2020届福建省厦门第一中学高三12月月考数学(理)试题

………外……………
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内
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绝密★启用前 2020届福建省厦门第一中学高三12月月考数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若i 是虚数单位，且复数()(12)z a i i =-+为实数，则实数a 等于（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 2．已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．a b c << D ．c a b << 3．设等边三角形ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1123AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，向量AM u u u u r 与AB u u u r 夹角的余弦值为（ ） A B C ．12 D 4．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ） A ．12 B ．32 C ．116 D ．6
…………装…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※…………装…………○5．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,其准线与双曲线2213y x -=相交于M 、N 两点,若MNF △为直角三角形,其中F 为直角顶点,则p = A ．6 B ．C D ．6．各项均为正数的等差数列{a n }中，a 4a 9=36，则前12项和S 12的最小值为（ ） A ．78 B ．48 C ．60 D ．72 7．已知函数()sin()f x A x ωφ=+，且()(),()()3366f x f x f x f x ππππ+=--+=-，则实数ω的值可能是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．若函数22()log 2ax
f x x x +=+-为奇函数，其中0a >，则使不等式21
()log 60
f m ->成立的m 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞
B ．1
(,1)2 C ．(0,1) D ．(1,)+∞
9．函数()y f x =的定义域为R ，且()()()x f x f x a ϕ=-+，对任意0a <，()x ϕ在R 上是增函数，则函数()y f x =的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数()f x kx =，ln ()x
g x x =，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1
[,]e e 内
有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )
A ．211[,)2e e
B ．11
(,]2e e C ．21(0,)e D ．1
(,)e +∞
11．函数()tan()f x x ωϕ=+(0||,0)2π
ϕω<<>某相邻两支图象与坐标轴分别交于点
2(,0),(,0),63A B π
π
则方程()cos(2),[0,]3f x x x π
π=-∈所有解的和为（ ）．
5π
π
5π
π
○…………外…………线…………○
…
…
…
…
内
…
………线…………12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 的动点，则下列4个命题中正确的有（ ）个
（1）11DC D P ⊥ （2）平面11D A P ⊥平面1A AP （3）1APD ∠的最大值为90o （4）1AP PD + A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++L ，则1278a a a a ++++L 的值为________ 14．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()22224011x y x x y ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪++≥⎪⎩或()2211x y +-≤来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________.
…外…………○…※※…内…………○…15．已知1F 、2F 为双曲线C ：2221(0)2x y b b -=>的左、右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支于点B ，2AF B ∆是等腰直角三角形，22AF B π∠=，则双曲线C 的离心率为____． 16．已知数列{}n b 的前n 项和n S 满足：(1)(2)n n n S b n n =-++，则n S 为__________． 三、解答题 17．在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍.
（1）求sin sin B
C ∠∠；
（2）若1AD =，DC =，求AC 的长.
18．已知数列{}n a ，{}n b ，其中，11
2a =，数列{}n a 的前n 项和2n n S n a = *
()n N ∈，
数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）数列{}n c 满足1
,,n n n n na c b n ⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数
为偶数
，求数列{}n c 的前n 项和n T
.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，,AD BC λ=//,AD BC 90,BCD ∠=o M 为线段PB 上一点．
(1)若1
3λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ?若存在，请确定
M 点的位置；若不存在，请说明理由．
(2)己知2,1PA AD ==，若异面直线PA 与CD 成90o 角，二面角B PC D --的余弦值
为10-，求CD 的长． 20．动点P 到(1,0)F 距离与到直线4x =的距离之比为12，记动点P 的轨迹为C . （1）求出曲线C 的方程，并求出||2||PA PF +的最小值，其中点(1,1)A （2）,M N 是曲线C 上的动点，且直线MN
经过定点1(0,)2
，问在y
轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ；若不存在，请说明理由. 21．已知定义域为R 的函数()n n f x x =（*n N ∈，2n ≥） （1）设21()()(1)n n F x f x f x -=⋅-，求()F x 的单调区间； （2）设'()n f x 为()n f x 导数， （i ）证明：当2a ≥，0x >时，1x a x a +>+； （ii ）设关于x 的方程''11(1)21(1)21n n n n f x f x +++-=+-的根为0x ，求证：001x << 22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）．现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 写出直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ） 过点M （-1，0）且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求|AB |． 23．已知()21f x x x =+-． (1)解关于x 的不等式()4f x >； (2)对任意正数a b 、，求使得不等式()223338f x ab a b <++恒成立的x 的取值集合M .
