广东省广州市广东实验中学2021届高三数学第三次阶段考试试题 理(含解析)

广东省广州市广东实验中学2021届高三数学第三次阶段考试试题 理
（含解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合{}
2
60A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A
B =（ ）
A. ()2,3-
B. (),3-∞
C. ()2,2-
D. ()0,2
【答案】A 【解析】 【分析】
先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.
【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即A
B =()2,3-,
故选:A.
【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.
2.己知i 是虚数单位，复数z 满足
1z
i z
=-，则z 的模是( ) A. 1 B.
12
C.
2
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出． 【详解】
1z
z
=-i ， ∴z ＝i -zi ， ∴z 1(1)11222
i i i i i =
==++-， ∴|z
|2
=
=
， 故选：C ．
【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
3.若2,a ln =1
25b -=，20
1cos 2c xdx π
=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）
A. a b c <<
B. b a c <<
C. c b a <<
D.
b c a <<
【答案】D 【解析】 【分析】
利用对数函数的性质，以及微积分定理与
1
2
比较即可.
【详解】
12,2a ln =>
=12
1,2
5b -=<== ()02
111
cos sin 2222
0c xdx x ππ
=⎰=⨯=，
故选：D
【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比
较大小，属于常考题型. 4.若2sin cos 12x x π⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
，则cos2x =（ ） A. 8
9-
B. 79
-
C.
79
D. -1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3
x = 所以2
2cos 212sin 1799
x x =-=-= 故选C
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.
5.(,2)m ∈-∞-是方程22
2156
x y m m m +=---表示的
图形为双曲线的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．
【详解】由方程22
2156
x y m m m +=---表示的图形为双曲线，
可得()()
2
560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<
即2m <-，或35m <<，
∴ (,2)m ∈-∞-是方程22
2156
x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件，
故选：A
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.点P 是ABC 所在平面上一点，若23
55
A AP
B A
C =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A.
3
5
B.
52
C.
32
D.
23
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的线性运算可得32=
BP PC ，即点P 在线段AB 上，且3
2
=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.
【详解】解：因为点P 是ABC 所在平面上一点，又23
55
AP AB AC =+， 所以
2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即3
2
=BP PC ， 则点P 在线段BC 上，且3
2
=BP PC ,
又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1
sin 2
ABP S AP BP APB ∆=∠,
又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且3
2
=
BP PC , :ABP S ∆APC
S ∆1sin :2AP BP APB =∠1
sin 2
AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C.
【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.
7.已知()121
sin 221
x x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取
特殊变量
4π得04f π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121
sin 221
x
x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，
则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121
sin 221x
x x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭
，
即()()f x f x =-，
则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，
不妨取4x π
=，则 ()44221
(082
21
f x π
ππ
-=-<+，
即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 故选D.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A. 24 B. 16
C. 8
D. 12
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考
虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．
【详解】根据题意，可分三步进行分析：
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有2
22A =种情况； （2）将这个整体与英语全排列，有2
22A =中顺序，排好后，有3个空位；
（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种， 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B ．
【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
9.已知函数2
2()2sin cos (
)sin (0)24x f x x x ωπ
ωωω=-->在区间25[,]36
ππ
-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ） A. 3
(0,]5
B. 13[,]25
C. 13[,]24
D. 15[,)22
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】2
22()2sin cos (
)sin sin (1cos())sin 42
2x f x x x x x x ωπ
π
ωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=
因为()f x 在区间25[,]36
ππ
-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， 所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13
[,]25
ω∈
故选B
【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.
10.设变量y满足约束条件34
2
y x
x y
x
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥-
⎩
则z＝|x －3y|的最大值为( )
A. 8
B. 4
C. 2
D.
45
【答案】A
【解析】
由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，
则对于目标函数z=|x﹣3y|，平移直线y=
1
3
x可知，
当直线经过点A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|取得最大值，
代值计算可得z max=|﹣2﹣3×2|=8．
故选A．
11.AOB中，OA a OB b
==
，，满足||2
a b a b
⋅=-=，则AOB
∆的面积的最大值为（）
3 B. 2 C. 23 D. 22
【答案】A
【解析】
【分析】
利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB
∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4
a b≤，结合三角形面积公式化简即可求解.
