阶跃响应与冲激响应

解 特征函数为 对冲激响应，强迫函数为
fT (t) e2t (t) e3t (t) (e2t e3t ) (t) f (t) '(t)
则冲激响应为 h(t) fT (t) f(t) (e2t e3t ) (t) '(t) (3e3t 2e2t )(t)
对阶跃响应，强迫函数为 f (t) (t)
激励
f(t)
LTI系统
零状态
响应
yzs (t)
yzs (t) h(t) f (t)
LTI系统对任意信号的零状态响应 ，可以由输入信号与系 统冲激响应的卷积得到。
LTI系统零状态响应
例 3 已 知 某 LTI 系 统 的 起 始 状 态 为 零 ， 当 输 入 为 f (t) (t) 时 ， 输 出 为 y(t) 2e2t (t) (t) 。当输入为 f (t) 3et (t) ，求对应的输出 y(t) 。
信号与系统
第9讲 冲激响应和阶跃响应
冲激响应与阶跃响应的重要性
冲激响应与阶跃响应都是零状态响应。
冲激信号和阶跃信号是两种典型的基本信号，由这两种 信号引起的零状态响应是线性系统分析中的典型问题。
由于任意信号都可以分解为冲激信号和阶跃信号的组合， 可借助冲激响应和阶跃响应，通过卷积积分求系统对任 意信号的零状态响应。
则阶跃响应为
s(t) fT (t) f(t) (e2t e3t ) (t) (t) (e2t e3t )(t)
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
例2 系统如图所示，讨论以下4种 情况下的冲激响应与阶跃响应
(1)R 4 L 1H C 1 F 3
(2)R 2 L 1H C 1F
(3)R 1 L 1H C 1F
特征根为
1 1 2 3
h(t) uC (t) f(t) fT (t)
3 (t) 1 et e3t t 1.5 et e3t t 2
s(t) 11.5et 0.5e2t t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
s(t) 1
O
（2）临界阻尼下，代入元件数值
R 2 L 1H C 1F
单位冲激响应与单位阶跃响应是特殊激励下的零状态响应
将上式中的 f (t)分别换成 (t) 和 (t)
即
h(t) fT (t) f(t) f (t) (t)
s(t) fT (t) f(t) f (t) (t)
冲激响应与阶跃响应的求解方法
例1：二阶系统的微分方程为 y''(t) 5y'(t) 6y(t) f '(t) 求其冲激响应和阶跃响应。
(4)R 0 L 1H C 1F
it
R
t
L
C Uc t
系统的微分方程为
uC'' (t)
R L
uC' (t)
1 LC
uC (t)
1 LC
(t)
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（1）过阻尼下，代入元件数值
R 4 L 1H C 1 F 3
得到 uC'' (t) 4uC'(t) 3uC (t) 3 (t)
LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响 应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s( t )。
阶跃响应与冲激响应的关系
根据系统的微分特性、积分特性，则有
h(t) ds(t) dt
t
s(t) h( )d
冲激响应与阶跃响应的求解方法
根据零状态响应求解的一般方法： yzs (t) f(t) fT (t)
(2)R 2 L 1H C 1F
(3)R 1 L 1H C 1F
(4)R 0 L 1H C 1F
uC'' (t)
R L
uC' (t)
1 LC
uC (t)
1 LC
(t)
it
R
t
L
C Uc t
说明在同一系统结构下，系统的元器件参数如何影响系统 的冲激响应和阶跃响应； 系统冲激响应和阶跃响应如何反应系统的结构和参数变化
解 由题意，系统的单位阶跃响应为
s(t) 2e2t (t) (t)
则系统的单位冲激响应为
h(t) s(t) 4e2t (t) 2 (t) (t)
所以，当输入为
f (t) 3et (t) 时
对应的零状态响应为
yzs (t) f (t) * h(t) 3et (t) *[ (t) 2 (t) 4e 2t (t)] 3 (t) (9et 12e2t ) (t)
得到 uC'' (t) 2uC'(t) uC (t) (t)
特征根为
1 2 1
h(t) uC (t) fT (t) f(t) (t) tet t tet t
t
s(t) 1 et tet t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（3）欠阻尼下，代入元件数值
R 1 L 1H C 1F
R 0 L 1H C 1F
s(t)
得到 uC'' (t) uC (t) (t)
特征根为
1 j1 2 j1
1
h(t) uC (t) fT (t) f(t) sin t t
O
t
s(t) 1 cost t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
(1)R 4 L 1H C 1 F 3
s(t) 1
O
得到 uC'' (t) uC' (t) uC (t) (t)
特征根为
1
1 2
j
3 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1 2
j
3 2
h(t) uC (t)
fT (t) f(t)
t
e 2 sin(
3
3 t) t
2
t
s(t) 1
2 3
e
t 2
sin
3 2
t
60o
t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（4）无阻尼下，代入元件数值
冲激响应和系统函数与系统的稳定性有直接关系。
工程上常用二阶系统的阶跃响应的性能指标来评价一个 系统的性能。
冲激响应的定义
系统在零状态下，由单位冲激信号 作用产生的响应，称 为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。
(t)
0
t
(t)
连续LTI系统 起始状态为零
h(t )
h(t )
0
t
阶跃响应的定义
LTI系统的零状态响应--另一种方法
激励
(t)
(t-)
f()(t-)
f ( ) (t - )d
-
‖
f (t)
LTI系统
零状态
响应
h(t) 冲激响应
h(t-) （时不变性）
f()h(t-) （齐次性）
f ( )h(t - )d （可加性）
-
‖
f (t ) h(t )
零状态响应 yzs (t)
LTI系统的零状态响应--另一种方法