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先根据复数乘法运算法则化简复数，再由虚部为0，列出式子解出a 即可.
【详解】
()(12)(2)(21)z a i i a a i =-+=++-，
因为复数z 为实数，
故210a -=，解之得12
a =
. 故选：C.
【点睛】
本题考查复数的分类，解题关键是正确区分实数、虚数、纯虚数的概念，属于基础题. 2．A
【解析】
【分析】
根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小.
【详解】
对于0.7log 0.8a =，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<= 1.1 1.1log 0.9log 10b =<=
0.901.1 1.11c =>=
所以：b a c <<
故选：A
【点睛】
此题考查指数对数的大小比较，关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系，利用不等式的传递性解题.
3．D
【解析】
【分析】
根据向量的平方等于模长的平方得到AM u u u u v =，再将1123AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r 两边用AB u u u r 点乘，2,3
AB AM u u u v u u u u v ⋅=由向量点积公式得到夹角的余弦值. 【详解】
22211||()()23AM AM AB AC u u u u v u u u u v u u u v u u u v ==+22111119()()2232336
AB AC AB AC =++⨯⨯⨯⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v
，AM u u u u v =，对1123AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r 两边用AB u u u r 点乘，2112,233
AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v 与AB u u u r
夹角的余弦值为AM AB AM AB ⋅=u u u u v u u u v u u u u v u u u v 故选D.
【点睛】
这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=v v v v ，二是1212a b x x y y ⋅=+v v ，主要应用以下几个方
面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a b a b
θ=v v v v （此时·a b v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a v 在b v 上的投影是a b b
v v v ⋅；（3）,a b v v 向量垂直则0a b ⋅=v v ;(4)求向量ma nb +v v 的模（平方后需求a b
⋅v v ）. 4．C
【解析】
【分析】
根据三视图得到原图，再由割补法得到体积.
【详解】
该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，
由直三棱柱的体积减去小三棱锥的
体积即可得到结果，则其体积为111112*********
V =
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选C.
【点睛】 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
5．D
【解析】
分析：写出抛物线的准线方程，代入双曲线方程求出,M N 的纵坐标，由MNF ∆是直角三角形，知它是等腰直角三角形，从而有2MN p =，由此可解得p ．
详解：抛物线的准线是2p x =-，代入双曲线方程得，22134y p -=，y =，
∵MNF ∆p =，解得p =
故选D ．
点睛：本题考查抛物线的准线方程，解题关键是由MNF ∆是直角三角形，知它是等腰直角三角形，从而有2MN p =，因此只要求出M 点坐标即可得结果，本题是解析几何的基本题型．
6．D
【解析】
试题分析：利用基本不等式，结合等差数列的求和及通项公式，即可求出前12项和S 12的最小值．
解：由题意，a 4+a 9≥2
=12， ∴S 12=（a 1+a 12）=6（a 4+a 9）≥72，
故选D ．
考点：等差数列的性质．
7．B
【解析】
分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到263T k π=
-，再结合2T πω=求得63k ω=-，从而求得结果.
详解：根据题意可知，点(
,0)3π是图像的一个对称点，直线6x π=是图像的一条对称轴，所以会有214366k T πππ-=-=，从而可以求得263
T k π=-()k N *∈，所以有22()63
k N k ππω*=∈-，从而得63k ω=-，从而可以求得可以是3，故选B. 点睛：该题考查了三角函数图像的对称性、周期性等，在做题的过程中，需要我们注意对称中心与对称轴的距离与周期的关系，还有要注意就是取值可以是谁这些关键字.