【详解】||||cos2
a b a b AOB
⋅=∠=,即
2
cos
||||
AOB
a b
∠=
2
2(||||)4
sin1
|||
2
|||||
a b
AOB
a b a b
-
⎛⎫
∴∠=-=
⎪
⎝⎭
22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即22
8||||2||||a b a b =+≥
所以||||4a b ≤ 所以
22(||||)41111
||||sin ||||=(||||)4164=32222||||
AOB
a b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-
故选A
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.
12.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q
在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15
sin 13
F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. 26⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B. 1,53⎛ ⎝⎭
C. 1,52⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D.
2⎫⎪⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且
圆在椭圆的内部,得到e <；根据Q 在线段2PF 的延长线上，考虑极端情况，得到15e >，
得到答案.
【详解】∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上， ∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；
∴c 2＜a 2﹣c 2，∴2
12e ＜
，故0＜e 2
； 当Q 点与2F 重合时，此时不妨设113PF =，则125F F =，故212PF =.
即252a =
，5
2c =，此时15
e =. Q 在线段2PF 的延长线上，故212
PF F π
>
∠，故1
5
e >
. 综上可得：12,52e ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
.
故选：C ．
【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设函数()3
ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．
【答案】750x y --= 【解析】 【分析】
先求函数()f x 的导函数()'
f
x ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点
()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】解：因为()3
ln 2f x x x x =+，
所以()'
2ln 16f
x x x =++，
则()'
2
1ln11617f =++⨯=，
即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.
【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.
14.()
4
22x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） 【答案】40- 【解析】
试题分析：()
4
22
x x --()4
22x x ⎡⎤=-+⎣⎦
展开后只有()42x +与()3
3242C x x -+中含3
x 项其系数和为13312
4432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.
考点：二项展开式定理. 15.己知函数sin ()x
x a
f x e
-=
有极值，则实数a 的取值范围为_____________
【答案】( 【解析】 【分析】
求出函数的导函数，则cos sin ()x
x x a
f x e -+'=
有可变零点，求三角函数的值域得到结果.
【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()x
x x a
f x e -+'=， ∵函数sin ()x
x a
f x e
-=有极值， ∴cos sin ()x
x x a
f x e -+'=有可变零点，
∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭，
∴(a ∈
故答案为：(
【点睛】本题考查函数存在极值的条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.
16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使
B D
C '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．
【解析】 【分析】
过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2
ACE π
α∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4
π
α=
时，AB ′取得最小
值7．
【
详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ， 设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，
则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2
ACE π
α∠=-，
在△AEC 中，由余弦定理得：
222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭
＝25+16cos 2
α﹣40sin αcos α，
在Rt △AEB ′中，由勾股定理得：
AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α，
∴当4
π
α=
时，AB ′取得最小值21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．
17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-=
(Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数
列{}n c 是等比数列．
【答案】（1）1
,32n n n a n b -==⋅；（2）证明见解析．
【解析】
(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >
2375
d q q q d +=+-=由题意得 (2)
分
2375
d q q q d +=+-=解得
………………………………………………………5分
(Ⅱ)由
知
两式相减：
………………………………8分
…………………………………………………………………10分
当
时，
，适合上式
即
是等比数列…………………………
18.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.
(1)求证：AD ⊥平面BFED ；
(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）θ最小值为60° 【解析】 【分析】
（1）在梯形ABCD 中，利用勾股定理，得到AD ⊥BD ，再结合面面垂直的判定，证得DE ⊥平面
ABCD ，即可证得AD ⊥平面BFED ；
（2）以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB 与平面ADE 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，
∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，∴AB ＝2. ∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 60°＝3. ∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .
∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ，
DE ⊂平面BFED ，DE ⊥DB ，∴DE ⊥平面ABCD ，
∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ，∴AD ⊥平面BFED .
（1）由(1)知，直线AD ，BD ，ED 两两垂直，故以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令EP ＝λ(0≤λ
，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0
0)，P (0，λ，1)， 所以AB ＝(－1
0)，BP ＝(0，λ
1)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，
由1100n AB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得00
x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取y ＝1，则n 1＝
，1
λ)．
因为n 2＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，
所以cos θ＝12
12n n n n ⋅
＝214
+. 因为0≤λ
，所以当λ
cos θ有最大值
1
2
，所以θ的最小值为60°.
【点睛】本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()12,0F -，点
(2B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别
与y 轴交于点M ，N . （1）求椭圆C 的方程；
（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）22184
x y +=；（Ⅱ）经过两定点()12,0P ，()22,0P -.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为()12
0F -，，所以224a b -=．由点(
2,2B 在椭圆C 上，
得22421a b +=，进而解出,a b 得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +=联立，解得,E F 的坐标（用k 表示），设出AE ，AF 的方程，解出,M N 的坐标，圆方程用
k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.
