最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数()x f x e ex a =-+与1
()ln g x x x
=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,]e -∞- B ．(,1] -∞-
C ．[1,) -+∞
D ．[,
)e
2．已知3()ln 44x f x x x
=-
+，2()24g x x ax =--+，若对1(0,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．1[,)8
-+∞
B ．258ln 2[
,)16
-+∞ C ．15
[,]84-
D ．5(,]4
-∞
3．已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c + （ ） A ．有最小值
152 B ．有最大值
15
2 C ．有最小值152
- D ．有最大值152
-
4．已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)e
B ．(0，1
]e
C ．1(2，)e e
D ．1(2，]e
e
5．若函数()2
2ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞
D ．()8,+∞
6．等差数列{a n }中的a 2、a 4030是函数3
21()4613
f x x x x =-+- 的两个极值点，则lo
g 2（a 2016）=（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象（如图所示）与x 轴分别交于原点、点
(2,0)-和点(2,0)，若3-和3是函数()f x 的两个零点，则不等式()0f x >的解集（ ）
A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞
B ．(-∞，3)(3-，)+∞
C ．(-∞，3)(0-⋃，2)
D ．(3-，0)(3⋃，)+∞
8．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（） A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
9．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为
A ．r 2
B 3
C ．
33
r D ．r
10．f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）+x •f '（x ）＜0，且f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣3，0）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
11．已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有
()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为（ ）
A ．
33
8
B ．
32
C ．
33
4
D ．
23
3
12．设02m <≤，已知函数()31250
16x x f x m -+=，对于任意[]12,2,x x m m ∈-，都有
()()121f x f x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．5,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
二、填空题
13．定义在R 上的函数()f x 满足：()()2
2f x f x x -+=，且当0x <时，()2f x x '<，
则不等式()()424f x f x x +≥-+的解集为______.
14．函数()3
33f x x bx b =-+在()0,1内有且只有一个极小值，则实数b 的取值范围是
________
15．若函数()sin 2x
x
f x e e
x -=-+，则不等式()()2210f x f x -+>的解集为________.
16．设动直线x m =与函数()3
2f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则线
段MN 长度的最小值为______．
17．关于x 的不等式2ln 0x x kx x -+≥恒成立，实数k 的取值范围是__________. 18．现有一块边长为3的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是______. 19．若函数()2
122
f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________.
20．若函数()3
2
ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______.
三、解答题
21．已知函数()()211
ln ,022
f x x a x a R a =
--∈≠. （1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 22．已知函数()42ln a
f x ax x x
=-
-. （1）当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围； （3）设函数6()e
g x x
=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围.
23．已知函数2(),()sin x f x ae x g x x bx =+=+，一条直线与()f x 相切于点(0,)a 且与
()g x 相切于点,12
2b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求a ，b 的值；
（2）证明：不等式()()f x g x >恒成立.
24．已知函数()2
(1)x
f x x e ax =--，（a R ∈）．
（1）若1
2
a =
，求()f x 的极值； （2）若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．
25．已知函数2
2()ln a f x a x x x
=⋅++(0a ≠).
（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；
（2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()2
g a e ≤
. 26．已知函数32()f x x ax bx c =+++．f （x ）在点x=0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5上具有相反的单调性． （1）求实数b 的值； （2）求实数a 的取值范围
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据题中条件，得到方程1ln x
a e ex x x ⎛⎫
=--++
⎪⎝
⎭
有解，令1()ln x h x e ex x x ⎛
⎫=--++ ⎪⎝
⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，对函数()
h x 求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果. 【详解】
函数()x f x e ex a =-+与1
()ln g x x x
=+
的图象上存在关于x 轴对称的点， 即方程1ln 0x
e ex a x x -+++
=有解，即方程1ln x a e ex x x ⎛
⎫=--++ ⎪⎝⎭有解，
令1()ln x
h x e ex x x ⎛⎫
=--++ ⎪⎝
⎭
，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域， 因为()22111()x
x x h x e e e e x x x -⎛⎫⎡
⎤'=--+
-=--+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦， 所以当1x =时，()0h x '=； 当01x <<时，0x e e -<，
210x x -<，所以()21()0x
x h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣
⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛
⎫=--++ ⎪⎝
⎭单调递增；
当1x >时，0x e e ->，
210x x ->，所以()21()0x
x h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦
，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛
⎫=--++ ⎪⎝
⎭单调递减；
所以max ()(1)1h x h ==-， 画出函数()h x 的大致图像如下，
由图像可得，()(],1h x ∈-∞-， 所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.
