关于环上矩阵的平行和

p
’
.
P (A
s
,
B)
显然
(A
’
A
和任 一 同阶零 矩 阵是
+ B
`
的 由于 爪 A ) 二 川
’
A十
) ) 当且 仅 当 川 B B
, ,
仁川 A + B )
拼
。
)仁 爪 A
)
、
当且 仅 当 琳
.
B
) 仁爪 A
x
n
+ B
’
)
,
,
根据 引 理
2 和 推论 1 立 得 下 面 定 理 成 立
定理
1
设 A B 均为 R 上 m
(C
`
)
一
)A
共
收稿 日期
:
1 9 9 5一
2 一2 1 5
第4 期
,
陆 仲坚
一
关 于 环 上 矩 阵的平 行 和
n
即
A (I一C
,
C )井。
一
,
,
同 上 可证 存 在
,
a
;
任R
x
`
,
b e R
;
m
’
’
,
且
Cl一 C
一
+ ( I一
C一 C )a
l
b
l
`
e C {1 }
,
而 A C B笋 A C 反之
m
丫 m
。
定义
(A + B )
一
3
,
设
A 和 B
为环
R 上 m x
阶矩 阵 若
,
一 A 半 B 正则 且 A (A + B ) B
关于
p
.
(A + B )
,
-
的选择 不 变 则 称
B
A 和 B
是 平行 可 和 的 记 作
,
A 和 B
。
是
p
、
S
的
。
当
A 和 B
是
s
的 则称
,
A
为
’
A 和 B
的平行 和 记为
,
2
使得
一
= C夕
2
`
:
A
= C
,
由
。
于
AC
x
;
’
A (C
一
一
C
B
,
一
)l
=
一
少
2
’
一
一
C
一
) C夕 = 夕
,
2
`
(C C
。
一
C一 CC
C
夕 之
一少
( C 一 C )。 = O
,
所以
一
B一 AC
即
、 、
Ac
B
关 于 C 的选 择是 不变 的 引理 的证 明过 程 结合 文 〔 中的引 理
A
,
’
[ 定义 2
(’ A )
设
’
R
为 一 个带有 对合 反 自同构 的转置 矩 阵
A 一 (武i j ))m a x
。
`
的非交换 环
,
A = (a
p~ 是
。
R 上矩 阵
,
令
A
=
其中
.
A
2
为
`
A R
。
称
为
A
的共扼 元
,
引理 1
(l )(A
〕
设
“
为带有 对合 反 自同构
’
的结 合 环
A e R “ B任 R , t x
A 是 V
o n
,
A
是
n
R 上 m x
,
n
阶矩 阵 若 存 在
。
,
R 上
n
x m
阶矩阵
X
,
使得 表
’
A = A 则称 X 为 A
的 一 个 广 义 { 1 }逆
N
记为
,
A一
A
) 逆 全 体 组 成的集合 用 的 广 义 {l
。 ,
A (l )
示
若
’ ,
A
一
存在 称
习
u e
,
ma
正 则 简称
口
A
是 正则 的
环 上 矩阵 平行 和 与矩 阵 广 义 逆 的包 含 关系 刻 划 了 非交 换 主理 想 整 环 上 矩 阵 的减 序
3〕 ) 本 文 利 用 矩阵平 行可 和 性 质 刻 划 了 非交换 无零 因 子 环 上 矩 阵 广 义 逆 包含关系 【
, ,
。
(见 文
定义
A
x
, 。
1
设
,
R
为 一 个 结合 环
: , ,
Ad r n e
s
n o
和
D
f f i u
n
首 先 给 出 了 两 个 厄 米特 非 负 正 定矩 阵 的平 行 和 概念 后来 又 把 它 推
, 。 , , 。
,
1」 ) 庄 瓦 金 利用 广 到 满足 可平行 和 条 件的 任 一 对 同阶矩 阵中 并 给 出 了许多重 要性质 ( 见 文【
5
阶 非零 矩 阵 且
.
: A + B 正 则 则 下 列 诸 条件 等 价
3
,
易 得 下 面 推论 成 立
:
推论
I
A
B C 同 引理 2 C
一
所 设 则 下 列 条 件等 价
。
,
( 1 )A C一 B
关于
的 选 择是 不 变 的
AC
,
一 ( 2 )C C B = B
一
C= A
( 3 ) 矩 阵方 程 C X = B 和 Y C = A
有解
n
,
。
这里
,
Xe R
n
)
:
”
,
Y 任R
I E G E O F AR T S AN D
1996
关 于 环 上 矩 阵 的 平 行 和
陆仲 坚
(数 学 系 )
摘
,
要
。
本文 研 究 了环 上 矩 阵 的平行 和 性质 并将 文 【 ] 中若干结果推 广 到 一 类特殊的 环 中 l } 逆 关 链词 无 零 因 子非交 换环 平行 和 广 义 {l
,
B 矛盾 C
一
、
于是
拜( A
,
`
) 仁拜 ( C
x
,
’
)
n
。
任给
,
C
一
任 C {1 }
’
任给
e R
;
又 `
,
x
”
Z
任R
.
m
”
,
则
m
’丁’ ,
Bx
,
e 拜(B ) A Bx
, l
,
“
x
,
Z
e
`
拼 x
(A
Z
`
)
“
.
已知
夕2
, ,
拜 ( B ) 仁拜 ( e )
拼( A
’
) 任拼 ( C
x
,
) 于 是存 在 夕 任 R 门 夕 任 R C (C
拼( A ) =
。
A
拜 ( A )表 示
即
{A
x
IX 任 R
n
n ’ `
’
}其 中 A 任 R
,
m
`
n
。
2
设
A B
、
、
C
皆为
’
R 上 m x
阶非 零 矩 阵 且
C
是 正则 的 则
,
AC一 B
关于
c
一
的选择
是不 变 的 当 且 仅 当
拜 ( B ) C “( C ) 拼( A
,
) 仁拜( C
’
)
。
证明 若
, 。
:
拜 ( B ) 必拜 ( C )
, ,
显然 (I 一 e C
a
一
) B 笋 。( 这 里 l Aa并。
一
,
为单 位 矩 阵 ) 且 存 在
R
.
,
b e R Aa b
m
”
’
,
使得
C
b
一
`
I 一 CC 一 ) B井 。 又 A 并 。 ( B笋0 令 C = C
一
存在
。
任R )
.
” ”
’
.
使得
o
由于
a
中 无 零 因子 所 以
’
.
I 一 CC (
。
)
,
+
a
b
’
( I一 C C
.
一
由于
C C C = CC
。
C+ C
拌(
b
(C 一C C
’
.
一
C ) = C
,
因此 C e
`
{l }
’
但 显然
A C B笋 A C
O
一
B 矛盾
于是
拼 ( B )仁 拜 ( C )
若
A
`
) 敏 拜( e
) 显然 ( I 一 C
DOI : 10. 16169 /j . i ssn. 1008 -293x. s. 1996. 05. 006
1 卷第 5 期 第6 19 9 6
绍
J
兴
文
理
J J
学
院
学
报 C S
IE N C E S
Vo l
.
16 J
u n
.
N
o
.
5
年
6
月
JO U R N A I O F S H A O X IN G C O I
,
则
)
= A = A
’
( 2 ) ( A士 B) ( 3) (A B )
`
士B
`
= B
,
A
`
(4 )若 A 正 则 则 A
`
正 则 且 (A
,
`
)
一
~ (A )
一
`
本 文 以 下所 说 环 的列生 成用 引理
,
R
,
,
均 指带有 对合 反 自同构 的有单 位元的非 交换 无零 因子 环 一 个 矩 阵