2023-2024学年湖南省张家界市高一下册第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年湖南省张家界市高一下册第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知i 为虚数单位，则复数23i -+在复平面内对应的点在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【正确答案】B
【分析】由复数的几何意义即可求出答案.
【详解】23i -+在复平面所对应的点为()2,3-，位于第二象限.故选：B.
2．向量()2,1a =- ，()1,2b =-r
，则()
2a b a +⋅= （
）
A ．6
B ．5
C ．1
D ．-6
【正确答案】A
【分析】利用向量线性坐标运算以及向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由()2,1a =- ，()1,2b =-r
，
则()()()222,11,23,0a b +=-+-=
，
所以()
()223106a b a +⋅=⨯+-⨯=
.
故选：A
3．已知向量a ，b
不共线，且c a b λ=+ ，()21b d a λ=+- ，若c 与d 反向共线，则实数λ的
值为（）
A ．1
B ．12
-
C ．1或12
-
D ．1-或12
-
【正确答案】B
【分析】利用向量共线的充要条件，再根据题设条件建立方程组，求出结果.
【详解】由于c 与d
反向共线，则存在实数k ，使得()0c k k d =< ，
则有()21a b ka kb λλ+=+-
，即()()211k a k b λλ-=--⎡⎤⎣⎦ ，
又向量a ，b 不共线，所以0
(21)10
k k λλ-=⎧⎨
--=⎩，
消k 整理得2210λλ--=，解得1λ=或12λ=-，又因为0,k k λ<=，所以0λ<，故1
2
λ=-.
故选：B.
4．在△ABC 中，cos C =23
，AC =4，BC =3，则cos B =（）
A ．
1
9
B ．
13
C ．1
2
D ．
23
【正确答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222
cos 2AB BC AC B AB BC
+-=⋅，即可求得
答案.
【详解】 在ABC 中，2
cos 3
C =
，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433
AB =+-⨯⨯⨯
可得29AB =，即3
AB =由 22299161
cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===
⋅⨯⨯故1
cos 9
B =.
故选：A.
本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．设R m ∈，复数()()22
2321i z m m m m =--++-，若z 为纯虚数，则m =（
）
A ．3或1-
B ．3
C ．1
2或1
-D ．1
2
【正确答案】B
【分析】由题知22230
210m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩
，进而解方程即可得答案.
【详解】解：因为复数()()22
2321i z m m m m =--++-为纯虚数，
所以22230210m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩
，解得3m =.
故选：B
6．复数z 满足()2i 5z --=（i 为虚数单位）
，则z 的虚部为（）
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i
-【正确答案】A
【分析】利用复数的除法化简复数z ，即可求得结果.【详解】因为()()()
52i 52i 2i 2i 2i z -+==-+-----+，因此，复数z 的虚部为1.故选：A.
7．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin A a
B c
=，（b+c+a ）（b+c-a ）=3bc ，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形
【正确答案】C 【详解】由
sin sin A a B c =及正弦定理得，a a
b c b c
=∴=，即三角形ABC 为等腰三角形．
又由()()3b c a b c a bc +++-=,得222b c a bc +-=，
所以由余弦定理得，2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，又0A π<<，所以3
A π
=
．
综上，三角形为等边三角形.故选：C ．
8．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +
的最小值是
(
)
A ．2-
B ．32
-
C ．43
-
D ．1
-【正确答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，
则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，
设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =---
，(1,)PC x y =-- ，
则22223
()222[(]4
PA PB PC x y x y +=-+=+-
∴当0x =，2
y =时，取得最小值33
2()42⨯-=-，
故选：B ．
9．下列命题中正确的有（）
A ．平行向量就是共线向量
B ．相反向量就是方向相反的向量
C ．a 与b
同向，且a b > ，则a b
> D ．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【正确答案】AD
【分析】利用共线向量的定义可判断A 选项；利用相反向量的定义可判断B 选项；根据两个向量不能比较大小可判断C 选项；利用向量相等的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，平行向量就是共线向量，A 对；对于B 选项，相反向量就是方向相反且长度相等的向量，B 错；对于C 选项，任何两个向量都不能比较大小，C 错；对于D 选项，“两个向量平行”⇒“这两个向量相等”，另一方面，“两个向量平行”⇐“这两个向量相等”，
所以，两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D 对.故选：AD.
10．下列命题不正确的是（）
A ．向量a 与b
共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b a
λ= B ．在△ABC 中，0
AB BC CA ++=
C ．不等式a b a b a b -≤+≤-
中两个等号不可能同时成立
D ．若向量a 与b 不共线，则向量a +b 与向量a -b
必不共线
【正确答案】ABC
【分析】A.由0a b == 判断；B.由AB BC CA ++= 0 判断；C.由0b = 判断；D.假设向量a +b
与向量a -b
共线判断.