2．A
解析：A 【分析】
先求()f x 最小值，再变量分离转化为对应函数最值问题，通过求最值得结果 【详解】 因为()(]3
ln x 0,244x f x x x
=-+∈，， 所以22
113(1)(3)()01444x x f x x x x x ---'=
--==⇒=,(3舍去) 从而01,()0;12,()0;x f x x f x ''<<<<<>即1x =时()f x 取最小值1
2
， 因此[]
x 1,2∃∈，使得
21242x ax ≥--+成立，724x a x ≥-+的最小值，因为724x x -+在[]1,2上单调递减，所以7
24x
x -+的最小值为2
7
1
288-+=-，因此1
8a ≥-，选A.
【点睛】
本题考查不等式恒成立与存在性问题，考查综合分析与转化求解能力，属中档题.
3．D
解析：D 【解析】
试题分析：由f （x ）在[-1，2]上是减函数，知f′（x ）=3x 2+2bx+c≤0，x ∈[-1，2]， 则f′(-1)=3-2b+c≤0,且f′(2)=12+4b+c≤0，⇒
15+2b+2c≤0⇒b+c≤-15
2
，故选D.
考点：本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
点评：解决该试题的关键是先对函数f （x ）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c 的关系，得到答案．
4．A
解析：A 【分析】
f （x ）＝kx 可变形为k lnx
x
=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnx
x
=
的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1
e
=
，画草图即可得解． 【详解】 设g （x ）()f x lnx x
x
==
， 又g ′（x ）2
1lnx
x -=
， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e
=
， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1
e
）， 故选A ．
【点睛】
本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.
解析：B 【分析】
对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】
因为函数()2
2ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+
所以()2
8f x x b x
'=
++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()2
80f x x b x
'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以2
8b x x
>-
-， 设()2
8g x x x
=-
-，则()max b g x > ()2
28g x x '=
- 令()0g x '=，得到1
2
x =
，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
所以8b >-，
故选B. 【点睛】
本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】
2240302016220162()86084,log log 42f x x x a a a a =-+=∴+=⇒='== ，选A.
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，注意利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.
解析：B 【分析】
根据()y xf x '=的图像可得()'f x 在R 上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合()f x 的零点画出()f x 的简图，进而求得不等式()0f x >的解集.
【详解】
由图，当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>，故()0f x '<，()f x 为减函数； 当()2,0x ∈-时()0xf x '<，故()0f x '>，()f x 为增函数； 当()0,2x ∈时()0xf x '<，故()0f x '<，()f x 为减函数； 由图，当()2,x ∈+∞时()0xf x '>，故()0f x '>，()f x 为增函数； 又3-和3是函数()f x 的两个零点，画出()f x 的简图如下：
故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.
8．B
解析：B 【分析】
设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值． 【详解】
设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），
∴|AB |＝211a a lna a lna +-
+=+-（）， 令y 1x lnx =+-，则y ′=11
x
-
， ∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝
2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.
故选B ． 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．
9．D
解析：D 【解析】
设=COB θ∠，则上底为2cos r θ，高为sin r θ， 因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022
S r r r r πθθθθθ=
+=+∈，（，） 因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=， 得1cos 2θ=
，根据实际意义得1
cos 2
θ=时，梯形面积取最大值，此时上底为2cos =r r θ，选D.
点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.
10．B
解析：B 【分析】
构造函数()()g x xf x =，根据条件确定()g x 奇偶性与单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】
令()()g x xf x =，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （x ）是定义在R 上的奇函数，
当x ＜0时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，又(0)0g = 因此()g x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （﹣3）＝0，所以(3)0(3)0g g -=∴=， 当(3,0)x ∈-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <-=∴<>； 当(,3)x ∈-∞-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >-=∴><； 当(0,3)x ∈时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >=∴>>； 当(3,)x ∈+∞时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <=∴<<； 综上，不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，0）∪（0，3） 故选：B 【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．C
解析：C 【分析】
令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()3
1h t t t =-，则()2
()f x h t =，利用导数可求
()max 27
256
h t =
，从而得到()f x 的最值，故可得M 的取值范围，从而得到正确的选项. 【详解】
3()2cos sin f x x x =，故622()4cos sin f x x x =，
令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()3
1h t t t =-，则()2
()4f x h t =，
又()()()()()322
131114h t t t t t t '=---=--， 若10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，则()0h t '>，故()h t '在10,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
为增函数；
若1,14t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '<，故()h t '在1,14⎛⎤
⎥⎝⎦
为减函数； 故()max 27256h t =
，故2
max 27()64
f x =，
所以max ()8
f x =
，min ()8f x =-，
当且仅当1sin 4cos 4x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取最大值，当且仅当1sin 4cos 4x x ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
时取最小值，
故M ≥
M
故选：C. 【点睛】
本题考查与三角函数有关的函数的最值，注意通过换元法把与三角函数有关的函数问题转化为多项式函数，后者可以利用导数来讨论，本题属于中档题.