8．B
【解析】
【分析】 利用函数22()log 2ax f x x x +=+-为奇函数，求出a ，不等式21()log 60f m
->，即不等式21()log 6(1)f f m >=，又22()log 2x f x x x
+=+-在()2,2-上单调递增，即可求出m 的取值范围．
【详解】
∵函数2
2()log 2ax f x x x
+=+-为奇函数， ∴()()f x f x -=-,即2222log log 22ax ax x x x x -+-+=--+-，0a >Q ，∴1a =， 所以22()log 2x f x x x
+=+-，2222(1)1log 3log 2log 3log 6f =+=+=， 不等式21()log 60f m ->，即不等式21()log 6(1)f f m
>=， 函数2
2()log 2x f x x x +=+-的定义域为(1,1)-，
∵22()log 2x
f x x x
+=+-在()2,2-上单调递增， ∴1
21m
>>， ∴
1
12
m <<，即1(,1)2m ∈.
故选：B. 【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题. 9．A 【解析】 【分析】
对于四个选项，举出对应的具体函数()f x ，然后利用函数的单调性验证()x ϕ是否在R 上递增，由此得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，取()2x
f x =，则()()
22
222122x
x a
x a x a x x ϕ+=-=-⋅=-⋅，由于0a <，
故120a ->，故()()122a
x
x ϕ=-⋅为增函数，符合题意.对于B 选项，取()122x
f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，则()11111
122222
x a x
a x x ϕ⎛⎫=-
+⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，由于10,102a a -，故()11122a x x ϕ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭为减函数，不符合题意.对于C 选项，取()3
f x x =，则()()3
32233x x x a ax a x a ϕ=-+=---，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D 选项，取
()f x x =，则()x a ϕ=-，是常数函数，不符合题意.综上所述，选A.
【点睛】
本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题. 10．A 【解析】 【分析】
将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过导数研究函数的单调性即极
值，通过对k 与函数()h x 的极值的大小关系的讨论得到结果. 【详解】
易知当k ≤0时，方程只有一个解， 所以k >0．令2
()ln h x kx x =-，
2121()2kx h x kx x x -=-==
' 令()0h x '=
得x =
，
x =
为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1
[,]e e
内有两个实数解，
所以()01()00
1h e h e h e e
≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪
⎪<<⎪⎩，解得211
[,)2k e e ∈，
故选A. 【点睛】
该题考查的是有关根据方程在某个区间上的根的个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将根的个数转化为函数图象交点的个数来完成，属于中档题目. 11．A 【解析】 【分析】
利用函数()f x 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
可求得2ω=，从而得到()tan 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，求出函数()f x 及()g cos 23x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的对称点，从而发
现它们都关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，在同一坐标系中，作出()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与
()g cos 23x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像，结合图像即可求解．
【详解】
由函数()
()tan 0,02f x x πωϕϕω⎛⎫
=+< ⎪⎝⎭
某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得：236T πππω=-=.解得：2ω=.
所以()()tan 2f x x ϕ=+ 将,06A π⎛⎫
⎪⎝⎭代入上式得：tan 3πϕ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=0，解得：3πϕ+=()k k z π∈，
又02
π
ϕ<<
，所以3
π
ϕ=-
.
所以()tan 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
令23
x π-
=
2
k π
π+，则()5122
k x k z ππ=+∈ 所以()tan 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像关于点5,012
2k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭对称． 令()g cos 23x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭，且23x π-=2
k π
π+， 解得：()5122
k x k z ππ=
+∈. 所以()g cos 23x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像关于点5,012
2k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭对称. 所以函数()tan 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
与()g cos 23x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称. 在同一坐标系中，作出()tan 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
与()g cos 23x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像，如图：
由图可得：函数()tan 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
与()g cos 23x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像在[]0,x π∈上有两个交点，这两个交点关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称. 所以方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
有且只有两个零点12,x x ，且 125212
x x π
+=
. 所以方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝
⎭所有解的和为：1256
x x π
+=. 故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题． 12．C 【解析】 【分析】
分别连接1CD ，1DC ，作出图形后逐一分析：
对于（1），利用线面垂直的判定定理可证1DC ⊥平面11A BCD ，而1D P ⊂平面11D DCC ，故（1）正确；
对于（2），11D A ⊥平面11A ABB ，而平面11A ABB ，就是平面1A AP ， 故平面11D A P ⊥平面1A AP ，从而可判定（2）正确；
对于（3），当10A P <<
1APD ∠为钝角，故可判断（3）错误； 对于（4），将面1AA B 与面11A BCD 沿1A B 展成平面图形，线段1AD 即为1AP PD +的最小
值，通过解三角形11AA D 可求得1AD =4）正确．
【详解】
分别连接1CD ，1DC ，如图：
对于（1），∵11A D ⊥平面11D DCC ，1DC ⊂平面11D DCC ，∴111A D DC ⊥ ,又11A B DC ⊥ ，1111A D A B A =I ，
∴1DC ⊥ 平面11A BCD ，1D P ⊂ 平面11D DCC ，∴11DC D P ⊥，正确； 对于（2），∵平面11D A P 即为平面11D A BC ，平面1A AP 即为平面11A ABB ， 且11D A ⊥ 平面11A ABB ， ∴平面11D A BC ⊥ 平面11A ABB ， ∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，正确；
对于（3），在1D AP ∆中，由余弦定理可知，当102
A P <<
时，1APD ∠为钝角，错误； 对于（4），将面1AA B 与面11A BCD 沿1A B 展成平面图形，线段1AD 即为1AP PD +的最小值，
在11AA D ∆
中，利用余弦定理解三角形得1AD =，正确.