【详解】A.当0a b == 时，有无数个λ，使b a λ=
，故错误；
B.在△ABC 中，AB BC CA ++= 0
，故错误；
C.当0
b =
时，不等式化为a a a ≤≤ ，则两个等号同时成立，故错误；D.因为向量a 与b 不共线，所以a ，b ，,a b a b +- 都不是零向量，若向量a +b 与向量a -b
共
线，则存在实数λ，使得()
a b a b λ+=- ，则11λλ
=⎧⎨=-⎩，无解，故假设不成立，故向量a +b 与
向量a -b
必不共线，故正确；
故选：ABC
二、多选题
11．已知向量()()()
1,3,2,,a b y a b a ==+⊥
，则（
）
A ．()2,3b =-
B ．向量,a b 的夹角为
3π
4
C
．12
a b += D ．a 在b
方向上的投影向量是()
1,2-【正确答案】BD
【分析】根据向量的加法求出a b +
，由两个向量垂直，数量积为零，求出y ，然后逐一判
断各选项，a 在b
方向上的投影向量为()
2a b b b
⋅⋅ .
【详解】已知()()1,3,2,,a b y == 则()3,3a b y +=+ ，
()
a b a +⊥ ，()31330y ∴⨯+⨯+=，4y =-，()2,4b =-
，故A 错误；
cos,
2
a b
a b
a b
⋅
==-
⋅
，所以向量,a b 的夹角为3π
4，故B正确；
()()()
11,31,22,1
2
a b
+=+-=
，
1
2
a b
∴+
C错误；
a
在b
方向上的投影向量为
()
()
2
1,2
a b b
b
⋅⋅
=-
，故D正确.
故选：BD.
12．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）
A．2340
i i i i
+++=
B．复数3
z i
=-的虚部为i-
C．若2
(12)
z i
=+，则复平面内z对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足11
z z
-=+，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
【正确答案】AD
【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，234110
i i i i i i
+++=--+=，故A选项正确.
B选项，z的虚部为1-，故B选项错误.
C选项，2
14434,34
z i i i z i
=++=-+=--，对应坐标为()
3,4
--在第三象限，故C选项错误. D选项，()
111
z z z
-=+=--表示z到()
1,0
A和()
1,0
B-两点的距离相等，故z的轨迹是线段AB的垂直平分线，故D选项正确.
故选：AD
三、填空题
13．复数
34i
2i
+
=
+
___________.
【正确答案】2i+##i+2
【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.
【详解】
()()
()()
2
2
34i2i
34i65i4i105i2i
2i2i2i4i5
+-
++-+
===+
++--
故2i
+14．已知非零向量()2,a x y = ，()1,2b =-r ，且//a b ，则x
y
=______.
【正确答案】14
-
根据平面向量共线的坐标表示，列方程求得x
y
的值.【详解】解：由()2,a x y = ，()1,2b =-r ，且//a b r r
，
所以()2210x y ⋅--⋅=，所以
14
x y =-.故答案为.1
4
-
本题考查了平面向量的共线定理应用问题，属于基础题．
15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
60B =︒，223a c ac +=，则b =________．
【正确答案】【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，1sin 2ABC S ac B === 所以224,12ac a c =+=，
所以222
1
2cos 122482
b a
c ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =（负值舍去）.
故答案为.16．如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在C 的北圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足
AB AC =，90BAC ∠= .定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_____________2m .
【正确答案】25000##25000+【分析】由余弦定理可得出25000040000cos AB θ=-，利用三角形的面积公式以及三角恒等变换可求得“直接监测覆盖区域”面积的最大值.
【详解】在ABO 中，200OA =，100OB =，AOB θ∠=，其中0πθ<<，由余弦定理可得2222cos 5000040000cos AB OA OB OA OB θθ=+-⋅=-，因为AB AC =，90BAC ∠= ，
所以，四边形OACB 的面积为211sin 22
OAB ABC S S S OA OB AB θ=+=
⋅+△△()
10000sin 2500020000cos 1000025000θθθϕ=+-=-+，ϕ为锐角，且tan 2ϕ=，
因为0πθ<<，则πϕθϕϕ-<-<-，
故当π2
θϕ-=时，“直接监测覆盖区域”面积的最大，且其最大值为()2
25000m .
故答案为.25000
四、解答题
17．已知(1,0),(2,1)a b ==
.
(1)当k 为何值时，k a b -
与2a b + 共线；
(2)若23,AB a b BC a mb =+=+
，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．
【正确答案】(1)1
2
k =-；
(2)32
m =
.【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示，列式计算作答.
（2）求出,AB BC
的坐标，再利用共线向量的坐标表示，列式计算作答.
【详解】（1）因为(1,0),(2,1)a b ==
，则(2,1),2(5,2)ka b k a b -=--+= ，由2(2)(1)50k ---⨯=解得12k =-，
所以当1
2
k =-时，k a b - 与2a b + 共线.
（2）因为(1,0),(2,1)a b ==
，则2(1,0)3(2,1)(8,3),(1,0)(2,1)(12,)AB BC m m m =+==+=+ ，又A ，B ，C 三点共线，即有//AB BC ，因此83(12)0m m -+=，解得32
m =，
所以32m =
.18．已知4a = ，2b = ，且a 与b
夹角为60 ，求：
(1)2a b - ；
(2)a
与a b + 的夹角的余弦值；
(3)若向量2a b λ-
与3a b λ- 垂直，求实数λ的值.