12．B
解析：B 【分析】
令()3
1250g x x x =-+，用导数法得到()g x 在[]
2,m m -上递减；再根据02m <≤，
则()f x 在[]
2,m m -上递减，然后再根据对任意[]12,2,x x m m ∈-，都有
()()121f x f x -≤，由()()max min 1f x f x -≤求解.
【详解】
设()3
1250g x x x =-+，
则()()
22
31234g x x x '=-=-，
当2x <-或2x >时()0g x '>，()g x 递增；
当22x -<<时()0g x '<，()g x 递减；
当02m <≤时，[]
2,m m - []22-,， 所以()g x 在[]
2,m m -上递减；
所以()f x 在[]2,m m -上递减；
所以()()()()max min 2,f x f m f x f m =-=
因为任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()1
2
1f x f x -≤， 所以()()max min 1f x f x -≤，
即()()
()()3
32122501250
211616m m m m f m f m m m
---+-+--=
-≤，
即23280m m +-≥， 解得2m ≤-或4
3
m ≥
，又02m <≤， 所以实数m 的取值范围为4,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题关键有两点：一是对任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤等价于()()max min 1f x f x -≤，二是()f x 在[]
2,m m -上的单调性，由
()31250g x x x =-+，利用导数法求解. 二、填空题
13．【分析】先由两边对求导根据题意得到推出时都有构造函数对其求导得到在上单调递减再由将原不等式化简得到根据函数单调性即可求出结果【详解】因为两边对求导得到令则因为当时所以因此又直线过原点所以因此时都有； 解析：(],1-∞
【分析】
先由()()2
2f x f x x -+=两边对x 求导，根据题意，得到()f x x '-<-2，推出x ∈R 时，
都有()2f x x '<，构造函数()()()424F x f x f x x =+---，对其求导，得到()F x 在
R 上单调递减，再由()10F =，将原不等式化简得到()()1F x F ≥，根据函数单调性，
即可求出结果. 【详解】
因为()()2
2f x f x x -+=，
两边对x 求导，得到()()4f x f x x ''--+=， 令0x >，则0x -<， 因为当0x <时，()2f x x '<， 所以()f x x '-<-2，
因此()()42f x x f x x ''=+-<， 又()00f =，直线2y x =过原点，
所以()00f '≤，因此x ∈R 时，都有()2f x x '≤； 令()()()424F x f x f x x =+---，
则()()()()2422240F x f x f x x x '''=+--<---=， 即函数()F x 在R 上单调递减， 又()()()114140F f f =+--=，
所以不等式()()424f x f x x +≥-+可化为()0F x ≥，即()()1F x F ≥， 所以1x ≤，
即原不等式的解集为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题主要考查由函数单调性解不等式，以及导数的方法判定函数的单调性，属于常考题型.
14．【分析】对函数求导得令得在根据题意求解即可【详解】对函数求导得因为函数在内有且只有一个极小值所以有实数根所以所以根据图像在和上单调递增在上单调递减所以当时函数取得极小值故由题知所以故答案为：【点睛】 解析：()0,1
【分析】
对函数求导得()2
'33f x x b =-，令()'=0f x ，得x =0b >，在根据题意
()
0,1求解即可.
【详解】
对函数()3
33f x x bx b =-+求导得，()2
'33f x x b =-，
因为函数在()0,1内有且只有一个极小值，
所以()2
'33=0f x x b =-有实数根，所以0b >，x =
所以根据()2
'33f x x b =-图像，
()
f x 在(-∞-，
和)+∞上单调递增，在(上单调递减，
所以当x =
()0,1，所以()0,1b ∈
故答案为：()0,1 【点睛】
本题考查函数导数与极值的关系，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解．
15．【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；利用导数可得到的单调性；将不等式转化为利用单调性可得自变量的大小关系解不等式可求得结果【详解】由题意得：为上的奇函数且不恒等于零在上单调递增等价于解得：故答
解析：()
1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数；利用导数可得到()f x 的单调性；将不等式
转化为()
()2
21f x f x ->-，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.
