中考数学考点聚焦(人教版,课件+考点跟踪)：第14讲 函数的应用

解：(1)分两种情况：①当 1≤x≤20 时，将 m＝25 代入 m＝20＋21x， 解得 x＝10，②当 21≤x≤30 时，25＝10＋4x20，解得 x＝28，经检验 x ＝28 是方程的解，∴x＝28，答：第 10 天或第 28 天时该商品为 25 元/ 件．
(2)分两种情况：①当 1≤x≤20 时，y＝(m－10)n＝(20＋12x－10)(50 －x)＝－12x2＋15x＋500，②当 21≤x≤30 时，y＝(10＋4x20－10)(50－x)
(1)A，B两点之间的距离是__70__米，甲机器人前2分钟的速度为 __95__米/分；
(2)若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式 ；
(3)若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为__60__米/分； (4)求A，C两点之间的距离； (5)直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 解：(1)由图象可知，A，B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的 速度为：(70＋60×2)÷2＝95米/分；
一次函数相关应用
【例 1】 (2016·绥化)周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游， 从家出发 0.5 小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离 家 1 小时 20 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶 10 分钟时， 恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程 y(km)与小芳离家时间 x(h)的函 数图象．
(2)设直线 AB 的解析式为：y1＝k1x＋b1，将点 A(0，30)，B(0.5，20) 代入得：y1＝－20x＋30，∵AB∥CD，∴设直线 CD 的解析式为：y2＝ －20x＋b2，将点 C(1，20)代入得：b2＝40，故 y2＝－20x＋40，设直线
EF 的解析式为：y3＝k3x＋b3，将点 E(34，30)，H(32，20)代入得：k3＝－ 60，b3＝110，∴y3＝－60x＋110，解方程组yy＝ ＝－ －6200xx＋ ＋14100，，得xy＝＝15.，75， ∴点 D 坐标为(1.75，5)，30－5＝25(km)，所以小芳出发 1.75 小时候被妈 妈追上，此时距家 25 km；
数学
第三章 函数及其图象
第14讲 函数的应用
1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用． 2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量； (2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他 复合而成的函数式； (3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案． 3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的 利率、利润、租金、生产方案的设计问题．
(3)将立柱 MN 的长度提升为 3 米，通过调整 MN 的位置，使抛物
线 F2 对应函数的二次项系数始终为14，设 MN 离 AB 的距离为 m，抛物
线 F2 的顶点离地面距离为 k，当 2≤k≤2.5 时，求 m 的取值范围．
解：(1)∵a＝110＞0，∴抛物线顶点为最低点，∵y＝110x2－54x＋3＝
1．构建函数模型 函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题 要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中 考重点考查的一个方面． 2．实际问题中函数解析式的求法： 设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样 先列出关于x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y.利用题中的不等关系， 或结合实际求出自变量x的取值范围． 3．三种题型 (1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2)综合题——关键：运用数形结合思想； (3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．
A．300 m2 B．150 m2 C．330 m2 D．450 m2
3．(2016·海南)某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(单 位：公顷/人)与总人口x(单位：人)的函数图象如图所示，则下列说法正 确的是( D )
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
②当 x＞3 时，设 y＝mx ，把(3，4)代入得：m＝3×4＝12，∴y＝1x2； 综上所述：当 0≤x≤3 时，y＝－2x＋10；当 x＞3 时，y＝1x2；
(2)能；理由如下：令 y＝1x2＝1，则 x＝12＜15，故能在 15 天以内 不超过最高允许的 1.0 mg/L.
