人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》二次函数教学说课复习课件

即定价65元时，最大利润是6 250元.
若降价销售
（1）每件降价元，每星期售出商品的利润为元，填空：
单件利润（元） 销售量（件）
正常销售
降价销售
20
−
300
+
每星期利润（元）
6 000
( − )( + )
建立函数关系式： = ( − )( + )，
数关系图象如图所示.
（1）求与的函数关系；
（2）在保证产品全部销售的情况下，产品每件利润定为多少
元时公司销售产品和产品每月可获得总利润 万元 最大，最
大利润是多少？
（2）根据题意得，
解：
= × + −. +
= −. + +
最大面积是多少？
思考1
我们可以设面积为S，如何设自变量？
设垂直于墙的边长为x米
思考2

面积S的函数解析式是什么？

−
＝(－)＝－＋
思考3
自变量x的取值范围是什么？墙长34 m对有什么限制作用？
＜－ ≤ ，即 ≤ ＜
可画出图 象找顶 点
思考4

时，最大

=

.



+
，

课堂小结
依据常见 几何图 形的面 积公式 建立函 数关系 式
解题关键
函数 = +
+ 的顶点
几何图形
最大面积
问题

−
− ，


最值有时 不在顶 点处， 此时要 利用函 数的增 减性来 确定
注意
随堂训练
1. 某种正方形合金板材的成本（元）与它的面积成正比，设边长为厘
由于 ＞ ，因此需要利用函数的增减性求其最值.
当 = 时，有最大值418.

+
注意
实际问题中求解二次函数最值问题时，函数的最值要考虑自变量的取
值范围：
（1）当自变量的取值包含顶点时，函数的最值在函数的顶点处取得；
（2）当自变量的取值不包含顶点时，函数的最值一般在端点处取得，此
单件利润（元） 销售量（件）
正常销售
涨价销售
20
+
每星期利润（元）
300
6000
−
( + )( − )
建立函数关系式： = (20 + )(300 − 10),
即 = −102 + 100 + 6000.
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格上涨，则销量下降，因此只考虑销售量即可，
（2） = − − + .(配方法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：直线 = ；
顶点坐标： （， − ）；最小值：−；


（2）开口方向：向下；对称轴：直线 = − ；
顶点坐标：


− ，


；最大值：


.
知识讲解
二次函数解决几何图形面积的最值问题
例1
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩
= + ,
∴ ቊ
= −. ，
= ,
∴ = −. + .
200，6
300，3
例
某公司每月生产产品4万件和同类新型产品若干万件.产品每件销
售利润200元，且在产品销售量每月不超过3万件时，每月4万件产品能
全部销售，产品的每月销售量（万件）与每件销售利润（元）之间的函
故当产品每件利润定为300元时， 最大，为1 700万元.
课堂小结
建立函数
关系式
商品销售
最大利润
问题
确定自变量
取值范围
确定
最大
利润总利润=单ຫໍສະໝຸດ 利润×销售量或总利润=总售价-总成本
涨价:要保证销售量≥0
降件:要保证单件利润≥0
利用配方法或公式法求最大值或
利用函数简图和性质求出
随堂训练
1.
某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅
（1）求与的函数关系式；
（2）在保证产品全部销售的情况下，产品每件利润定
为多少元时公司销售产品和产品每月可获得总利润
万元 最大，最大利润是多少？
解：（1）设与的函数关系式为 = + （ ≠ ），其图象经过点
， ， ， ，
∴ ቊ
= + ，
解：（1）根据题意得， + +
≈ + = ,
整理得， = − ；
根据 − > ，


得的取值范围是： < < .