【正确答案】
(1)2a b -=
(3)112
λ=
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得2a b - 的值；
（2）求出a b + 的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得a 与a b +
的夹角的余弦值；（3）分析可知()()
203a b a b λλ-⋅-=
，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于λ的等
式，解之即可.
【详解】（1）解：因为4a = ，2b = ，且a 与b
夹角为60 ，所以，1
cos 604242
a b a b ⋅=⋅=⨯⨯= ，
所以，
22a b -= （2
）解：因为
2a b +=
，
所以，(
)
2cos ,a a b a a b a a b a a b a a b ⋅++⋅+==⋅+⋅+ （3）解：因为向量2a b λ-
与3a b λ- 垂直，
则()()
()()22
22
226332461203a b a a b b a b λλλλλλλλ-⋅==--+⋅+-++= ，
整理可得21160λλ-+=
，解得λ=
λ=
19．已知复数22(2)(23),Z m m m m i m R =++--∈（i 为虚数单位）．（1）当1m =时，求复数
1z
i
+的值；（2）若复数Z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）
17
122
z i i =--+（Ⅱ）(2,1)--【分析】（Ⅰ）将1m =代入，利用复数运算公式计算即可．
（Ⅱ）由复数z 在复平面内对应的点位于第二象限列不等式组求解即可．【详解】（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,∴
3417
1122
z i i i i -==--++.（Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,
∴22
20230
m m m m ⎧+<⎨-->⎩解得21m -<<-，
所以m 的取值范围是()2,1--.
本题主要考查了复数的运算及复数对应的点知识，考查计算能力，属于基础题．
20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；
(2)若a =ABC
ABC 的周长.
【正确答案】(1)π
3
(2)+
【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1
cos 2
A =
，即可求解；
（2）由ABC
4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22
b c a A bc +-∴==，
0πA << ，π3
A ∴=.（2
）a = ，226b c bc ∴+-=①
又1
=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②
由①，②可得b c +=所以ABC
的周长为+.
21．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
sin cos 2A a B b c -=-.
(1)求内角A ；
(2)若ABC
为锐角三角形且a ABC 周长L 的取值范围.
【正确答案】(1)π3
A =
(2)3L <≤【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变化公式，结合三角形内角范围化简求解即可；
（2
）根据正弦定理与三角恒等变换公式可得π6L B ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再根据三角形内角范围求解即可.
【详解】（1）在ABC
sin cos 2A a B b c -=-
，由正弦定理得：
()
sin sin cos 2sin sin 2sin sin B A A B B C B A B -=-=-+()
2sin sin cos cos sin B A B A B =-+化简得
sin 2sin cos sin B A B A B
=-因为()0,πB ∈，所以sin 0B >
2cos A A =-
cos 2A A +=，所以
π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭.因为()0,πA ∈，所以ππ7πππ,,66662
A A ⎛⎫+∈+= ⎪⎝⎭.所以π3A =.（2）在ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A
B =
，所以sin 2sin sin a B b B A ==.同理2sin c C =
，所以周长：π2sin 2sin 2sin 2sin 3L a b c B C B B ⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭
ππ
2sin2sin cos cos sin
33
B B B
⎛⎫
=++
⎪
⎝
⎭
1π
cos2
226
B B B
⎫⎛⎫
=+=+
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎭
，
因为ABC
为锐角三角形，所以
ππ
0,0
22
B C
<<<<，由
2π
3
C B
=-，所以
ππππ2πππ2π
,,
62363363
B B B
<<<+<<+<
sin1
6
Bπ
⎛⎫
<+≤
⎪
⎝⎭
，
所以周长L
的取值范围是：3L
+<≤
22．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||1
OC=
，且∠AOC ＝θ，其中O
为坐标原点．
（1）若θ＝
3
4
π
，设点D为线段OA上的动点，求||
OC OD
+
uuu r uuu r
的最小值；
（2）若[0,]
2
π
θ∈，向量()
,1cos,sin2cos
m BC nθθθ
==--
，求m n⋅
的最小值及对应的θ值．【正确答案】（1
）
2；（2）
m n⋅
的最小值为1，此时8
π
θ=.
【分析】（1）设出D点坐标，求得||
OC OD
+
uuu r uuu r
的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得m n⋅
的最小值及对应的θ值.
【详解】（1）设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知()
22
C-，
所以
22
OC OD t
⎛
+=-+
⎝⎭
，
所以2
21||2
OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭ ，
所以当t =时，||OC OD +uuu r uuu r
最小，最小值为2.（2）由题意得()()cos ,sin ,cos 1,sin C m BC θθθθ==+ ，()1cos ,sin 2cos n θθθ=-- ，则m n ⋅ ＝=1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ
＝124πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭,因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦，所以52444πππθ≤+≤，所以当242ππθ+=，即8πθ=时，sin 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭取得最大值1，m n ⋅
取得最小值1-所以m n ⋅
的最小值为1-8πθ=.。