【点评】 本题是反比例函数的应用，根据题意得出函数关系式是 解决问题的关键．
335x＝7，解得 x＝0.6，0.6＋4＝4.6，答：两机器人出发 1.2 s 或 2.8 s 或
4.8 s 相距 28 米．
反比例函数相关应用
【例2】 (2016·连云港)环保局对某企业排污情况进行检测，结果显 示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改 过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所 示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物 的浓度y与时间x成反比例关系．
(2)设线段 EF 所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b，∵1×(95－60) ＝35，∴点 F 的坐标为(3，35)，则23kk＋＋bb＝＝03，5，解得kb＝＝3－5，70，∴线段 EF 所在直线的函数解析式为 y＝35x－70；
(3)∵线段 FG∥x 轴，∴甲、乙两机器人的速度都是 60 米/分； (4)A，C 两点之间的距离为 70＋60×7＝490 米； (5)设前 2 分钟，两机器人出发 x s 相距 28 米，由题意得，60x＋70 －95x＝28，解得，x＝1.2，前 2 分钟～3 分钟，两机器人相距 28 米时， 35x－70＝28，解得，x＝2.8，4 分钟～7 分钟，两机器人相距 28 米时，
4．(2016·沈阳)在一条笔直的公路上有 A，B，C 三地，C 地位于 A，
B 两地之间，甲，乙两车分别从 A，B 两地出发，沿这条公路匀速行驶
至 C 地停止．从甲车出发至甲车到达 C 地的过程，甲、乙两车各自与 C
地的距离 y(km)与甲车行驶时间 t(h)之间的函数关系如图表示，当甲车出 3
1．(2016·孝感)“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表 现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．如果500 度近视眼镜片的焦距为0.2 m，则表示y与x函数关系的图象大致是( B )
2．(2016·哈尔滨)明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此 项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿 化面积S(单位：m2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则 该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( B )
【点评】 本题考查二次函数的应用、反比例函数的性质等知识，解题 的关键是学会构建函数，利用二次函数的性质解决问题．
[对应训练] 3．(导学号：01262202)(2016·丽水)如图①，地面 BD 上两根等长立 柱 AB，CD 之间悬挂一根近似成抛物线 y＝110x2－54x＋3 的绳子． (1)求绳子最低点离地面的距离； (2)因实际需要，在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子 (如图②)，使左边抛物线 F1 的最低点距 MN 为 1 米，离地面 1.8 米，求 MN 的长；
计划每天的销售利润为 3 000 元，则其单价应定为 240 元．
二次函数相关应用
【例3】 (2016·龙岩)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销 售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经 过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息，如表所示 ：
(1)请计算第几天该商品单价为25元/件？ (2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式； (3)这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)将 y＝0 代入直线 CD 解析式有：－20x＋40＝0，解得 x＝2，将 y
＝0 代入直线 EF 的解析式有：－60x＋110＝0，解得 x＝161，2－161＝61(h) ＝10(分钟)，故小芳比预计时间早 10 分钟到达乙地．
【点评】 本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于读懂题 意，根据函数图象所给的信息求出合适的函数解析式并求解．
＝21 x000－420.综上所述：y＝－ 2112x0x020＋－1452x0＋（52010≤（x1≤≤3x0≤）2.0），
(3)①当 1≤x≤20 时由 y＝－12x2＋15x＋500＝－21(x－15)2＋1 2225， ∵a＝－12＜0，∴当 x＝15 时，y 最大值＝1 1225，②当 21≤x≤30 时，由 y＝21 x000－420，可知 y 随 x 的增大而减小∴当 x＝21 时，y 最大值＝ 2120100－420＝580 元∵580<1 2225，∴第 15 天时获得利润最大，最大利 润为 612.5 元．
发__2__h 时，两车相距 350 km.
5．(2016·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数， 小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高 度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球 抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝_1_._6_.
[对应训练] 2．(导学号：01262201)(2016·德州)某中学组织学生到商场参加社会实 践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的 进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表 所示：
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； (2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许 的1.0 mg/L？为什么？
解：(1)分情况讨论：①当 0≤x≤3 时，设线段 AB 对应的函数表达 式为 y＝kx＋b；把 A(0，10)，B(3，4)代入得b3＝ k＋10b， ＝4，解得：kb＝ ＝1－02，， ∴y＝－2x＋10；
解：(1)由表中数据得：xy＝6 000，∴y＝6 0x00，∴y 是 x 的反比例
函数，故所求函数关系式为 y＝6 0x00；
(2)由题意得：(x－120)y＝3
000，把
y＝6பைடு நூலகம்
0x00代入得：(x－120)·6
000 x
＝3 000，解得：x＝240；经检验，x＝240 是原方程的根；答：若商场
(1)小芳骑车的速度为_2_0__km/h，H 点坐标__(32_，__2_0_)__．
(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？ (3)相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不 计)，求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？
解：(1)由函数图可以得出，小芳家距离甲地的路程为 10 km，花费 时间为 0.5 h，故小芳骑车的速度为：10÷0.5＝20(km/h)，由题意可得出， 点 H 的纵坐标为 20，横坐标为：43＋16＝32，故点 H 的坐标为(23，20)；
[对应训练] 1．(导学号：01262200)(2016·齐齐哈尔)有一科技小组进行了机器人 行走性能试验，在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上 ，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达 C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间 的距离y(米)与他们的行走时间x(分钟)之间的函数图象，请结合图象， 回答下列问题：