故选：C. 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查空间几何体中直线和平面的位置关系，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题. 13．3- 【解析】
令1x =，得012782a a a a a +++++=-L ，令0x =，得01a =，则
1278213a a a a L ++++=--=-.
点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-. 14
．1【解析】 【分析】
直接利用线性规划知识求最值． 【详解】
如图，作出直线l ：20x y +=，
当直线l 往上平移至与阴影部分的圆()2
211x y +-=的边界相切时，z 最大， 此时圆心()0,1到直线2x y z +=的距离等于半径1，即：
1=
.
解得：1z =+【点睛】
本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题．
15【解析】 【分析】
根据双曲线的定义得12212AF AF BF BF a -=-==2AF B ∆是等腰直角三角
形得22AF BF =,解得224BF AF ==，14BF =-，14AF =+，AB =，再由余弦定理可得到结果. 【详解】
设双曲线的实半轴长为a ，半焦距为c .如图，根据双曲线的定义得
12212AF AF BF BF a -=-==2AF B ∆是等腰直角三角形得22AF BF =，
解得224BF AF ==，14BF =-14AF =+，AB =.在12AF F 中，由
余弦定理得(2
2
2
2
12||444F F c ==++ (244cos
244
π
-⨯⨯+⨯=，解得
c =C 的离心率为
c a ==
【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，
然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 16．111()22
n n S n +=-+ 【解析】 【分析】
当2n ≥时，1n n n b S S -=-，将已知式子变形得：1((1)(2)
)n n n n
S S S n n -=
--++，继而推
出1112()2(1)2n n S S n n --=-+-+，可知数列12n S n ⎧-+⎫⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解n S 即可. 【详解】
当2n ≥时，1n n n b S S -=-，
∴1((1)(2))n n n n S S S n n -=
--++，也即：12(1)(2)
n n n
S S n n -++=+，
1112()2(1)2n n S S n n -∴-=-+-+，即：11
1212(1)2
n n S n S n --
+=-
-+，
当1n =时，1116S b =-，解得：1112S =，111
34
S -=-，
∴数列12n S n ⎧
-+⎫⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，公比为12的等比数列，
∴111
()22n n S n +-
=-+，即111()22
n n S n +=-+. 故答案为：111()22
n n S n +=
-+. 【点睛】
本题考查数列的递推式，解题关键是由1(2)n n n b S S n -=-≥，将已知式子变形得：
1((1)(2))n n n n S S S n n -=
--++，进一步得出数列12n S n ⎧
-+⎫⎨⎬⎩⎭
为等比数列，
考查逻辑思维能力和运算能力，属于难题. 17．（1）
sin 1
sin 2
B C ∠=∠；（2）1AC =.