试题解析：（Ⅰ） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，
因为椭圆的左焦点为()12
0F -，，所以224a b -=． 因为点(
2,
2B 在椭圆C 上，所以
22
42
1a b +=． 由①②解得，22a =2b =．
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +=．
（Ⅱ）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A
的坐标为()
-．
因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22
184
x y +=交于两点E ，F ，
设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．
联立方程组2
2
,
{18
4
y kx x y
=+
=消去y 得2
2
8
12x k =
+．
所以0x =
，则0y =
．
所以直线AE
的方程为y x =
+．
因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ， 令0x =
得y =
M ⎛⎫ ⎝
．
同理可得点N ⎛⎫ ⎝
．
所以
MN =
=
．
设MN
的中点为P ，则点P 的坐标为0,P ⎛ ⎝
⎭
．
则以MN 为直径的圆的方程为2
2x y k ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝
⎭
2
， 即224x y y k
++
=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．
故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．
考点：1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义.
20.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的
测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布(
))2
,N μσ
，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近
似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布(
)2
N μσ，
，则()0.6827P μσξ
μσ-<+≈，
(33)0.9973P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出反面遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第1(1)9n n 格的概率为P 试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值．
【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）证明见解析，期望值为201212⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，约2万元.
【解析】 【分析】
0000
(1)利用每组中点值乘以其频率,再求和即可得到平均值； (2)由(1)可知300μ=，利用0.95450.6827
(250400)0.95452
P X -<≤≈-
求解即可；
(3)根据题意可知：得出移到第n 格两种方式①遥控车先到第2n -格，又掷出反面；②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，由此得到2111
22
n n n P P P --=
+，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出n P 的表达式，由此得到19P ，20P ，根据题意得出参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 万元，3X =或0，分别求出3X =或0的概率，然后求出期望即可. 【详解】（1）
0.002502050.004502550.00950305x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.004503550.00150405300+⨯⨯+⨯⨯=（千米）
（2）因为X 服从正态分布2
(300,50)N 所以0.95450.6827
(250400)0.95450.81862
P X -<≤≈-
=
（3）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，
其概率为
12,即1
1
2
P =．遥控车移到第n （219n ）格的情况是下列两种，而且也只有两种． ①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为21
2n P -
②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为11
2
n P -
所以211122
n n n P P P --=+，1121
()2n n n n P P P P ---∴-=--
∴当119n 时，数列1{}n n P P --是公比为1
2
-的等比数列
23121321
11111,(),(),()2222
n
n n P P P P P P P -∴-=--=--=-⋅⋅⋅-=- 以上各式相加，得2311111()()()()2222
n
n
P -=-+-+-+⋅⋅⋅+-=11()1()32n ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ 1211()32n n P +⎡⎤∴=
--⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,19n =⋅⋅⋅）， ∴获胜的概率2019211()32P ⎡⎤
=--⎢⎥⎣⎦
失败的概率1920181111232P P ⎡⎤
=
=+⎢⎥⎣⎦
（） ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 万元，3X =或0
∴X 的期望2019202111131()01()21()32322EX ⎡⎤⎡⎤⎡
⎤=⋅-+⋅+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为201212⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，约2万元.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求平均数、正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，考查面较广，属于难题. 21.已知函数sin ()()cos sin x
f x
g x x x x x
=
=⋅-，. （1）判断函数()g x 在区间(0)3π，
上零点的个数； （2）函数()f x 在区间(0)+∞，
上的极值点从小到大分别为1234n
x x x x x ，，，，，证
明：
（Ⅰ）()()120f x f x +<；
（Ⅱ）对一切()()()()*
1230n n N f x f x f x f x ∈+++
+<，成立.
【答案】（1）两个零点；（2）（I ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
(1)对()g x 求导，利用导数得出函数()g x 的单调性，结合零点存在性定理即可得出零点的个数；
(2) （Ⅰ）对函数()f x 求导，由(1)得出12x x ，的范围，进而得到21x x π>+，利用诱导公式即可得出()()120f x f x +<; （Ⅱ）由（Ⅰ）得出22
n π
π+
>221n n x x π->+>2n π，结合cos y x =的单调性确定
221221()()cos cos 0n n n n f x f x x x --+=+<，且221()0,()0n n f x f x -><，对n 为偶数和奇数
进行分类讨论，即可得出对一切()()()()*
1230n n N f x f x f x f x ∈+++
+<，成立.