设面积为，则 = − + = −
+ = −
−




当 =
即
= −2 + 30(0 < < 30).
因此，当 = −


−
S有最大值

=−
=

× −
−
× −
= 时，
= .
也就是说，当是15 m时，场地的面积最大.
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜
园，墙长34m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？
米，当 = 时， = ，那么当成本为元时，边长为（ A ）
A. 6厘米
B. 12厘米
C. 24厘米
D. 36厘米
C
2.如图所示，在△中，∠ = °， = ， =
Q
，动点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动（不与
点B重合），动点Q从点B开始沿 BC以4cm/s的速度移动（不
形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
思考1 矩形面积公式是什么？
矩形面积=长×宽
思考2
如何用l表示另一边？
−
思考3
面积S的函数关系式是什么？
= ( − )
解:矩形场地的周长是60 m，一边长为 m，所以另一边长
60
为
− m. 场地的面积
2
= (30 − ),
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润.
例
某公司每月生产产品4万件和同类新型产品若干万件.产品每件销售利润200元，
且在产品销售量每月不超过3万件时，每月4万件产品能全部销售，产品的每月销售
量（万件）与每件销售利润（元）之间的函数关系图象如图所示.
= −. − + .
∵ ≤ ，即 − . + ≤ ，
∴ ≥ .
= −. +
∵ ≥ 时，随的增大而减小，
∴ 当＝时，有最大值.
当＝时， = −. − + = 万元 .
每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销
量增加10件，当销售单价为
50 元时，每天获取的利润最大.
3. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系： = 2 +
− 75.其图象如图所示.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
故300 − 10 ≥ 0，且 ≥ 0,因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 30.
（3）涨价多少元时利润最大，最大利润是多少？
= −102 + 100 + 6 000，
当 = −
100
2× −10
= 5时, = −10 × 52 + 100 × 5 + 6 000 = 6 250.
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多
卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
销售问题中的梳理关系
（1）销售额=售价×销售量;
（2）利润=销售额−总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价−进价.
分析：
若涨价销售
（1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，填空：
(2)由对称性知 = 16时， = 7和13.
与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过
3
秒，四边形APQC的面积最小.
A
P
B
3. 某广告公司设计一幅周长为16 m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1 000元，
设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
当 =−
值 =

时，二次函数

−
.

= + + 有最小（大）
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
第二十二章 二次函数
实际问题与二次函数
第1课时
课件
学习目标
1 能够从实际问题中抽象出二次函数关系.
2 会运用二次函数知识求实际问题中的最大值或最小值，解决实
际问题.
3 能应用二次函数的性质解决图形中的最大面积问题．
温故知新
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1） = − − ；(公式法)
此时最大 = −20×2.52 + 100 × 2.5 + 6 000 = 6 125，
即定价57.5元时利润最大，最大利润是6125元.
综合可知，应定价65元才能使利润最大，最大为6250元.
★ 求解最大利润问题的一般步骤
（1）依据“总利润=总售价−总成本”或“总利润=单件利润×
销售量”建立利润与价格之间的函数关系式；
第二十二章 二次函数
实际问题与二次函数
第2课时
课件
学习目标
1 会运用二次函数的性质解决商品销售中的最大利润问题.(重点）
2 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
温故知新

如何求出二次函数 = + + 的最小（大）值？
答：抛物线 = + + 的顶点是最低（高）点，
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
16
∵−1 < 0，对称轴为直线 = 10，
∴当 = 10时，y值最大，最大值为25.
O
5 7
即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.
x为何值时面积取得最大值？
当 = 15 m时，最大 = m2
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜
园，墙长22 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，
最大面积是多少？
思考1
仿照变式1设未知数、列函数解析式.
设垂直于墙的边长为x m，则
＝(－)＝－＋.
馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床
位每天收费提高20元，则相应减少10张床位租出.如果每张床
位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，
那么每张床位每天最合适的收费是（
B
A. 140元
B. 160元
C. 180元
）
D. 200元
2.某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，
解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（ − ）.
根据题意，得 = 8 − = −2 + ，其中0＜ <8.
() = − + = −( − ) +16，
∴当 =4时，即矩形的一边长为4m时，矩形面积最大，为16m2.
这时设计费最多，为16×1 000=1 6000（元）.
时要考虑函数的增减性.
如图所示的窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩
形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6 m.（π取3）
例2
（1）若设扇形半径为，请用含的代数式表示出的长,并求出的取值范围.
（2）当 为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）
即： = − + + .
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格下降，则销量上升，因此只要考虑单件利润即可，故20 − ≥ 0，
且 ≥ 0，因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 20.
（3）涨价多少元时利润最大，是多少？
= −202 + 100 + 6 000，
思考2
若设与墙平行的一边为x m，则另一边如何表示？
设矩形面积为S m2,与墙平行的一边为x m，则
−

=
∙ = − + .


−

=−
思考3

−

当x=30时，S是否取得最大值？
不是
思考4
自变量的取值范围是什么？
＜ ≤
思考5
如何确定的最大值？