【解析】 【分析】
（1）先根据面积比得到2AB AC =，再根据平分关系和正弦定理得到
sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠；
（2）根据边角关系，设AC x =，2AB x =， 由ADB ADC π∠+∠=，
知cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理得到cos ADB ∠和cos ADC ∠，建立方程求解即可. 【详解】 （1）由题1sin 2ABD S AB AD BAD =
⋅⋅∠V ，1
sin 2
ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S =V V ，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =， 由正弦定理可知：
sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠；
（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==
，2
DC =
，∴BD = 设AC x =，则2AB x =，
在ABD ∆与ACD ∆中，由余弦定理可知，
2222
cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅
2
2
2
2
3cos 2x
AD CD AC ADC AD CD -+-∠==
⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠
2
2
3
x -=
解得1x =，即1AC =. 【点睛】
本题考查正、余弦定理和三角形中的几何计算，考查计算能力，属于常考题.
18．（1）1(1)n a n n =+，2n
n b =；（2）()
()
21
2
43421,4324214
3n n n n n n T n n n -⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩为奇数，为偶数
. 【解析】 【分析】
（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{}n a 的通项公式，12b =，12n n b b +=，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，由此求出{}n b 的通项公式； （2）当n 为奇数时，()2411
31113n n n T b b b a a na -⎛⎫
=+++++++
⎪⎝⎭L L ， 当n 为偶数时，()2413
1111
3(1)n n n T b b b a a n a -⎡⎤=+++++++⎢⎥-⎣⎦L L ，由此能推出数列
{}n c 的前n 项和n T .
【详解】
（1）因为2n n S n a =*
()n N ∈， 当2n ≥时，2
11(1)n n S n a --=-， 所以22
11(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--，
所以1(1)(1)n n n a n a -+=-，即11
1
n n a n a n --=+， 又11
2
a =
，所以12321123211232111.11432(1)
n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n n n --------=
⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=+-+， 当1n =时，上式成立， 所以1
(1)
n a n n =
+，
因为12b =，12n n b b +=，
所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n
n b =； （2）当n 为奇数时，
()()241
24113
111[24(1)]2223n n n n T b b b n a a na --⎛⎫=+++++++=++++++++ ⎪⎝⎭L L L L
()
1
22141421143421
221443
n n n n n n --⎛⎫- ⎪
+++++⎝⎭=⋅+=+--， 当n 为偶数时，
()()242413
1111(24)2223(1)n
n n n T b b b n a a n a -⎡⎤=+++++++=+++++++⎢⎥-⎣⎦L L L L
()
2241422421
221443
n
n n n n n ⎛⎫- ⎪
++⎝⎭=⋅+=+--， 因此()
()
21
2
43421,43
24214
3n n n n n n T n n n -⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩为奇数，为偶数. 【点睛】
本题考查用累乘法求数列的通项公式，考查数列的求和方法，考查了推理能力和计算能力，属于常考题.数列求和的方法一般有：倒序相加法、分组（并项）求和法、裂项相消法、错位相减法等.
19．（1）存在，点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点；（2）2. 【解析】 【分析】
(1) 延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ．通过证明AM PE P 及1
3
AD BC =，AD BC P 可得M 为PB 上的一个三等分点，且靠近点P ．
(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，分别求得平面1PBC n u v
法向量和平面PCD 的法向量2n u u v
，再根据二面角夹角的余弦值即可得参数t 的值，进而求得CD 的长．
【详解】
解：（1）延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ，则PE ⊂平面PCD .
若AM P 平面PCD ，由平面PBE ⋂平面PCD PE =，AM ⊂平面PBE ，则AM PE P . 由13AD BC =
，AD BC P ，则1
3
PM EA PB EB ==，
故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点.
（2）∵PA AD ⊥，PA CD ⊥，AD CD D ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 则PA ⊥平面ABCD
以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，
则()0,0,2P ，()0,1,0D ，(),1,0C t ，1,1,0B t λ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则10,2,0BC λ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，(),1,2PC t -，
(),0,0CD t -
设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为()1111,,n x y z =u v ，()2222,,n x y z u u v
=.
由1n BC u u u r u v ⊥，1n PC ⊥u u u r u v 得1100n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u v u u u r u v 即1111120
20
y tx y z λ⎧⎛⎫
-=⎪ ⎪⎝
⎭⎨⎪+-=⎩， 令11x =，则12t
z =，故11,0,2t n ⎛⎫= ⎪⎝
⎭u v .
