +-+=π
…………4分 分所以依题意的最小值为所以时当6.1)6
32sin(
2)(.0,.)(,
1)6
32sin(21,656326,
],0[ -+==≤+≤≤+≤
∈π
π
πππ
πx x f m m x f x x x
（II ）.1)6
32sin(,11)632sin(
2)(=+∴=-+=ππC C C f
分
分
解得中在分解得所以而
12.21
5sin ,1sin 010.2
5
1sin ,0sin sin cos 2),
cos(cos sin 2,2
,8.2
.2632,656326
22 -=∴<<±-==--∴-+==
+∆==+<+<
A A A A A A C A
B B B A AB
C Rt C C C π
π
πππππ
分
分
解得中在分解得所以而
12.2
1
5sin ,1sin 010.2
5
1sin ,0sin sin cos 2),
cos(cos sin 2,2
,8.2
.2632,656326
22 -=∴<<±-==--∴-+==
+∆==+<+<
A A A A A A C A
B B B A AB
C Rt C C C π
ππππππ
例24、
已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b a b ==-=ααββ（Ⅰ）求的值)cos(βα-.（Ⅱ）若2
02
π
αβπ
<
<<<-
，且αβsin ,13
5
sin 求-
=的值. 【解】（Ⅰ）解：
1a =，1b =,…………………………………………………1分
222
22
22(cos cos sin sin )a b a a b b a b ∴-=-⋅+=+-+αβαβ……2分
112cos().=+--αβ ……………………………………………4分
2
24,5
a b -==
3422cos(),cos().55
∴--=-=得αβαβ ……………………………………6分
（Ⅱ）解：
0,0.22
ππ-<β<<α<∴<α-β<π ………………………………7分
由 5
3
)cos(=-βα, 得4sin().5α-β=…………………………………8分
由 13
5
sin -
=β, 得12cos β=.……………………………………9分
[]ββαββαββααsin )cos(cos )sin()(sin sin -+-=+-=∴………………11分
3533412().51351365
=⨯+⨯-= …………………………………………12分
例25、已知向量),sin ,(cos αα=)sin ,(cos ββ=,5
5
2||=-. (1) 求)cos(βα-的值; (2) 若0<2
π
α<
,02
<<-
βπ
,且13
5
sin -
=β,求αsin 的值. 解：（1）∵(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ==∴(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=-- 2分
∵25||.5
a b -=
5=， 2分 ∴3
cos()5
αβ-=. 6分 （2）∵0,0,22ππ
αβ<<
-
<<∴0,αβπ<-<
而3cos()5αβ-=，∴4
sin()5αβ-= 8分
又∵5sin ,13β=-∴12
cos ,13
β=
10分 ∴33
sin sin[()]65
ααββ=-+==. 12分
例26、．已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+，
(sin cos ,q A A =-1sin )A +，若p 与q 是共线向量. （1）求A 的大小； （2）求函数
232sin cos(
)2
C B
y B -=+取最大值时，B 的大小. 解
：
（
1
）
22// 2(1)(1+)-
p q sinA sinA sin A cos A ∴-=22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+=1cos 2A 2
∴=-
0<2A<π，002A 120 A=60∴=∴
（
2
）
00A=60 B+C=120∴201y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B 2B 2-=-+
12B cos 2B+1=sin(2B )126π
--+ 2B B 623
πππ-=当时，即= 例27、已知向量)cos sin 1()cos sin 2sin 1(x x ,,x x x,+=-+=，设函数.)(b a x f ⋅= （Ⅰ）求)(x f 的最大值及相应的x 的值；（Ⅱ）若,θf 58)(=
求)24
(2cos θπ
-的值. 解：)cos sin ,1()cos sin ,2sin 1()(x x x x x x f +⋅-+=⋅=I ）（
)cos )(sin cos (sin 2sin 1x x x x x +-++= ………………………… 2分
x x x 2
2cos sin 2sin 1-++=x x 2cos 2sin 1-+= ………… 4分
)4
2sin(21π
-+=x (6)
分
∴当2
24
2π
ππ
+
=-k x ，即)(8
3Z k k x ∈+
=π
π时，21)(max +=x f .……… 8分
(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知, x x x f 2cos 2sin 1)(-+=5
82cos 2sin 1)(=-+=∴θθθf . 532cos 2sin =
-∴θθ,两边平方,得 25
9
2cos 2sin 21=-θθ. …… 10分 2516
4sin =
∴θ ……………………………… 11分 25
16
4sin )42cos()24(2cos ==-=-∴θθπθπ …………………………12分
解法2：由(Ⅰ)知()1)4f πθθ=+-8
1)45
πθ∴+-=
sin(2)4
π
θ∴-=
……………………………… 10分
216
cos 2(
2)12sin (2)4
4
25
π
π
θθ∴-=--
=
. ………………… 12分 例28、已知△ABC 的面积S 满足33≤≤S ，且6=⋅，AB 与的夹角为θ。