【详解】
由题意得：()()2sin2x
x f x e
e x
f x --=--=- ()f x ∴为R 上的奇函数
()2cos2x x f x e e x -'=++,2x x e e -+≥，2cos 22x ≤，()0f x '∴≥且不恒等于零 ()f x ∴在R 上单调递增
()()2210f x f x -+>等价于()()()221f x f x f x ->-=-
2
21x x ∴->-，解得：()1
,1,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭
故答案为：()1,1,2⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.
16．【分析】构造函数利用导数求得的最小值进而求得线段长度的最小值【详解】构造函数则所以在上递增令解得所以在上递增在上递减所以的最小值为也即的最小值为故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值 解析：
()1
1ln 63
+ 【分析】
构造函数()()()()0h x f x g x x =->，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得线段MN 长度的最小值. 【详解】
构造函数()()()()3
2ln 0h x f x g x x x x =-=->，
则()()'2''211
6,120h x x h x x x x
=-
=+>， 所以()'
h x 在()0,∞+上递增，令()'
0h x =解得1
3
6x -==. 所以()h x 在130,6-⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在13
6,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递减，
所以()h x 的最小值为()3
1
11
33
3111
626ln 6ln 61ln 6333h -
-
-⎛⎫⎛⎫=⨯-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
也即MN 的最小值为()1
1ln 63
+. 故答案为：()1
1ln 63
+ 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
17．【分析】根据不等式恒成立分离参数并构造函数求得导函数结合导数性质可判断的单调区间与最小值即可求得的取值范围【详解】在恒成立即恒成立即令则当即解得当即解得所以在上为减函数在上增函数所以所以故答案为：【
解析：1,1e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【分析】
根据不等式恒成立，分离参数并构造函数()ln 1g x x x =+，求得导函数()g x '，结合导数性质可判断()g x 的单调区间与最小值，即可求得k 的取值范围. 【详解】
2ln 0x x kx x -+≥在()0,∞+恒成立，即ln 10x x k -+≥恒成立，即ln 1k x x ≤+，
令()ln 1g x x x =+，则()ln 1g x x '=+， 当()0g x '≥，即ln 10x +≥，解得1
x e ≥
， 当()0g x '<，即ln 10x +<，解得10x e
<< 所以()g x 在10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上增函数， 所以()min 1111ln 11g x g e e e e
⎛⎫
==
+=- ⎪⎝⎭
，
所以11k e
≤-
故答案为：1,1e
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查了分离参数与构造函数法的应用，由导函数求函数的最值及参数的取值范围，属于中档题.
18．【分析】根据题意得到方盒底面是正方形边长为高为建立方盒容积的函数模型为再用导数法求解最值【详解】由题意得：方盒底面是正方形边长为高为所以方盒的容积为当时时所以当时取得最大值最大值为2故答案为：2【点 解析：2
【分析】
根据题意得到方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，建立方盒容积的函数模型为
()2
323
324129,02
V x x x x x x =-⨯=-+<<
，再用导数法求解最值. 【详解】
由题意得：方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，
所以方盒的容积为()2
32
3324129,02
V x x x x x x =-⨯=-+<<
， 213122491222V x x x x ⎛
⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
当102
x <<
时，0V '>，13
22x <<时，0V '<，
所以当1
2
x =
时，V 取得最大值，最大值为2. 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查导数的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．【分析】对函数求导要满足题意只需导函数在定义域内有两个零点数形结合即可求得【详解】由可得函数定义域为且若满足有两个不同的极值点则需要满足有两个不同的实数根即在区间上有两个不同的实数根也即直线与函数有 解析：()0,1
【分析】
对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得. 【详解】 由()2
122f x x x aInx =
-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x
=+-'
若满足()f x 有两个不同的极值点， 则需要满足()20a
f x x x
=-'+
=有两个不同的实数根， 即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根，
也即直线y a =与函数()2
2,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，
在直角坐标系中作图如下：
数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈. 故答案为：()0,1. 【点睛】
本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.