同理可求得()20,2,1n u u v
=.
于是1212
cos n n n n u v u u v u v u u v θ⋅=
=
2t =±（负值舍去）
，故2t =.
∴2CD =. 【点睛】
本题考查了立体几何的证明，空间向量在夹角问题中的综合应用，法向量的求法与用法，属于中档题．
20．（1）22
143
x y +=，最小值为3；
（2）存在，定点(0,6)Q . 【解析】 【分析】
（1）设动点为(,)P x y ，设点P 到直线4x =的距离为d ，由动点P 到(1,0)F 距离与到直线4x =的距离之比为
1
2
，利用直接法求出点的轨迹；又||2||||PA PF PA d +=+，
||PA d +的最小值即为点A 到直线4x =的距离；
（2）假设存在满足题意的定点Q ，设(0,)Q m ，设直线l 的方程为1
2
y kx =+
， 11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22
14312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消去x ，得()
22
344110k x kx ++-=，利用韦达定理以及
MQO NQO ∠=∠，得直线MQ 与NQ 的斜率和为零，建立方程求解m 即可.
【详解】
（1）设动点(,)P x y ，设点P 到直线4x =的距离为d ，
由已知||12PF d =
12
=， 化简得到轨迹C 的方程为：22
143
x y +=，
所以||2||||PA PF PA d +=+，||PA d +的最小值即为点A 到直线4x =的距离，最小值为3；
（2）假设存在满足题意的定点Q ，设(0,)Q m ，设直线l 的方程为1
2
y kx =+
， 11(,)M x y ，22(,)N x y ，
由22
14312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消去x ，得()
22
344110k x kx ++-=， 由直线l 过椭圆内一点1
(0,)2
作直线，故>0∆，
由韦达定理得：
122434k x x k -+=
+，12
2
11
34x x k -⋅=+， 由MQO NQO ∠=∠，得直线MQ 与NQ 的斜率和为零，所以有：
1212
MQ NQ y m y m
k k x x --+=
+， ()1212121212
11122220
kx x m x x kx m kx m x x x x ⎛⎫+-++-+- ⎪⎝⎭=+==， 故：()1212222
111144(6)22023423434k
k m kx x m x x k m k k
k ---⎛⎫⎛⎫+-+=⋅+-⋅==
⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，6m ∴=,
所以存在定点(0,6)，当直线l 斜率不存在时定点(0,6)也符合题意， 综上所述，定点(0,6)Q . 【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的几何性质，考查椭圆中满足某种条件的定点问题，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题.
21．（1）当n 为奇数时()F x 的增区间为21(,)31n n --∞-，减区间为21
(,)31
n n -+∞-；当n 为偶数时()F x 的增区间为21(,
)31n n --∞-及(1,)+∞，减区间为21
(,1)31
n n --． （2）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）对()()21
1n
n F x x
x -=-，求导可得()()()
1
2221'31131n n n F x n x x x n ---⎛
⎫=---- ⎪-⎝
⎭，
分当n 为大于1的奇数，和n 为偶数时两种情况讨论可得()F x 的单调区间； （2）（i ）设()1
x x a
x a ϕ+=--，0x >，求导得()1'ln 1x x a a ϕ+=-，根据()'x ϕ研究
()x 的单调性，ϕ即可得到所证结论；
（ii ）()'1
n n
f
x nx
-=，原方程化为
()
()()
()()1
1121
1121
11n n n
n n x n
n x n x -++-==++-++解得()()()
0121121n n
n x n -+=+-，因为2n ≥，所以00x >；作差得，()()10221121n n n x n ++--=+-，由（i ）知，可得122n n +>+，所以010x -<，即可得证. 【详解】
（1）()()211n
n F x x x -=-， 当*n N ∈，2n ≥时()()()
()
22
1
21'2111n n
n n F x n x nx x ---=----
即()()
()()()()1
1
22
22
21'121131131n n n n n F x x
x n x nx n x x x n -----⎛
⎫⎡⎤=----=---- ⎪⎣⎦
-⎝
⎭
（a ）当n 为大于1的奇数时，1n -是偶数，()1
10n x --≥，220n x -≥，310n ->
当2131n x n -<
-时，()'0F x >，当21
31