（1）求θ的取值范围；（2）求函数θ
π
θθsin )
42cos(21)(--=
f 的最大值。

解：（1）∵ 6cos ||||=⋅=⋅θ（1）（1分）
θθπsin ||||2
1
)sin(||||21S ⋅=-⋅=
（2）（3分） 由
)1()2(得θtan 216=S ，即S =θtan 3∵ 33≤≤S ∴ 1tan 3
3≤≤θ ∵ θ为AB 与BC 的夹角 ∴ ]4
,6[π
πθ∈（6分）
（
2
）
θθθθθθθθsin cos sin 2sin 2sin )2sin 2(cos 1)(2-=
+-=f )4
sin(22)cos (sin 2π
θθθ-
=-=（8分）
由于)4sin(22π
θ-
=y 在]4
,6[π
πθ∈内是增函数（10分）∴ 0)(max =θf （当且仅当
4
π
θ=
时等号成立）（12分）
例29、函数2
()(sin 2cos 2cos sin )sin (,0,0,)2
f x A x x A x R A π
ωϕωϕϕωϕ=+⋅-∈>>< 的图像在y
轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P )2,3
1(，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q )0,6
5(.（1）求函数)(x f 的表达式； （2）求函数)(x f 在区间]4
23,421[上的对称轴的方程．
解：（1）
由题意化简可知
，
()sin(2)f x A x ωϕ=+5122,
22463T A T T
πωπ==-⇒=⇒== 将点P )2,3
1(代入)sin(2ϕπ+=x y 得：1)3
sin(=+ϕπ
所以)(6
2Z k k ∈+
=π
πϕ，即函数的表达式为)()6
sin(2)(R x x x f ∈+
=π
π
（2）由)(2
6
Z k k x ∈+
=+
π
ππ
π，解得：31+
=k x 令4
23
31421≤+≤k ，解得：
12
65
1259≤≤k 由于,Z k ∈所以5=k 所以函数)(x f 在区间]423
,421[
上的对称轴的方程为3
16=x 例30、已知△ABC 的三个内角分别为A ．B ．C ，向量 =（sinB,1-cosB ）与向量 =（2，0），夹角θ的余弦值为
2
1
（1）求角B 的大小（2）求sinA+sinC 的取值范围
解：① )2sin ,2(cos 2sin 2B
B B = =2(1,0) （2分） →m ·2
cos 2sin 4B
B n =→， （4
分）
2sin 2||B
m =→
2||=→n
∴cos =θ =2
cos B
由212cos
=B ， π<<B 0， 32π=∴B 即B=π3
2
（6分） ②π32=B 3
π
=+∴C A （7分）
A A A A A C A sin 3
cos
cos 3
sin
sin )3
sin(
sin sin sin π
π
π
-+=-+=+∴
)3
sin(cos 23sin 21π+=+=
A A A （9分） 又3
0π
<<A ， ππ
π
3
2
3
3
<
+
<∴
A
（
11
分）
1)3sin(23≤+<∴
πA 故C A sin sin +的取值范围是(2
3,1]
（13分）
例31、已知函数f (x )=A 2
sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2
π
函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求ϕ;（2）计算f (1)+f (2)+…
+f (2 008).
m
n m n ·
解：（I ）2
sin ()cos(22).22
A A
y A x x ωϕωϕ=+=
-+()y f x =的最大值为2，
0A >.2, 2.22
A A
A ∴
+== 又
其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12(
)2,.224
ππ
ωω∴== 22()cos(2)1cos(2)2222
f x x x ππ
ϕϕ∴=
-+=-+.
()y f x =过(1,2)点，
c o s (2)
1.
2π
ϕ∴+=- 22,,
2
k k Z π
ϕππ∴
+=+∈22,,2
k k Z π
ϕπ∴=+
∈,,
4
k k Z π
ϕπ∴=+
∈又
0,2
π
ϕ<<
4
π
ϕ∴=
.
（
II ）
解
法
一
：
4
π
ϕ=
，
1cos(
)1sin .222
y x x π
ππ
∴=-+=+(1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=. 又
()y f x =的
周
期
为
4
，
20084502
=⨯，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
解法二：
2()2sin (
)4f x x π
ϕ=+223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44
f f ππ
ϕϕ∴+=+++= 22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2
f f π
ϕπϕ+=+++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++= 又
()
y f x =的周期为4，
20084502
=⨯，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
例32、如图，函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤
2
π
)的图象与y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求
.与
本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。