20．【分析】转化条件得有两个不同实数根令通过导数画出函数的草图后数形结合即可得解【详解】函数的定义域为函数函数有两个不同的零点即为有两个不同实数根令则当时单调递增；当时单调递减可画出函数的草图如图：由图 解析：(),0-∞
【分析】
转化条件得2ln a x x x =-+有两个不同实数根，令()2
ln g x x x x =-+，通过导数画出
函数()g x 的草图后数形结合即可得解. 【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，
∴函数()32322ln 0ln ln f x x x x x ax ax x x x x a x x x =-+-=⇔=-+⇔=-+， ∴函数()f x 有两个不同的零点即为2ln a x x x =-+有两个不同实数根，
令()2
ln g x x x x =-+，则()()()2111
21x x g x x x x
+-+'=
-+=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；
当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.
()10g =，
∴可画出函数()g x 的草图，如图：
由图可知，要使2ln a x x x =-+有两个不同实数根，则0a <. 故答案为：(),0-∞. 【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.
三、解答题
21．（1）22y x =-+；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞.
【分析】
（1）求出切点坐标和切线的斜率即得解； （2）先求导再对a 分类讨论即得函数的单调区间；
（3）任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥，再对a 分类讨论即得解. 【详解】
（1）3a =时，()211
3ln 22
f x x x =
--，()10f = ()3
f x x x
'=-，()12f '=-
∴()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为22y x =-+ 所以所求的切线方程为22y x =-+;
（2）()()20a x a
f x x x x x
-'=-=>
①当0a <时，()20x a
f x x
-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+
②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =
x a =-x
()0,a
a
(
)
,a +∞
()f x '
-
+
所以函数f x 的递增区间为
+∞，递减区间为(
当0a <时，()20x a
f x x
-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+;
当0a >时，函数()f x 的递增区间为
)
+∞，递减区间为(.
（3）对任意的[)1,x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数， 所以只需()10f ≥， 而()11
1ln1022
f a =
--=， 所以0a <满足题意；
②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[)1,+∞上是增函数， 所以只需()10f ≥ 而()11
1ln1022
f a =
--=， 所以01a <≤满足题意；
③当1a >1>，()f x 在⎡⎣上是减函数，)
+∞上是增函数，
所以只需0f ≥即可，
而()10f
f <=，
从而1a >不满足题意；
综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.
【点睛】
方法点睛：用导数求函数的单调区间的步骤：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式
'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.求函数的单调区间是函
数的必备基本功，要熟练掌握灵活运用. 22．(1) 3y x = (2) 1
[,)2+∞（3）2
8(,)41
e
e +∞- 【分析】
（1）求出f （x ）的导数，求出f′（1），f （1），代入切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a 的具体范围；
（3）构造函数ϕ（x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，e]，只需ϕ（x ）max ＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x ）max ，从而求出a 的范围．
【详解】
（1）解: 当1a =时,()142ln f x x x x =-
-,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x
=+-, 曲线()f x 在点()()
1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =
（2）解: ()222
242'4a ax x a f x a x x x
-+=+-=. 令()2
42h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时
()2
42h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()2
11444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫
=-+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,其对
称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12
时,()h x ≥0,()'f x ≥0,
所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. （3）解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]
1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由（2）可知a ≥
1
2
时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=-
-- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e e φφ⎛
⎫
==--> ⎪⎝⎭
,则22882
1
4142e
e
a e e e >>=>-,
此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤
2
841e e -时,因为[]1,x e ∈,1
40x x
->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤2
81642ln 41e e
x x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤
2
81642ln 041e e
e e e e e
⎛⎫---= ⎪-⎝⎭, 即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是2
8,41e e ⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭
. 【点睛】
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调
性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 23．（1）1,1a b ==；（2）证明见解析. 【分析】
（1）利用导数的几何意义求出两条切线方程，根据两条切线重合可得结果；
（2）转化为证明2sin x e x x x +->，不等式左边构造函数，利用导数求出其在0x =时取得最小值，又因为函数sin y x =在R 上最大值为1，当且仅当2()2
x k k π
π=+
∈Z 取到
最大值，且函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到，所以所证不等式成立. 【详解】
（1）由题知()2,()cos x f x ae x g x x b =+'=+'，
∴(0),2f a g b π⎛⎫
'
⎝'==⎪⎭
， ∴()y f x =在点(0,)a 处的切线方程为：y ax a =+，
()y g x =在点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为：122y b x b ππ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭，
即1y bx =+， ∵两条切线重合. ∴1,1a b ==.