n x n ->-时()'0F x < 故()F x 的增区间为21,
31n n -⎛
⎫-∞ ⎪-⎝
⎭，减区间为21,31n n -⎛⎫
+∞
⎪-⎝⎭
当n 为偶数时，1n -是奇数，由于21
131
n n -<-，所以 当2131n x n -<-或1x >时，()'0F x >，当
21
131
n x n -<<-时()'0F x < 故()F x 的增区间为21,
31n n -⎛
⎫-∞ ⎪-⎝⎭及()1,+∞，减区间为21,131n n -⎛⎫
⎪-⎝⎭
综上，当n 为奇数时()F x 的增区间为21,
31n n -⎛
⎫-∞ ⎪
-⎝
⎭，减区间为21,31n n -⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭
， 当n 为偶数时()F x 的增区间为21,31n n -⎛
⎫-∞ ⎪-⎝⎭及()1,+∞，减区间为21,131n n -⎛⎫
⎪-⎝⎭
， （2）（i ）证明：设()1
x x a
x a ϕ+=--，0x >，则()1'ln 1x x a a ϕ+=-，
因为21a ≥>，ln ln20a ≥>，故()'x ϕ在()0,+∞是增函数， 从而()()''0ln 1x a a ϕϕ>=-，由于2a ≥，ln ln20a ≥> 所以ln 2ln ln41a a a >=>，()'0x ϕ>
所以()x ϕ在()0,+∞是增函数，()()00x ϕϕ>=，即1x a x a +>+ （ii ）()'1
n n
f
x nx
-=，原方程化为
()
()()
()()1
1121
1121
11n n n
n n x n
n x n x -++-==++-++ 解得(
)()()
0121121n n n x n -+=+-，因为2n ≥，所以00x >；
作差得，()()
1
0221121
n n n x n ++--=+-，
由（i ）知，当2a ≥，0x >时，1x a x a +>+，
令2a =，x n =，故有122n n +>+，所以010x -<，01x <， 综上，001x << 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题． 22．（Ⅰ）x -y -6=0．x 2+y 2-6x =0（Ⅱ）2 【解析】 【分析】
（Ⅰ）消去参数方程中的参数可得直线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形后结合转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）由直线l 1与直线l 平行可得直线l 1的参数方程，代入曲线C 的方程后根据参数的几何意义可求得弦长AB ． 【详解】
（Ⅰ）
由6x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消去参数t ，得直线l 的普通方程为60x y --=．
又由6cos ρθ=得2
6cos ρρθ=，
将222
,cos x y x ρρθ=+=代入上式得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=．
（Ⅱ） 由题意得过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线l 1
的参数方程为12
.2x t y ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
将其代入2260x y x +-=
整理得270t -+=， 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，
则12127t t t t +==，
所以122AB t t =-==． 【点睛】
直线的参数方程中，只有当参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：
||t 是直线上任一点(,)M x y 到000(,)M x y 的距离，即0||||M M t =，利用此几何意义可解决
弦长问题．
23．（1）1x <-或53x >；（2）24
{|}33
M x x =-<<. 【解析】 【分析】
(1)对x 的范围分类，分段表示出()f x ，即可求解()4f x >。

(2)利用基本不等式即可求得2
2333
8
ab a b ++的最小值，把问题转化成213x x +-<，对x 的范围分类即可求解。

【详解】
解：（1）()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-+≤⎪
⎪
=+-=-<<⎨⎪
⎪
-≥⎪⎩
，
由()4f x >解得1x <-或53
x >
. （2
）∵
22333388ab ab a b ++≥
6338ab ab =+≥=. 当2a b ==时等号成立，即知()213f x x x =+-<. 解不等式，
分情况讨论：①当0x ≤时，313x -+<，故2
03
x -
<≤；
②当
1
2
x≥时，313
x-<，故
14
23
x
≤<；
③当
1
2
x
<<，满足13
x
-<.
∴x的取值集合为
24
{|}
33
M x x
=-<<.
【点睛】
本题主要考查了含两个绝对值的不等式解法及基本不等式得应用，考查了分类思想及转化思想，考查计算能力，属于中档题。