【详解】（1）()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=- 当(]
0x π∈，时，
sin 0()0x g x '>∴<，
()g x 在0π（，）
上单调递减，()(0)0g x g <=，()g x ∴在(]0π，上无零点
当(]
,2x ππ∈时，sin 0()0x g x '<∴>，()g x 在2ππ（，）
上单调递增，()0,(2)20,g g ππππ=-<=> ()g x ∴在(]2ππ，上有唯一零点
当(]
2,3x ππ∈时，
sin 0()0x g x '>∴<，()2,3)g x ππ在（上单调递减
(2)0,(3)0g g ππ><，(]()2,3g x ππ∴在上有唯一零点
综上，函数()g x 在区间()03π，
上有两个零点． （2）cos sin ()2x x x
f x x
-'=
（I ）由（1）知()f x 在(]0x π∈，无极值点；在(]
,2x ππ∈有极小值点，即为1x ； 在(]
2,3x ππ∈有极大值点，即为2x ，同理可得，在(]
3,4ππ有极小值点3x ， 在(]
,(1)n n ππ+有极值点n x .由cos sin 0n n n x x x -=得tan n n x x =
21211tan tan tan(),
x x x x x π>∴>=+35()0,()10,(2)0,()022
g g g g ππ
ππ<=-<>< 1235(,
),(2,)22
x x ππππ∴∈∈，215,(2,
)2x x πππ+∈，由函数tan y x =在52,
2ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，
得21x x π>+，12
121212
sin sin ()()cos cos x x f x f x x x x x ∴+=
+=+， 由cos y x =在52,
2
ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递减得211cos cos()cos x x x π<+=- ∴12()()0f x f x +<；
（Ⅱ）同理212((21),2),(2,2)22
n n x n n x n n π
π
πππ-∈--
∈+，22
n π
π+
>221n n x x π->+>2n π
由cos y x =在2,2()2n n n N πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭上单调递减得221cos cos n n x x -<-
221221()()cos cos 0n n n n f x f x x x --∴+=+<，且221()0,()0n n f x f x -><
当n 为偶数时，从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即[][][]
12341()(()()()()0n n f x f x f x f x f x f x -++++⋅⋅⋅++<）
，结论成立； 当n 为奇数时，从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即
[][][]123421()()()()()()()0n n n f x f x f x f x f x f x f x --++++⋅⋅⋅+++<，结论也成立．
综上，对一切n N +∈，123()()()()0n f x f x f x f x +++⋅⋅⋅+<成立.
【点睛】本题主要考查了导数在研究函数性质的应用、零点存在性定理、余弦函数的单调性，考查面较广，属于难题.
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=，[)0,2θ∈π.
（1）求1C 的直角坐标方程；
（2）曲线2
C 的
参数方程为cos 6
sin
6x t y t ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标.
【答案】(1) 2
2
(2)1x y -+= (2) 6π⎫⎪⎭ 【解析】
【详解】（1）将222{cos x y x
ρρθ=+=代入2
4cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=.
（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6
π
的直线， 因此2C 的极坐标方程为6
π
θ=或7,06
π
θρ=
>， 将6
π
θ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=
将76θπ=
代入1C 得ρ=12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．
重点中学试卷 可修改 欢迎下载 23.设()f x x 1x 1=-++ .
(1)求()f x x 2≤+ 的解集;
(2)若不等式()a 12a 1f x a
+--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.
【答案】(1) []0,2(233)22
x x ≤-≥或. 【解析】 【详解】试题分析：
(1)分情况讨论去绝对值求解即可； (2)整理,再结合绝对值三角不等式可得
121
111112123a a a
a a a a
+--=+--≤++-=，再解不等式113x x -++≥即可. 试题解析： (1)由()f x x 2≤+有201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩
或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩
解得02x ≤≤,∴所求解集为[]0,2. (2a 12a 1
)a
+--=111112123a a a a +--≤++-=, 当且仅当11120a a ⎛
⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
时取等号. 由不等式()a 12a 1
f x a +--≥对任意实数a 0≠恒成立,
可得x 1x 13-++≥,解得33x x 22≤-
≥或.
重点中学试卷可修改欢迎下载。