（2）证明：由（1）知要证不等式()()f x g x >恒成立，即证2sin x e x x x +>+恒成立， 即证2sin x e x x x +->恒成立，
令2()x h x e x x =+-，则()21x h x e x '=+-. 易知()21x h x e x '=+-为增函数，且(0)0h '=.
当(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h ''<=，函数()h x 在(,0)-∞上单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ''>=，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ∴min ()(0)1h x h ==.
又函数sin y x =在R 上最大值为1，当且仅当2()2
x k k π
π=+
∈Z 取到最大值.
∵函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到. ∴不等式()()f x g x >恒成立. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式，属于中档题. 24．（1）极大值是11
2e
-，()f x 的极小值是0（2）1a ≤ 【分析】
（1）()()
2
112
x
x f x e x =--
，求导()()()110x f x x e '=+-=，判断()f x '，()f x 变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a 的范围，解法二: ()x
f x e a '=-，讨论a 的
范围得解 【详解】 （1）当12a =
时，()()
2112
x
x f x e x =-- ()()()
110x f x x e '=+-=时，则1x =-，0x =.
当x 变化时，()f x '，()f x 变化状态如下表：
所以()f x 的极大值是()12f e
-=
-，()f x 的极小值是()00f = （2））等价于当0x ≥时，()()
10x
f x x e ax =--≥恒成立
解法一: 当0x =，等号成立，当x>0，()10x e f x a x -≥⇔≤，设()1
x e g x x
-=
()min a g x ≤，由经典不等式1x e x >+ ∴1a ≤
或者()2
1x x xe e g x x
-+'=，()1x x x xe e ϕ=-+，()0x x x x
x e xe e xe ϕ='+-=> ()x ϕ↑，()()00ϕϕ>=x ∴()0g x '>，()g x ↑，又()0,1x g x →→ ∴1a ≤
解法二: ()x
f x e a '=-，0x ≥，1x e ≥
若1a ≤，则()0x
f x e a ='-≥，()f x ↑，∴()()00f x f ≥=，即不等式恒成立.（充
分性）
若1a >，()0x
f x e a '=-= ∴0ln 0x a =>
()00,x x ∈，()0f x '<，()f x ↓，()()00f x f ≤=，
这与当0x ≥时，()10x
f x e ax =--≥恒成立相矛盾（必要性）
【点睛】
本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题
25．（1）1a =-或3
2
a =
；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数几何意义列方程解得结果；
（2）先求导函数，再根据a 的正负分类讨论，对应确定导函数符号，进而确定单调性； （3）根据（2）单调性确定()g a 解析式，再利用导数求()g a 最大值，即证得结果. 【详解】
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2
22()1a a
f x x x
=-+'，
根据题意有(1)2f '=-，则2230a a --=，解得1a =-或32
a =
； （2）222222
22()(2)
()1a a x ax a x a x a f x x x x x
+--+=-'+==， ①当0a >时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >，
由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<， ∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，
②当0a <时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-， 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-， ∴()f x 在(2,)a -+∞上单调递增，在(0,2)a -上单调递减， （3）证明：由（2）知，当(,0)a ∈-∞时()f x 的最小值为(2)-f a ，
即2
2()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a =-=⋅-+-=⋅---，
2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -=-+⋅
=-'---，令()0g a '=，得21
2
a e =-， 当21(,)2a e ∈-∞-时()0g a '>，当21
(,0)2
a e ∈-时()0g a '<， 则2
12
a e =-
是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点， 从而也是()g a 的最大值点， ∴22222max 11111
()()ln[2()]3()22222
g a g e e e e e =-
=-⋅-⨯--⨯-=， ∴当(,0)a ∈-∞时，2
1()2
g a e ≤恒成立. 【点睛】
本题考查导数几何意义、利用导数求单调性、利用导数求函数最值与证不等式，考查综合分析求解与论证能力，属中档题. 26．（1）0b =（2）63a -≤≤- 【分析】
(1)根据()f x 在点0x =处取得极值,可得(0)0f '=,建立等量关系,求出参数b 即可. (2)由条件“在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性”可知函数的极值点应介于[2,4]即
可. 【详解】
(1)2()32f x x ax b '=++,因为()f x 在点0x =处取得极值, 所以()0f x '=,即得0b =;经检验可知：b ＝0符合题意． (2)令(0)0f '=,即2320x ax +=, 解得0x =或23
x a =-. 依题意有2
03
a -
>.
因为在函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性,所以应有243
a ≤-≤, 解得63a -≤≤-. 【点睛】
本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.。