解：（I ）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ=
因为02
π
ϕ≤≤，所以6
π
ϕ=
.
（II ）由函数2sin()6y x π
π=+
及其图像，得115
(,0),(,2),(,0),636
M P N --
所以11(,2),(,2),22PM PN =-
=-从而cos ,||||
PM PN
PM PN PM PN ⋅<>=⋅ 1517=，
故,PM PN <>=15
arccos
17
. 例
33、已知0αβπ<<
4，为()cos 2f x x π⎛
⎫=+ ⎪8⎝
⎭的最小正周期，1tan 14αβ⎛⎫
⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
a (cos 2)α=，
b ，且a b m =．求22
c o s s i n2()c o s s i n ααβαα++-的值．
本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为β为π()cos 28f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+
- ⎪⎝
⎭a b ··．故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由
于
π04
α<<
，
所
以
222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα
++++=
--22cos sin 22cos (cos sin )
cos sin cos sin ααααααααα++==-- 1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m αα
ααα+⎛
⎫==+=+ ⎪-⎝
⎭·
例37、已知函数2
π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，．
（I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪
⎝
⎭．
又
ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，∵，
ππ2π2633
x -∴≤≤，即
π212sin 233x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭≤≤，
max min ()3()2f x f x ==，∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，max ()2m f x >-∴且
min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．
例38、如图，函数π2cos()(0)2
y x x ωθθ=+∈R ，≤
≤的图象与y
轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；
（2）已知点π02
A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，点P 是该函数图象上一点，点
00()Q x y ，是PA 的中点，
当0y =0ππ2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，求0x 的值．
解：（1）将0x =
，y =2cos()y x ωθ=+
得cos θ=，因为02θπ≤≤，
所以6
θπ
=
． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，
6
θπ
=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭． （2）因为点02
A π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，00()Q x y ，是PA 的中点
，0y =
，所以点P 的坐标
为022x π⎛- ⎝．
又因为点P 在2cos 26y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭
的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
因为
02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤，从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=．
即023x π=或034
x π
=．
例40、已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）美洲f （8
π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21
)sin(232ϕωϕωx x ＝
2sin(ϕω+x -
6
π
) 因为 f (x )为偶函数，所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，因此 sin （-ϕω+x -6
π
）＝sin(ϕω+x -
6
π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6
π
),
整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （ϕ-6
π
）＝0.
又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2
π
)=2cos x ω.由题意得
.
2,2
22　＝ 所以 ωπ
ω
π
⋅
=故 f (x )=2cos2x .因为
.24
cos 2)8(==π
πf
（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个
6
π个单位后，得到)6(π
-x f 的图象，再将所得图象横坐
标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)6
4(π
π-f 的图
象.).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤3
2
π
π
-
≤2 k π+ π (k ∈Z),
即 4k π＋≤
32π≤x ≤4k π+3
8π (k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++384,324ππππk k (k ∈Z)
例41、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-
（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若t an t an 16
αβ=，求证：a ∥b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

满分14分。

例42、已知函数()s i n (f x x ωϕ=+其中0ω>，||2
π
ϕ<
（I ）若
c o s
c o s ,
s i n s i n 0,4
4
π
π
ϕϕ3-=求ϕ的值；
（Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。

解法一：
（I ）由3c o s
c o s
s i n s i n 04
4
π
πϕϕ-=得cos cos sin sin 044
ππ
ϕϕ-=即
cos()04πϕ+=又||,24
π
π
ϕϕ<∴=
（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4
f x x π
ω=+
依题意，
23T π=又2,T π
ω
=故3,()sin(3)4
f x x π
ω=∴=+
函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为
()sin 3()4g x x m π⎡
⎤=++⎢⎥⎣
⎦
()g x 是偶函数当且仅当3()4
2
m k k Z π
π
π+
=+
∈即()312
k m k Z ππ
=
+∈从而，最小正实数12
m π=
解法二：（I ）同解法一（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4
f x x π
ω=+ 依题意，
23
T π
= 又2T π
ω
=
，故3,()sin(3)
4
f x x π
ω=∴=+函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所
对应的函数为()s i n 3()4g x x m π⎡
⎤=
++⎢⎥⎣
⎦()g x 是偶函数当且仅当
()()g x g x -=对x R ∈恒成立
亦
即
s
i n (33)
s i n (33)
44x m x m π
π
-++=
++对x R ∈恒成立。

s
i n
(3)c o s
(3
)c
o
s (3)s i n (
4
4
x m x m π
π
∴-+
+-+
sin 3cos(3)cos3sin(3)44x m x m ππ=+++即2sin 3cos(3)04
x m π
+=对x R ∈恒成
立。

cos(3)04
m π
∴+=
故3()4
2
m k k Z π
π
π+
=+
∈()312k m k Z ππ∴=
+∈从而，最小正实数12
m π
=
例43、设函数2()sin(
)2cos 1468
x x f x ππ
π=--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期． （Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4
[0,]3
x ∈时
()y g x =的最大值．
解：（Ⅰ）()f x =sin cos
cos
sin
cos
4
6
4
6
4
x x x π
π
π
π
π
--
=
3cos 2424
x x ππ-
=sin(
)43
x π
π
-
故()f x 的最小正周期为T =
24
π
π
=8
(Ⅱ)解法一： 在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点
(2,())x g x - .
由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而
()(2)sin[(2)]43
g x f x x ππ
=-=--
sin[
]2
43x π
π
π-
-)43x ππ+当304x ≤≤时，23433
x ππππ≤+≤，因此
()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 3g π==
解法二： 因区间4
[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3
，且()y g x =与()y f x =的图象关于
x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3
上的最大值
由（Ⅰ）知()f x sin()43
x π
π
- 当
223x ≤≤时，6436
ππππ
-≤-≤ 因此()y g x =在4
[0,]3
上的最大值为
max 6
2
g π
==
.。